Calcolo del circuito magnetico equivalente

Il calcolo analitico del motore offre un veloce strumento di valutazione per l’analisi delle prestazioni del motore a magneti permanenti in stato stazionario. In questo la-

voro si dimostra che, applicando il metodo analitico, `e possibile ottimizzare i diversi parametri del motore in maniera molto attendibile. Il circuito magnetico del motore `e diviso in quattro parti e rappresentato con le varie riluttanze.

Le riluttanze del traferro, dei magneti e quelle di dispersione possono essere calcolate utilizzando le rispettive dimensioni e le caratteristiche dei materiali. Le riluttanze dei denti e del giogo di statore sono, invece, calcolate utilizzando le loro tensioni magneti- che. Una volta note le riluttanze, `e possibile determinare le densit`a di flusso magnetico e le forze di campo dei diversi elementi.

In particolare, il metodo si compone di alcuni step: dapprima si sostituisce il traferro, i magneti e i ponticelli di ferro con un circuito di Thevenin equivalente; in seguito si connette la restante parte del circuito con l’equivalente di Thevenin; infine si calcola la densit`a di flusso al traferro.

Nel corso dell’analisi si trascurano le cadute di forza magnetomotrice nel ferro di ro- tore e di statore e si assume che i ponticelli di ferro siano completamente saturati. Inoltre, si suppone che la densit`a di flusso al traferro abbia un andamento sinusoidale e per tenere conto degli effetti delle cave di statore, si introduce il fattore di Carter.

Riluttanza del traferro

La riluttanza del traferro si pu`o semplicemente calcolare come segue:

ℜg=

k_cg µ0wgL

(4.3)

dove:

• g `e lo spessore del traferro;

• k_c `e il fattore di Carter;

• µ0 `e la permeabilit`a magnetica del vuoto (4π10−7H/m);

• g `e lo spessore del traferro;

• L `e la lunghezza in senso assiale della macchina.

In particolare la wgpu`o essere espresssa come:

w_g= r2α · π 180·

2

p (4.4)

dove:

• r `e il raggio del rotore;

• α `e l’angolo elettrico (in gradi) di met`a della vera lunghezza polare sulla super- ficie del rotore;

• p `e il numero dei poli.

A sua volta il fattore di Carter risulta pari a:

k_c= τs τs− γcg

(4.5)

dove:

• γc `e detto coefficiente di apertura della cava ed `e pari a:

γc= 4 π b_s0 2g · arctg b_s0 2g  −1 2ln  1 +bs0 2g 2 ' bs0 g 5 +bs0 g (4.6)

• τs `e detto passo di cava (slot pitch) ed `e pari a:

τs=

π · (r + g)

Q_s (4.7)

• b_s0 `e l’apertura della cava; • Qs `e il numero di cave di statore.

Forza magnetomotrice e riluttanza dei magneti

I magneti permanenti, sotto un polo, possono essere rappresentati attraverso la loro riluttanza e la loro forza magnetomotrice.

Nel caso di materiali con curva di demagnetizzazione lineare nel secondo quadrante, la fmm pu`o essere calcolata come:

ΘPM = HClm=

Br

µ₀µ_r · lm (4.8)

La riluttanza risulta, invece, pari a:

ℜPM=

l_m

µ₀µ_rw_mL (4.9)

dove:

• HC `e il campo coercitivo dei magneti;

• lm `e lo spessore del magnete;

• Br `e l’induzione residua del magnete;

• µr `e la permeabilit`a relativa del magnete

• wm `e la larghezza del magnete;

• L `e la lunghezza assiale del magnete, coincidente con quella del rotore.

Se il rotore ha pi`u di un magnete sotto un polo, le equazioni precedenti sono valide se tutti i magneti hanno lo stesso spessore:

lm= lm1= lm2. . . (4.10)

In tal caso, la larghezza del magnete wmsar`a pari alla somma delle larghezze dei dif-

ferenti magneti sotto lo stesso polo: valide se tutti i magneti hanno lo stesso spessore:

Flusso di saturazione e riluttanze di dispersione ai ponticelli di ferro

Poich`e i magneti sono inseriti all’interno del nucleo rotorico, si creano dei ponticelli su entrambe le estremit`a dei magneti. Questi ponti generano flusso disperso e sono pertanto un importante dettaglio di cui tenere in considerazione in fase di progettazio- ne.

