Focalizzazione da lente spessa

(2.64)

per cui se interiamo n volte otteniamo 

xn= x0

x0

n= x⁰₀+ nλx0



trovando una divergenza angolare un’altra volta e quindi l’instabilità lineare. Instabi-lità di cui abbiamo già parlato nel paragrafo 2.2.2, ma che si concretizza solo quando la posizione iniziale non coincide con l’asse ottico (come si vede in figura 2.4).

2.3.2 Focalizzazione da lente spessa

Si riprendano le matrici di trasporto (2.19) e (2.20) date dalle soluzioni delle equazioni nel piano R²x di evoluzione all’interno dei quadrupoli x⁰⁰± kx = 0. In

questa maniera otteniamo nel piano R²x le seguenti matrici: F =   cos α ^{sin α}√ k −^√k sin α cos α   D =   cosh α ^{sinh α}√ k −^√k sinh α cosh α   O = ^{1 L} 0 1 ! .

Analogamente a quanto fatto per il caso delle lenti sottili prendiamo il caso più semplice di linea di trasporto composta da due elementi quadrupolari posti nella seguente sequenza:

→ O₁ → D → O₂→ F →

e andiamo a studiarne la matrice di trasferimento solo nel piano xz, ricordando che per yz la trattazione sarà la medesima.

M^x= F O₂DO₁ = ^{cos α L2cos α +} sin α_√ k −^√k sin α cos α − L2 √ k sin α !

cosh α L1cosh α +^{sinh α}√ k

−^√k sinh α cosh α − L2

√

k sinh α !

Il prodotto fornisce una matrice di elementi:

M^x₁₁= cos α cosh α + L₂^√k cos α sinh α + sin α sinh α M^x₁₂= L₁cos α cosh α +√¹

k^{cos α sinh α + L2cos α cosh α+} + L₁L₂

√

k cos α sinh α + √¹

k^{sin α cosh α + L1sin α sinh α (2.65)} M^x₂₁= −

√

k sin α cosh α + √

k cos α sinh α + L2k sin α sinh α M^x₂₂= −L1

√

k sin α cosh α − sin α sinh α + cos α cosh α+ + L1

√

k cos α sinh α − L2

√

k sin α cosh α − L1L2k sin α sinh α

Se a questa linea si aggiunge un ultimo elemento drift di lunghezza a L₁ in modo da ottenere il sistema simmetrico

→ O₁→ D → O₂ → F → O₁ → si ottiene una matrice di trasferimento per il piano xz:

¯ M^x =O1F O2DO1= O1M^x = ^{1 L1} 0 1 ! M^x₁₁ M^x₁₂ M^x₂₁ M^x₂₂ ! = ^M x 11+ L₁M^x₂₁ M^x₁₂+ L₁M^x₂₂ M^x₂₁ M^x₂₂ !

Si applichi ora il vettore dello stato iniziale del fascio alla matrice di trasporto. Come risultato otteniamo un altro vettore che ci descrive lo stato nello spazio delle fasi.

(a) (b)

Figura 2.5: Propagazione trasversa di due esempi di linea di trasporto composta da quadrupoli nel caso di lente spessa con k = 0.1 cm⁻²:

a) Linea di trasporto O1F O2DO3 dove si è scelto L1 = 2cm,L2 = 3cm e LQ = 4.70cm. b)Linea di trasporto O1DO2F O1O1F O2DO3 dove si sono presi gli stessi valori di (a) per L1, L2 e per f . Notiamo a differenza del sistema (a) che i raggi alla fine della linea tornano alle condizioni iniziali.

Imponendo che la posizione nel piano trasverso xz sia nulla si ottiene la condizione di convergenza. Infatti ¯ M^x 0 x⁰₀  = x⁰₀Mx 12+ L₁M^x₂₂ M^x₂₂  = 0 x⁰  (2.66)

La condizione può essere quindi scritta come: M^x₁₂+L1M^x₂₂= (2L1+ L2) cos α cosh α + L²₁L2

√

k(cos α sinh α − sin α cosh α+ +√¹ k^{sin α cosh α(1 − L} 2 1k) +√¹ k^{cos α sinh α(1 + L} 2 1k) − L²₁L₂k sin α sinh α = 0 (2.67) Da questa equazione non si è riusciti ad estrarre una soluzione analitica, ad esclusione di quella che si ottiene dal limite L₁ = L₂ = 0:

cos α sinh α + cosh α sin α = 0 , (2.68) la cui soluzione è garantita da α = 2.365 , 5.5 , . . . .

Come si può notare una soluzione analitica per l’equazione presentata risulta difficil-mente ottenibile. Si è tentato di trovare una soluzione numerica nella variabile L_Q mediante la relazione nota k L_Q= α/^√k = 1/f : una volta fissati come parametri dell’equazione k ed f si è applicato il metodo di bisezione alla (2.67).

La scelta di questi valori risulta, tuttavia, problematica: se si sceglie, ad esempio, √

k = 0.11 cm⁻¹ si noterà che da 1/f = k L_Q segue L_Q = _{0.11 cm}^2.365−1 = 21.5 cm, che risulta una lunghezza eccessiva per dei magneti permanenti (la cui lunghezza solitamente non supera i 5/6 cm).

Preso invece il parametro k con valore 0.1 cm⁻¹ si è trovato si, un valore di L_Q accettabile pari a 5.3 cm, tuttavia a energie di 30 MeV questo corrisponde a gradienti quadrupolari ricavabili da (2.12) troppo intensi per essere realizzabili.

Notiamo che per k ∈ [0.5 ; 1.0] cm⁻², si riescono ad ottenere delle mappe di trasporto con lenti spesse, dotate di traccia 6 2 a indicare soluzioni stabili per le quali sono calcolabili le funzioni betatroniche.

