N°
Celle
Cd
C
0,25 7,5 exp - 4 395000 0,003976C-1
0,25 7,5 exp - 4 490000 0,003976C-2
0,25 3,75 exp - 4 524000 0,003976Si nota quindi dalla tabella come la soluzione sia indipendente dalle dimensioni del volume di controllo e dal suo infittimento, purché le celle siano sufficientemente piccole per poter rappresentare i cilindretti.
Nelle immagini seguenti si mettono in risalto le streamlines e il campo di velocità nell’intorno dei cilindretti per verificare che le linee vorticose siano state generate e descritte in maniera corretta.
Figura 3.3: Streamlines
Entrambe le immagine confermano la presenza dei vortici che si formano dietro i cilindretti, la prima mostrando le streamlines e la seconda il campo di velocità indotto dai vortici stessi.
Nella tabella successiva si riportano invece i risultati, in termini di coefficiente di resistenza, al variare dell’intensità di turbolenza.
Prova
Base
Size [m]
Intensità di
turbolenza
N°
Celle
Cd
C-0.01
0,25 0,01 395000 0,003987C-0.035
0,25 0,035 395000 0,003976C-0.05
0,25 0,05 395000 0,004021 Tabella 3.7: Sensibilità al valore dell’intensità di turbolenza per la lastra con i cilindrettiGrafico 3.5: Coefficiente d’attrito per le prove C-0.01, C-0.0035, C-0.05
Siamo ora in grado di poter effettuare il confronto tra le prove con la lastra piana con i cilindretti e quelle con la sola lastra.
In tabella si va a riassumere i risultati ottenuti con le condizioni che sembrano dare risultati più accurati.
Intensità di
turbolenza
N° Celle
Cd
∆Cd [%]
Lastra
0,01 346000 0,003996Cilindretti
0,01 395000 0,003987 -0,23Lastra
0,035 346000 0,003967Cilindretti
0,035 395000 0,003976 0,23Lastra
0,05 346000 0,003975Cilindretti
0,05 395000 0,004021 1,14Tabella 3.8: Confronto tra la lastra piana e la lastra con i cilindretti
Le percentuali riportate in tabella vanno a sottolineare il fatto che non si siano riscontrate particolari differenze fra i due casi.
3.2.2 Il modello
k-ω
Data l’insensibilità alla presenza dei cilindretti del modello K-ɛ, si ritiene necessario valutare l’effetto della micro rugosità sul flusso con il modello k- ω.
Il modello che definisce la griglia rimane invariato, quello fisico cambia solo per il modello di turbolenza.
Parte dei ragionamenti fatti sulle prove di sensibilità effettuate per il modello K-ɛ rimangono validi. In particolare non si ripetono le prove di sensibilità al dominio utilizzandoilbox1esimantienefissatoilvaloredelTVRparia10pertuttele prove. Il modello utilizzato in questa fase è in grado di prevedere la linea di transizione per cui si effettuano prove di sensibilità per valutare l’effetto della griglia sulla posizione di tale linea oltre che sui coefficienti di forza. La spaziatura della griglia superficiale sulla lastra può influenzare infatti la posizione della linea di transizione poiché i termini di produzione di turbolenza nelle equazioni vengono attivati in corrispondenza della cella in cui si raggiungono le condizione critiche del Reynolds calcolato sullo spessore di quantità di moto, per cui una griglia troppo rada può falsare la zona in cui si innesca la transizione.
Si passa da una mesh con 200˙000 celle, con un base size pari a 0.3m, con delle celle superficiali sulla lastra di 18mm a una mesh con 600˙000 celle e con lo stesso base size ma con delle celle superficiali sulla lastra pari a 7.5mm. Si sono effettuate anche delle prove in cui si è fatto in modo di mantenere il valore dell’y+ nel giusto intervallo variando l’altezza del prism layer.
Si ritiene utile eseguire anche un’analisi di sensibilità all’y+ poiché i valori richiesti dal modello per questo parametro (0.1<y+<1) sono estremamente ridotti e questo ha la grossa controindicazione di richiedere elevati numeri di celle per le griglie di calcolo. Questo aspetto può diventare computazionalmente oneroso per uno studio tridimensionale con una geometria più complessa, pertanto risulta utile andare a valutare se in effetti si possa lavorare con valori di y+ maggiori rispetto a quelli consigliati.
Si studia anche il comportamento del flusso al variare dell’intensità di turbolenza in ingresso;taliprovedisensibilitàsonofinalizzateallavalutazionedella propagazione dell’eventuale errore legato ad una non corretta stima di questa variabile e all’individuazione di eventuali effetti caratteristici di un dato livello di turbolenza.
L’ultima analisi di sensibilità si riferisce al Free Stream Edge ed è importante valutare l’effetto di questo parametro perché essendo un dato necessario per il modello, ma non noto a priori, è interessante capire se una precisa valutazione di questo sia necessaria ai fini di ottenere un buon risultato. In caso contrario, sarà possibile fissare un valore ragionevole senza dover di volta in volta verificare a posteriori il suo effetto.
Sensibilità ai parametri della griglia
La griglia di calcolo è uno degli elementi essenziali nell’ambito di un’analisi agli volumi finiti in quanto consente di suddividere il dominio continuo in analisi in un certo numero di elementi di forma definita. Forma e infittimento degli elementi della griglia possono influenzare anche in maniera significativa il risultato di un’analisi CFD, motivo per cui è evidente che le mesh utilizzate debbano avere buone caratteristiche in termini di qualità delle celle e debbano avere un numero sufficiente di elementi a descrivere il dominio in esame.
Da questo punto di vista un analisi con il modello k-omega è molto delicata poiché si deve generare una mesh tale da verificare certi requisiti.
Si sceglie di effettuare tutte le prove di sensibilità ai parametri che caratterizzano la griglia ad un livello di intensità di turbolenza fissato a 0.035, valore intermedio fra quelli considerati per il modello k-epsilon.
Si riportano in tabella i dati relativi alle griglie di calcolo delle prove effettuate specificando la dimensione delle celle superficiali sulla lastra piana.
Surface Size Lastra
Prova
Base Size
[m]
Min Size [cm] Target Size [cm]
N°
Celle
Cd
1
0,25 6,0 12,0 59000 0,0033122
0,25 3,75 7,5 139000 0,0032663
0,25 1,25 2,5 328000 0,0031354
0,20 0,75 1,5 587000 0,0031445
0,20 0,5 1,0 951000 0,003136Si nota che oltre un certo livello di infittimento sulla lastra piana la soluzione risulta stabile. Griglie di calcolo con celle più grandi forniscono risultati meno accurati, ciò si può spiegare analizzando i grafici seguenti che descrivono l’andamento del coefficiente di attrito lungo la lastra, mettendo in evidenza il punto di transizione. Infatti la transizione da regime laminare a turbolento si caratterizza per un incremento delle forze tangenziali legate al gradiente di velocità alla parete.
Grafico 3.7: Coefficiente d’attrito per le prove al variare del numero di celle
Si vede come le due prove a basso infittimento descrivano in modo parziale e scorretto la zona di transizione. Si può evidenziare meglio questo effetto riportando un ingrandimento di tale parte del grafico.
Lo stesso tipo di prova è stata effettuata anche ad un livello di intensità di turbolenza più basso (I=0,0035) e mette in risalto come il punto di transizione sia significativamente mal rappresentato dalle prove a basso numero di celle.
Grafico 3.9: Coefficiente d’attrito per le prove a un’intensità di turbolenza di 0.0035 E’ interessante valutare l’effetto dell’altezza del prism layer (strato limite); si sono fatte prove con altezze variabili e con un numero di prism layer diverso per mantenere il valore dell’y+ compreso nell’intervallo richiesto dal modello d transizione. Gli altri dati caratteristici della griglia sono rimasti invariati rispetto alla prova 3.
