Celle Simmetriche

Per celle simmetriche intendiamo linee di trasporto composte da elementi magne-tici idenmagne-tici, dotati quindi di medesime lunghezze e campi magnemagne-tici. In termini di ottica geometrica ciò risulta essere l’analogo dell’utilizzo su un piano ottico di lenti caratterizzate dallo stesso potere diottrico (o medesima focale).

Prendiamo ad esempio un sistema simmetrico F ODO in approssimazione di lente sottile, ricordando che, questo tipo di approssimazione ci porta a una condizione di focalizzazione su entrambi i piani trasversi espressa in (2.62). L’equazione, in questo caso, risulta dipendente unicamente da aspetti geometrici come le distanze tra le lenti e la sorgente.

Se prendiamo ad esempio, L₁ = 2 cm ed L2 = 3 cm, rispettivamente lunghezze del drift iniziale e del drift posto tra i quadrupoli, si ottiene che il fuoco della lente risulta posto a f =

q

L2 1L2

2L1+L2 = 1.3093 cm. Noto quindi che _f¹ = k L_Q, in cui L_Q risulta essere lo spessore della lente, preso un k = 10 cm⁻² si ottiene una linea che focalizza le particelle su entrambi i piani xz e yz e nello stesso punto. I quadrupoli avranno gradiente di ∼ 78100 T/m ¹(dalla (2.12)), per questo tipo di sistema risultano essere dotati di lunghezza L_Q= 0.7637 mm. Ovviamente non esistono elementi magnetici provvisti di tali parametri, quindi considerazioni su celle simmetriche in lenti sottili (per le quali si hanno k → ∞) rimangono solo speculazioni teoriche.

Esamineremo ora due esempi di linee simmetriche al fine di riprendere alcuni argomen-ti trattaargomen-ti analiargomen-ticamente nel capitolo precedente. Questa trattazione ci permetterà di affrontare, alla luce del modello ideale, la sezione successiva in cui tratteremo le celle asimmetriche.

Cella FODO

Come primo esempio numerico considerato prendiamo la cella O₁DO₂F per la quale si sono scelti L₁ = 2 cm ed L2 = 1 cm. Risolvendo la condizione di focalizzazione

1

per lenti spesse (2.67) per f = 3 cm e k = 0.5 cm⁻², otteniamo la lunghezza degli elementi attivi L_Q = 1.6 cm.

Riassumendo troviamo una linea di trasporto come quella rappresentata in tabella:

Elemento Lunghezza(cm) Gradiente(T /m)

O 2.0 0.0

D 1.6 3957

O 1.0 0.0

F 1.6 3957

O 2.0 0.0

In figura 3.1 sono rappresentate le traiettorie nei piani trasversi delle particelle con impulso iniziale 25 mrad.

Nelle 3.2 vengono invece rappresentate, nello spazio delle fasi, le ellissi fornite dalla trattazione delle funzioni betatroniche del capitolo 2 ed espresse nella forma:

1 β^[x

2+ (αx + βx⁰)²] = 

in cui si è presa in considerazione la sola componente x per semplificare l’esposizione dei risultati. Su queste ellissi si muovono gli stati associati alla particella (x, x⁰). Nel momento in cui si tratta, non più con una singola particella, ma con un fascio con una propria distribuzione spaziale, l’ellisse rappresenta la curva di energia massima nello spazio delle fasi che possiamo associare ai protoni. Tutte le particelle che percorrono la linea sono quindi descritte uno stato dinamico (x, x⁰) che è posto all’interno della conica.

