Nei paragrafi precedenti si sono considerati protoni dotati di energie ben definite e di angoli definiti. In realtà il fascio di particelle generate in regime TNSA possiede, prima di entrare nel sistema di trasporto, una distribuzione di energia esponenziale e una distribuzione angolare che consideriamo uniforme.
In un primo momento viene posto un primo collimatore in prossimità del target che seleziona le particelle con θ0 =
q
x002+ y002 ≤ 0.05 rad. Definito N0, il numero di cariche che riescono a passare la prima selezione, otteniamo una distribuzione ρ(E, θ0) all’interno della linea nella forma
dN
dEdθ = N0ρ(E, θ) (3.6) con ρ(E, θ) normalizzata
Z Emax Emin dE Z θ0 max θ0 min dθ ρ(E, θ0) = 1 (3.7)
Si assume ora per semplificare la trattazione che la distribuzione sia fattorizzabile: ρ(E, θ0) = ρE(E)ρθ(θ0) (3.8) dove
ρE(E) = 1 E0
e−E/E0
eEmin/E0 − eEmax/E0H(E; Emin, Emax) (3.9) e dove
ρθ(θ0) = 1
θ0 max− θ0 minH(θ0; θ0 min, θ0max) (3.10) in cui si sono definiti H(x; a, b) = 1 se x ∈ [a, b] e H(x; a, b) = 1 se x ∈ [a, b]. Se Emin E0 e Emax E0, allora lo spettro energetico
ρE(E) = 1 E0e
−E/E0
(3.11)
in cui E0 = hEi è il valor medio della distribuzione. Noto ciò si può esprimere lo spettro di uscita dal collimatore per una linea O1DO2F O1O1F O2DO3 posto in z = 3L1+ 2L2+ 4LQ+ L3 come
ρF(E) =
Z θ0 max
θ0 min
dθ0ϑ(r − Aθ)ρE(E) = g(E)ρE(E) . (3.12)
Si è fissato il drift O3 in modo tale che corrisponda al fuoco per Erif = 30 MeV. L’integrale della funzione g(E) restituisce la frazione di particelle che ad una data
energia passano dalla fenditura: ∆N ' N0 ∆E E0 e −Eref/E0 Z Eref+∆E Eref−∆E g(E)dE (3.13)
Nella figura 3.9 si presenta l’andamento di g(E) per una linea di trasporto asimmetrica in regime non relativistico come quella considerata nella sezione precedente, in cui il collimatore finale, di raggio 0.5 mm, è stato posto nel punto di focalizzazione di particelle a 30 MeV ( 88.5 cm). Si sono presi in considerazione distribuzioni angolari uniformi in un range [θ0min; θmax = 0.05 mrad ] ed energetiche esponenziali nel range [1; 60] MeV.
Il rumore che appare nella 3.7 è causato dalle particelle con angoli prossimi a θ0 = 0, e che quindi riescono a superare la selezione indipendentemente dalla loro energia. Per cercare di eliminare questo effetto si potrebbero fermare le particelle mediante l’utilizzo di filtri estremamente sottili (inferiori al micron) ma di difficile realizzazione. Le simulazioni mostrano che il 66.93 % dei protoni di energia compresa tra 29 e 31 MeV superano la selezione; se ci si discosta di una quantità ∆E = 2 MeV la percentuale di protoni fruibili cala al di sotto del 19 %. La linea permette quindi di ottenere fascio dotato di uno spread in energia inferiore al 4 % nel caso in cui la θmin = 0.001 rad; sarà dotato invece di uno spread del 15 % con θmin= 0.0 rad2.
2
Entrambi i risultati sono stati ottenuti dal calcolo della varianza ∆E =r P(Ei− ¯E2) N − 1 per la distribuzione con picco attorno al valore hEi = 30 MeV
Figura 3.9: Distribuzione con θmin= 0 rad
Conclusioni
Nel lavoro presentato si è affrontato, prima da un punto di vista analitico poi da un punto di vista numerico, il trasporto di protoni accelerati interazioni laser-plasma. Si è scelto come regime di accelerazione il regime noto TNSA che prevede l’utilizzo di bersagli su cui incide un impulso elettromagnetico ultrabreve e ad alta intensità. Il problema del trasporto risulta essere non banale in quanto lo spettro, ottenuto in questo regime, è esponenziale con un cutoff dipendenti dall’intensità del laser e dalla natura del bersaglio.
Per questi motivi le energie ottenibili tutt’oggi con questo tipo di accelerazione, se confrontate con le intensità raggiunte dal fascio, risultano ancora troppo basse per l’utilizzo di questi sistemi in applicazioni, per esempio, adroterapeutiche. La cura di tumori con profondità di pochi cm richiede infatti protoni di almeno 60 MeV che tuttavia risultano essere, ad oggi, il limite superiore raggiungibile con questo tipo di accelerazione.