Innfatti, essi da un lato sono necessari per mantenere il rotore insieme meccanicamen- te, dall’altro per`o cortocircuitano parte del flusso generato dai magneti. A seconda del loro spessore e del loro numero il flusso disperso pu`o essere molto significativo. E’ possibile ottenere un buon modello considerando i ponti di ferro come generatori di flusso costante, che devono essere completamente saturi prima che il flusso utile possa attraversare il traferro.

Il flusso costante che si richiede per saturare i ponticelli sotto un polopu`o essere calcolato come:

φsat = BsatwxkfL (4.12)

dove:

• Bsat `e l’induzione di saturazione;

• k_f `e il fattore di laminazione del ferro; • wx `e la somma dei vari ponti sotto ogni polo:

w_x= wx1+ wx2+ . . . (4.13)

Quando essi sono completamente saturati, si comportano come l’aria anzich`e come il ferro. La loro riluttanza risultante pu`o essere determinata connettendo tutti i ponti, sotto un polo, in parallelo tra loro:

ℜσ= ℜσ1ℜσ2· · · = 1 µ0L · _wx1 1 lx1 + wx2 lx2 + . . . (4.14) dove:

• lx1, lx2, . . . sono gli spessori dei ponti.

Riluttanza delle barriere di flusso

Come discusso in precedenza, il ponticello di ferro provoca dispersione di flusso ma- gnetico. Il flusso magnetico scorre attraverso il percorso a minima riluttanza. Il pon- ticello di ferro garantisce la presenza di un percorso a minima riluttanza finch´e non si raggiunge la saturazione. Pertanto, a causa della presenza di questi ponticelli in ferro, ne rotore si ha la massima dispersione del flusso.

La saturazione del ponte di ferro dipende dal suo spessore. Il ponte raggiunge la satu- razione ad un valore di densit`a di flusso pi`u basso se lo spessore del ponte `e inferiore. Pertanto, l’entit`a della dispersione flusso di `e molto sensibile allo spessore del ponte di ferro. Lo spessore del ponte di ferro in un LSPM `e dell’ordine di 1 mm.

Lo spessore non pu`o essere ridotto ulteriormente a causa di vincoli di costruzione. Infatti questo da un lato ridurrebbe la resistenza meccanica (robustezza) del rotore e dall’altro potrebbe danneggiare gli strumenti di produzione. Come si vede in figura 3.2, la dispersione di flusso magnetico attraverso i ponti di ferro `e maggiore rispetto a quella che si ha nell’aria tra i magneti adiacenti. L’aria tra i magneti, infatti, costituisce per il flusso un percorso a maggiore riluttanza rispetto ai ponti in ferro. Pertanto, al fine di ridurre la dispersione di flusso, si rende necessaria l’introduzione di barriere di flusso.

Esse vengono realizzate con materiale non magnetico e quindi si comportano come l’aria.

La riluttanza risultante delle barriere pu`o essere determinata connettendo tutte le bar- riere di flusso, sotto un polo, in parallelo tra loro:

ℜb= ℜb1ℜb2· · · = 1 µ₀L· 1 wb1 lb1 + wb2 lb2 + . . . (4.15) dove:

• w_b1, w_b2, . . . sono le larghezze delle barriere; • lb1, lb2, . . . sono gli spessori delle barriere.

Riluttanza delle parti in ferro

Il circuito magnetico equivalente si compone, dunque, della riluttanza del traferro, di quella dei magneti, di quella dei ponticelli di flusso, di quella delle barriere di flusso, ma anche della riluttanza delle parti in ferro. Essa comprende la riluttanza dei denti e del giogo di statore. Tuttavia la ℜf e `e molto pi`u piccola rispetto alle altre riluttanze e

in prima istanza pu`o essere trascurata.

Espressione analitica dell’induzione al traferro

Per semplificare il calcolo si riduce l’intero circuito delle riluttanze ad un equivalente Thevenin.

Figura 4.2: Circuito di Thevenin equivalente

Pertanto, la fmm e la riluttanza equivalente possono essere scritte nella seguente forma:

ΘT h= Θm− ℜPMφsat (4.16)

e

ℜT h= ℜPM (4.17)

Figura 4.3: Circuito magnetico equivalente

Il flusso al traferro risulta pari a:

φ_δ= Θeqv P_PM+ R_δ+RPM Rσ1 R_δ+RPM Rσ3 R_δ (4.18)

o meglio `e possibile ricavare il valore dell’induzione al traferro:

B_g= Br− Bsatkf wf e wm wg wm+ w0 l0 · g wm+ µr g lm (4.19) dove: w0 l0 = wf e1 lf e1 +wf e2 lf e2 + · · · +wb1 lb1 +wb2 lb2 + . . . (4.20)