La teoria vuole che l’ellisse, attraversando i vari elementi che compongono la cella di trasporto, si deformi mantenendo la stessa area (fornita da π), fino a tornare dopo un periodo alla configurazione iniziale. Nella (a) viene rappresentata l’ellisse iniziale e un raggio posto in (x = 0, x⁰) che descrive appunto un protone puntiforme posto nell’origine del nostro sistema. Questo vettore si muove, come si può osservare in (b) e (c), lungo l’ellisse con avanzamento di fase Φ(s) =^R₀^s_β(s)^ds = 2πν + ˆΦ(s). Si nota quindi che mentre l’ellisse ritorna, dopo un periodo dato da_{Φ(s), uguale a quella di}ˆ partenza, il raggio a causa del termine di avanzamento di fase 2πν = tornerà alla posizione iniziale x = 0 solo quando ν è un numero intero. Ciò risulta evidente in figura (d) in cui è rappresentata l’ellisse nel punto di focalizzazione, fatto che viene confermato anche nel grafico della traiettoria di singola particella nel piano xz. Per un’analisi più approfondita sull’avanzamento di fase rimandiamo al capitolo 2.

Figura 3.1: La figura mostra la traiettoria nei piani xz e yz di fasci di energia 30 MeV all’interno di una linea ODOF simmetrica dotata di drift L1 = 3 cm ed L2 = 2 cm e di quadrupoli con lunghezze 1.6 cm e gradienti 3957.215 T/m

(a) Ellissi nell’origine z = 0 cm. (b) Ellissi superato il primo elemento defocusing z = 3.6 cm.

(c) Ellissi in z = 6.2 cm. Da notare che in questo caso Φ(s) =R6.2

0 ds/ ˙β = 2.7925

(d) Ellissi nel punto di focalizzazione. Φ(s) = R8.21cm

0 ds/ ˙β(s) = 3.1415

Figura 3.2: Nelle figure sono rappresentate le ellissi nello spazio delle fasi nel piano trasverso xz considerato un fascio dotato di emittanza  = 1 cm mmrad.

Cella ODOFOFODO

Se l’esempio precedente ci è stato utile nell’illustrare come si muove l’ellisse delle funzioni betatroniche nello spazio delle fasi, la cella ODOF OF ODO ci aiuta a illustrare come particelle dotate di stesse energie ma differenti impulsi trasversi iniziali si rifocalizzano tutte nei medesimi punti (Figura 3.2), mentre le particelle dotate di energie diverse non faranno altrettanto. Il sistema di quadrupoli risulta quindi ideale, come avevamo già sostenuto, per la selezione di particelle dotate di medesima energia. Inoltre questo sistema risulta ideale anche per il trasporto poichè, come viene detto nella sezione 2.2, non fa altro che traslare le stesse condizioni iniziali.

Nelle figure 3.3 e 3.4 sono raffigurate le traiettorie di particelle a 30 MeV, nei piani trasversi all’interno della linea simmetrica

Elemento Lunghezza(cm) Gradiente(T /m)

O 2.0 0.0 D 4.7 791.44 O 3.0 0.0 F 4.7 791.44 O 2.0 0.0 F 4.7 791.44 O 2.0 0.0 D 4.7 791.44 O 3.0 0.0

realizzata in l’approssimazione di lente spessa con k = 0.1cm⁻².

Come per il caso di lenti sottili, il calcolo della matrice fondamentale per una linea sì fatta produce, per k ∈ [0.44; ∞] , una traccia esattamente uguale a 2. Risulta quindi che questa si riduce alla solita forma di Jordan che porta Mⁿad avere una divergenza lineare.

Figura 3.3: In questa figura vengono graficate le traiettorie nei piani trasversi di particelle con medesima energia K = 30 MeV. Si sono presi impulsi trasversi iniziali di valori 10 mrad (linea rossa) , 25 mrad (linea verde) e 40 mrad (linea blu).

Figura 3.4: La figura mostra che le traiettorie nei piani trasversi delle particelle di medesimo impulso trasverso iniziale p_x= p_y= 0.01 rad, ma energia differente non solo non vengono focalizzate nello stesso punto, ma si può affermare che non convergano proprio. In rosso e arancio si hanno le traiettorie per energia cinetica a 29 MeV, in blu e cyan per 31 MeV e in verde quelle per 30 MeV.