Ci si è concentrati quindi su protoni di (30.0 ± 0.5) MeV di energia per i quali si ottengono intensità accettabili con numeri di particelle N0(30 MeV) ∼ 108. Questo fascio potrebbe essere accelerato ulteriormente mediante un linac posto in serie all’acceleratore laser-plasma con lo scopo di raggiungere energie superiori. Per permettere questo risulta necessario iniettare nel linac particelle monoenergetiche dotate di piccoli momenti trasversi. Per procedere è quindi necessario un sistema di trasporto che comporti, oltre alla focalizzazione, anche una selezione in energia. Per raggiungere lo scopo è stato utilizzato un sistema di multipletti di quadrupoli con collimatori.
Si è quindi studiato come i quadrupoli possano fungere da lenti magnetiche, il cui fuoco, non dipende solo dall’intensità del campo magnetico al loro interno, ma anche dall’energia posseduta dalle particelle che le attraversano. In questa ottica si sono affrontati i problemi di focalizzazione per linee simmetriche(composte da lenti dotate di poteri diottrici identici) alla luce delle approssimazioni di lenti sottili e spesse, trovandone le condizioni di convergenza per semplici linee. Si è affrontato il problema anche per sistemi asimmetrici grazie ai quali si è riusciti a ottenere una linea dotata di parametri realistici.
Infine si è studiata la trattazione di Courant-Snyder per le funzioni betatroniche ottenute sia dalle equazioni differenziali periodiche lungo la linea.
I risultati ottenuti dalla trattazione numerica per protoni a 30 MeV confermano la teoria e illustrano alcuni esempi di linee di trasporto che, potenzialmente, potrebbero essere utilizzate per trasmettere i protoni accelerati da interazione laser-plasma a strutture di post-accelerazione. Posto infatti un primo collimatore vicino alla sorgente a selezionare protoni con divergenza iniziale θ0 6 50 mrad, e collocatone un secondo nel fuoco per le particelle di Eref = 30 MeV a selezionare ulteriormente il fascio, si è ottenuto un sistema, composto da due coppie di quadrupoli Focusing e Defocusing, in grado di ottenere un fascio in uscita quasi monoenergetico (con spread inferiore al 4 % con possibilità di selezionarlo ulteriormente).
Il sistema proposto più essere ulteriormente ottimizzato. La combinazione con un solenoide iniziale che ha un’apertura maggiore potrebbe migliorare ulteriormente le prestazioni della linea di trasporto.
Appendice A
Formulazione hamiltoniana
Le traiettorie di raggi luminosi o particelle in acceleratori sono descritte dalle equazioni di Hamilton. Le traiettorie in entrambi i casi sono determinate dal principio di Maupertuis in quanto si suppone che i percorsi di raggi, o particelle, soggette a potenziali trasversi (V (x, y)) non si discostano in maniera significativa dalla traiettoria ideale. Preso quindi il funzionale azione ridotta
W = Z p · vdt = Z q 2m(E − ¯V ) ds dt dt = √ 2mE Z n ds n = q 1 − ¯V /E,
definito sulle traiettorie isoenergetiche, questo risulta essere stazionario sulla traiet-toria fisica. Il termine R nds appare anche nel principio di Fermat per le traiettorie dei raggi luminosi se si interpreta n come l’indice di rifrazione. In effetti se si tratta con forze conservative le traiettorie delle particelle sono le stesse di quelle percorse da raggi in un mezzo con indice di rifrazione n.
Definiamo V = ¯ V 2E.
Preso come riferimento cartesiano quello per cui dz è parallelo alla linea ideale di propagazione, si riesce ad esprimere l’arco di lunghezza ds come:
ds =pdx2+ dy2+ dz2=p1 + x02+ y02dz , quindi W = Z n ds = Z z2 z1 np1 + x02+ y02dz (A.1)
La Lagrangiana L = np1 + x02+ y02 soddisfa le equazioni di Eulero Lagrange. I momenti coniugati alle variabili x e y saranno ottenibili dalle equazioni di Lagrange:
px = ∂L ∂x0 = n x0 p 1 + x02+ y02 py = ∂L ∂y0 = n y0 p 1 + x02+ y02 Sapendo poi che
H = x0px− L = n x 02+ y02 p 1 + x02+ y02 − np1 + x02+ y02 ! = √ −n 1 + x02 = −px x0 x02(n2− p2 x− p2 y) = p2x H = −px x0 = − q n2− p2 x− p2 y
Otteniamo in questa maniera l’equazione per l’hamiltoniana che definiremo orbitale.
Approssimazione parassiale
Se il potenziale V è invariante per traslazione lungo l’asse longitudinale (z) e E >> |V | ≥ 0 otteniamo che la traiettoria si muove vicino alla traiettoria di riferimento. Questa approssimazione detta parassiale prevede che
n =p1 − V /E ' 1 − V /(2E) px' x0 py ' y0 così da ottiene una hamiltoniana
H = p 2 x+ p2y 2 + V 2E
in cui il potenziale è conservativo e in coordinate cartesiane è ottenibile facilmente dalla (2.6)
V 2E = k
x2− y2
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