Ricordiamo la definizione di modello a volatilit`a stocastica da (4.2). Supponiamo che le distribuzioni marginali di Z siano a variazione regolare con indice α, e che valga la condizione di bilanciamento della coda
lim x→∞ P {Zt > x} P {|Zt| > x} = p e lim x→∞ P {Zt≤ −x} P {|Zt| > x} = q, (4.4)
dove p + q = 1 per un qualche p ∈ [0, 1]. Allora, utilizzando la (4.3), otteniamo che P {Xt > x} ∼ E[σtα]P {Zt> x} e P {Xt≤ −x} ