Cedimenti del piano di posa

Per i valori di β si rimandi in questo caso al metodo di Garlanger.

Si trascurino per ora le formule dinamiche e il calcolo del carico limite del palo sotto azioni orizzontali. Qualora sia necessario assorbire componenti di spinta non verticali, solitamente si ricorre a pali inclinati, con angoli compresi tra i 15° e 40°.

4.3 Cedimenti del piano di posa

Intendendosi con cedimento un abbassamento del piano di posa delle fondazioni, è essenziale procedere con la formulazione delle tensioni verticali presenti nel terreno per l’applicazione di un carico sullo stesso. Le teorie più celebri relativamente al calcolo delle tensioni si devono a Boussinesq e Westergaard. In sede di questa trattazione si riportano le componenti di tensione individuate da Boussinesq: !_!= −^3! 2!^{!! !!+ !!  !!! (4.39)} !_! = ^! 2! ^{1 − 2!} 1 !!− ^! !! !!+ !!  ^!!! − 3!!!(!!+ !!)  ^!!! (4.40) !_! = ^! 2!   ^{1 − 2! −} 1 !! + ^! !! !! + !!  ^!!!+ !(!!+ !!)  ^!!! (4.41) !_!" = −^3!_2!!!!(!!+ !!)  ^!!! (4.42)

Talvolta si può utilizzare la formula

!_!= !_! =^3!

2!^{!! !!+ !!  !!! (4.43)}

e tale relazione può essere ulteriormente semplificata !_! = ^!

!!!_! (4.44)

!_! = ^3! 2! ^{1 +}

!

!  ^{!  !!! (4.45)}

I valori di q_v sono calcolati da Gilboy e Terzaghi per l’allontanamento dalla verticale del carico e posti nel seguente diagramma.

Fig.4.6 Andamento del valore di Ii e Iwi in dipendenza dall’allontanamento del carico dalla verticale.

In figura 4.6 è riportata anche la soluzione di Westergaard il cui fattore d’influenza dello sforzo verticale vale

!_!" = ¹

! ^{1 + 2} !

!  ^{!  !!! (4.46)}

da applicare alla relazione

!_! =_!^!_!!_!" (4.47)

Per poter ricorrere a tale metodo è necessario integrare la relazione per carico puntiforme ad un’area di dimensioni finite, considerando che i carichi siano trasmessi al solido semi-infinito attraverso una membrana flessibile che pur deformandosi non altera la distribuzione di tali carichi e che la pressione di contatto q sia uniforme su tutta la superficie di carico.

E’ possibile così ricavare la distribuzione dello sforzo !_! su un qualsiasi piano orizzontale attraverso la relazione

!_! = !_! = !!_! (4.48)

con !_! = !/!, rapporto tra la profondità e la più piccola dimensione della fondazione. Questa formulazione vale per fondazioni elastiche, mentre per fondazioni rigide è prassi comune procedere con il metodo approssimato, che ipotizza un andamento delle tensioni verticali al crescere della profondità in rapporto 1:2 (§6.5.2 applicazione del metodo approssimato).

Fig.4.7 Abaco di Fadum. Il parametro K è in

funzione di n che dipende dalla profondità e dalla L del rettangolo considerato.

L’abaco di Fadum⁷⁹ permette invece di calcolare l’incremento della tensione verticale per l’angolo di un’area rettangolare flessibile caricata uniformemente. La sua applicazione ricorre al principio di sovrapposizione degli effetti per la determinazione delle tensioni verticali al di sotto di area flessibile scomponibile in rettangoli.

Una variazione del regime delle tensioni verticali implica di necessità deformazioni verticali più o meno importanti a seconda del tipo di terreno (coesivo o non coesivo).

I cedimenti maggiori si hanno nel caso di terreni coesivi argillosi, dove a seguito dell’espulsione dell’acqua presente, il terreno diminuisce di volume e il carico si trasferisce alla frazione solida del suolo.

Il cedimento complessivo è dato dal contributo di tre diversi cedimenti

!_!= !_!+ !_! + !_! (4.49)

Dove

1) !_!, il cedimento immediato dovuto ad una deformazione che avviene in condizioni non drenate e a volume pressochè costante.

79

Fadum R.E., Influence values for estimating stresses in elastic foundations, 2nd ICSMFE, Rotterdam, vol.III, 1948

2) !_!, cedimento di consolidazione che segue la fuoriuscita dell’acqua e la compressione della porzione solida del terreno

3) !_!, cedimento secondario dovuto deformazioni molto lente in condizioni drenate. Tale fenomeno prende il nome di creep

Nella normalità dei casi si trascura il contributo della deformazione secondaria, che diviene invece importante nel caso di argille a componente organica e torbe come a Venezia.

4.3.1 Cedimenti in terreni coesivi

Il metodo con cui procedere, dovuto a Terzaghi, prescrive la preventiva individuazione del profilo della pressione verticale efficace per poi individuare, per il punto medio di ogni strato, l’incremento di tensione verticale Δ!′_!!.

L’ipotesi fatta è quella di espansione laterale impedita con deformazioni solo nella direzione verticale. Questo permette di sfruttare i risultati di prove edometriche sui singoli strati argillosi ricorrendo alle seguenti relazioni.

Chiamando S il cedimento del terreno pari la variazione di altezza del provino Δ!, esso vale ! = !_!  ^{!!− !!}

1 + !_! ^(4.50)

con !_! = !!

!! e !_! = !!

!!+ Δ_!". Oppure si ricorre alla relazione

! = !_!  Δ!_!!_! = !_!  ^Δ!!

! ^(4.51)

Nel caso di pressioni maggiori alla pressione di consolidazione posso utilizzare anche la seguente formulazione (se le pressioni sono inferiori alla consolidazione si ricorre a !_! altrimenti !_!.) ! = !_! ^!! 1 + !_!^!"# !! !!+ Δ_!" !! !! (4.52)

Nota la profondità D del piano di posa della fondazione al di sotto del piano campagna, si considera solitamente un carico netto pari a !_! = ! − !", che implica l’ipotesi non vi siano deformazioni nel caso di carico e ricarico.

Nel caso di argille normalconsolidate a piccola profondità si ha un cedimento immediato pari a 0,1!_!. Si può considerare pertanto che il cedimento di consolidazione sia pari a quello edometrico !_! = !_!" e che !_! risulti alla fine pari a 1,1!_!.

Alternativamente posso valutare separatamente i due contributi partendo dalla relazione di Skempton e Bjerrum⁸⁰ !_! = !!_!", che prevede l’utilizzo di un coefficiente correttivo che tiene conto dello spessore dello stato compressibile e della pressione nei pori in funzione della geometria del problema.

Nel caso di fondazione infinitamente rigida si fa riferimento alla formulazione di Poulos e Davis⁸¹ per il calcolo del cedimento uniforme

! =¹

2^{(!!"#$%& + !!"#$")  !"#$.!"#$$%&%"# (4.53)} In questo caso per il cedimento immediato si può utilizzare la relazione

!_! = ^!"

!_! ^{!! (4.54)}

con !_! coefficiente d’influenza che dipende dalla forma, dalla rigidezza della fondazione, dallo spessore dello strato deformabile e dalla profondità del piano di posa (con !_! = !!_!).

4.3.2 Cedimenti in terreni non coesivi

Il calcolo dei cedimenti dei terreni a grana grossa è piuttosto complesso e spesso viene trascurato alla luce della sua scarsa influenza sul cedimento complessivo rispetto agli strati coesivi.

Di norma per il loro calcolo si ricorre a correlazioni con i risultati prove in situ (carico con piastra, SPT,..) o correlazioni empiriche come ad esempio quella di Burland e Burbidge ⁸² dove il cedimento vale

!_!! = !_!!_!!_! !!− 2 3 !_!!! !!,!!_! (4.55)

con q’ pressione effettiva media sul piano di fondazione dove !_! = ^1,25!/!_! ! + 0,25 ! (4.56)                                                                                                                 80

Skempton A.W., Bjerrum L., A contribution to the settlement Analysis of foundations on clay, Geotechnique, vol.7, 1957

81    Poulos H.G., Davis E.H., Pile Foundation Analysis and Design, Joh Wiley & Sons, New York, 1980

82

Burland J.B., Burbidge M.C., Settlement of Foundations on Sand and Gravel, Proc. Inst. Civil Eng., part 1, vol.78, 1985

!_! = ^! !_! ^{2 −}

!

!_! ^(4.57)

con H spessore dello strato deformabile

!_! = 1 + !_!+^!!!"#$

3 ^(4.58)

con t tempo in anni trascorso dalla costruzione, R₃ pari a 0,3 per carichi statici e 0,7 per ciclici e R_t uguale a 0,2 o 0,8.

Inoltre

!_! =^1,706

!_!^{!,! (4.59)}

Con Nm valore medio di NSPT per la profondità significativa zi.

Nel caso di sabbie limose e in falda, è opportuno ricorrere al coefficiente correttivo Terzaghi-Peck

!! = 15 + 0,5(! − 15) (4.60)

Esiste anche un altro metodo, il metodo Schmertmann, che offre soluzioni abbastanza valide soprattutto per sabbie normalmente consolidate.

4.3.3 Cedimenti di fondazioni su pali

L’ipotesi essenziale da farsi è che le sollecitazioni vengano trasmesse al terreno solo attraverso il sistema della palificata e non attraverso la struttura che collega le teste dei pali (il cui apporto è trascurabile).

Di norma se il palo viene realizzato facendo riferimento ai calcoli del carico limite previsti anche dalle NTC 2008 i cedimenti risultano essere limitati.

Per valutare in generale il comportamento di un palo isolato, si fa riferimento a due tipologie di prove: prove di progetto, che permettono di individuare la relazione carichi-cedimenti e il carico limite su pali di prova sacrificali, prove di collaudo su pali in opera per verificarne il loro comportamento sotto carichi di esercizio.

Il cedimento complessivo che interessa le fondazioni su pali è per la maggior parte costituito da cedimento immediato, sia che si tratti di terreni coesivi che a grana grossa.

Nel caso di sistemi di pali va presa in considerazione l’influenza reciproca che gli elementi costituenti la fondazione possono manifestare, sia nelle loro componenti strutturali che per quanto riguarda le tensioni trasmesse al terreno.

Un’approssimazione spesso utilizzata è quella di semplificare il comportamento della palificata, soprattutto se di ampie dimensioni, con quello di una fondazione diretta fittizia. Si può alternativamente considerare a questo proposito:

• soluzione Terzaghi, profondità fondazione ! = 2/3!, con L profondità della palificata e platea superficiale con carico uniformemente distribuito

• profondità della fondazione ! = ! ma carico a trapezio su base ampliata in rapporto 4:1 per argille compatte e 10:1 per argille molli

• soluzione Viggiani, che per pali sospesi considera una profondità fittizia pari a L_e=(L-L_s)/3 (con L_s spessore dello strato di terreno scadente) e per pali portanti di punta considera L_e che è pari alla lunghezza di penetrazione all’interno dello strato consistente

Tuttavia, qualora le palificate siano di estensione ridotta, è possibile estendere il comportamento del singolo palo all’intera palificata. Può essere utile però calcolare un coefficiente di rigidezza equivalente di un materiale omogeneo dato dall’insieme pali e terreno compreso tra di essi.

Ipotizzando che non vi sia scorrimento reciproco si può affermare che

!_! = !_! = !∗ (4.61)

relazione che evidenzia la congruenza tra le deformazioni del palo, del terreno e del materiale equivalente.

Definendo tale equivalenza in termini tensionali vale !_! !_!!_! ⁼ !_! !_!!_! ⁼ !_!"! !∗!_!"! ^(4.62) !_!+ !_!= !_!"! (4.63)

Si definisce così il modulo elastico equivalente !∗ = ^!!!!_!^{+ !!!!}

!"! (4.64)