Il discorso può essere esteso a sistemi di multipletti simmetrici come quelli della figura 2.5 (b) (O₁DO₂F O₁O₁F O₂DO₁). Si nota infatti che questo tipo di linea comporta, come nel caso di lente sottile, una traccia esattamente pari a due che ci riporta a soluzioni instabili con divergenze dipendenti linearmente dal numero di passaggi sulla linea.

Nel prossimo capitolo si illustreranno diversi tipi di linee di trasporto riprendendo, nel caso delle celle simmetriche, i risultati presentati in questa sezione.

Capitolo 3

Risultati numerici per Protoni a

30 MeV

In attesa di ottenere energie accettabili per poter realizzare acceleratori laser-plasma ad alte energie, la ricerca in questo campo si è andata focalizzando sulle possibili applicazioni al di fuori della fisica delle particelle.

In questo senso è stato considerato l’impiego di queste apparecchiature in trattamenti di malattie tumorali mediante adroterapia. In molti casi, tuttavia, queste possibili applicazioni sono state scoraggiate dai limiti legati alla qualità dello spettro energetico dei protoni generati.

Oggi la prospettiva sull’accelerazione laser plasma più realistica risulta essere, come si è già accennato, l’iniezione in una cavità post-accelerante. La realizzazione di un apparato ibrido di questo genere risulta tuttavia complessa considerando che vi è la necessità di ottenere, prima dell’iniezione, un fascio monocromatico caratterizzato da un numero accettabile di protoni. Il trasporto risulta quindi fondamentale al fine sia di ottenere una selezione in energia, sia di focalizzare il fascio riducendone lo spread angolare (che tra l’altro risulta, per l’accelerazione laser-plasma in regime TNSA, particolarmente accentuato).

In questo capitolo tratteremo, su diversi tipi di sistemi, la dinamica di fasci a 30 MeV in una linea di multipletti di quadrupoli magnetici.

In un primo momento riprenderemo velocemente alcuni esempi ottenuti con approssi-mazione di lenti sottili e spesse, mostrandone i limiti ma sottolineandone l’importanza dal punto di vista teorico. Nella seconda parte di questo capitolo prenderemo in considerazione invece una linea asimmetrica che, come vedremo, risulterà essere la situazione che meglio rappresenta un sistema reale con parametri fisicamente accettabili. Tutto ciò sarà fatto mediante i risultati di simulazioni numeriche ottenute dalla trattazione matriciale espressa nella sezione 2.2.

3.1 Sistemi di focalizzazione

Consideriamo particelle relativistiche di massa m dotate di energia cinetica K = 30 MeV. L’impulso iniziale p sarà fornito dalla conservazione del quadrimpulso:

E²= (K + mc²)²= p²c²+ m²c⁴ (3.1) ˆ p²= ^p 2 m2c2 = ^{(K + mc} 2)² m2c4 − 1 =⇒ p =ˆ r 2K mc2  1 + ^K 2mc2 1/2 (3.2)

Notiamo che l’impulso normalizzato non è altro che il parametro relativistico β = v/c. Per protoni da 30M eV la correzione relativistica non supera la soglia di rilevanza K/2mc²< 0.016, quindi si considererà l’impulso normalizzato classico

ˆ p = r 2K mc2 = s 60M eV 938.27^{M eV}_c2 c2 ∼ 0.252878 (3.3)

Durante la trattazione numerica utilizzeremo la relazione nota (2.11) x⁰, y⁰ ' θ_x,y ottenuta in approssimazione parassiale. La relazione ci permetterà di esprimere in unità angolari, solitamente in mrad (milliradianti), gli impulsi trasversi delle particelle. Per ridurre lo spread angolare del fascio viene impiegato un collimatore circolare di raggio r ' 0.5 mm posto in prossimità del foglio metallico utilizzato come bersaglio. In questa maniera si ottengono impulsi trasversi tipicamente pari a

q

x⁰₀²+ y₀⁰²= θ0 . 50 mrad (3.4) Presa la (2.8) possiamo notare che gli impulsi trasversi massimi (considerati) incidono su quello longitudinale secondo:

p_z =^qp2− p2 x− p2

y ' 0.253509 , (3.5) in cui |p_maxX| ' |p| = 0.012644 , θ_0Xmax = |p_maxY| ' |p| θ_{0Y max}= 0.012644.

Come si può vedere, l’impulso longitudinale non risulta alterato significativamente (meno del 1%) da quelli trasversi.

Il punto di focalizzazione dei raggi per una cella FODO dipende quindi fondamental-mente dall’energia della particella. Ciò è dovuto alla dipendenza delle (2.60) e (2.67) dal parametro k = eB₀

mc2βd^.

Avremo quindi che, particelle con stessa energia ma distribuzione angolare differente, verranno focalizzate nei medesimi punti, mentre particelle dotate di identici impulsi trasversi ma con energie dissimili, verranno focalizzate in punti diversi. Per ottenere un sistema che, oltre al trasporto, riesca anche a selezionare cariche dotate di energia

definita, basterà porre un secondo collimatore nel punto di focalizzazione. In questa maniera è possibile ottenere un fascio quasi monoenergetico dotato di un piccolo spread, condizione necessaria per l’iniezione all’interno di un linac.

In questo capitolo analizzeremo il comportamento delle traiettorie delle particelle in sistemi simmetrici e asimmetrici di quadrupoli.

Anticipiamo che la realizzabilità di sistemi simmetrici risulta puramente teorica: ciò è dovuto, come vedremo, alle soluzioni per le condizioni di focalizzazione in approssi-mazione di lenti spesse e sottili che producono parametri, per le lenti magnetiche, fisicamente non realistiche.