Prova
N° Prism
Layer
Prism Layer
Thickness [cm]
N°
Celle
Cd
3-A
12 3 294000 0,0031333-B
14 5 328000 0,0031863-C
14 7,5 328000 0,0031353-D
16 10 365000 0,003156Tabella 3.10: Sensibilità all’altezza e al numero di prism layer
Valutando i valori del coefficiente di resistenza ottenuti si nota come non ci sia una sostanziale differenza fra i quattro casi e la differenza, in valore percentuale, si mantiene in un intorno del’1%.
Qui di seguito si riportano anche i grafici del coefficiente di attrito che evidenziano in modo ancor più nitido come l’altezza dello strato limite non influenzi il risultato della simulazione.
Grafico 3.10: Coefficiente d’attrito per le prove 3-A, 3-B, 3-C, 3-D
Grafico 3.11: Coefficiente d’attrito per le prove 3-A, 3-B, 3-C, 3-D (particolare) Esiste un altro parametro che permette di controllare la spaziatura degli strati del prism layer: lo Stretching factor.
Tale parametro fissa il rapporto di altezza fra due strati adiacenti. Per mantenere valori dell’y+ adeguati si fa variare anche il numero di strati all’interno del prism layer.
Nella tabella seguente si riportano i dati significativi di questo tipo di prova.
Prova
N° Prism
Layer
Prism Layer
Thickness [cm]
Stretching
factor
y
+N°
Celle
Cd
SF 1.3
22 12 1,3 1 500000 0,003195SF 1.5
16 12 1,5 1 205000 0,003181SF 1.9
10 12 1,9 ≈1 138000 0,002978 Tabella 3.11: Sensibilità al valore dello stretching factorPer un valore molto alto dello Stretching Factor (SF) si ottiene un risultato abbastanza diverso dagli altri. Ciò può essere dovuto ad una peggiore qualità delle celle superficiali.
Il grafico va a sottolineare le differenze fra la prova con il parametro SF impostato a 1,9 e le altre due.
Grafico 3.12: Coefficiente d’attrito per le prove SF-1.3, SF-1.5, SF-1.9
Sensibilità al valore dell’y+
Come precedentemente accennato si è eseguita una analisi di sensibilità anche alle variazioni di y+ per la griglia, per verificare se la restrizione di rimanere in un
Il numero di layers utilizzati (tenendo fissa l’altezza dello strato in cui i layers sono presenti) per l’analisi di sensibilità e i corrispondenti valori di y+ sono riportati in
tabella 3.12 per ogni caso analizzato. In questa sono anche riportati i corrispondenti valori di Cd.
Prova
N° Prism
Layer
Prism Layer
Thickness [cm]
y
+N° Celle
Cd
Y
+-9
10 10 9 280000 0,003629Y
+-5
12 10 5 306000 0,003281Y
+-3
13 10 3 320000 0,003113Y
+-1
16 10 1 365000 0,003156Tabella 3.12: Sensibilità al valore dell’y+
Grafico 3.13: Coefficiente d’attrito per le prove al variare del valore dell’y+
Dalle figure precedenti si deduce che gli errori principali nella valutazione del punto di transizione, e quindi del coefficiente di resistenza, si hanno nel caso di griglie di calcolo per cui si ha y+ maggiore di 1. In particolare, per i casi in cui si hanno y+ particolarmente superiori a 1 si tende a simulare un comportamento del flusso completamente turbolento (in termini di coefficiente di resistenza si hanno differenze che possono essere dell’ordine del 15%).
Naturalmente per valori di y+ compresi tra 0.1 e 1, per quanto detto nei precedenti capitoli, la soluzione deve ritenersi affidabile.
Sensibilità al valore dell’intensità di turbolenza
La soluzione è molto influenzata dall’impostazione iniziale del valore dell’intensità di turbolenza, come dimostrano i dati riportati in tabella. Per valutare nel migliore dei modi la sensibilità dei risultati ottenuti da questo parametro vengono effettuate cinque prove con intensità di turbolenza crescente.
Per ottenere risultati possibilmente più accurati si utilizza una griglia di calcolo con celle superficiali da 1,5 cm sulla lastra piana e un prism layer di 7,5 cm formato da 16 strati. Si ottiene così una mesh da 600000 celle.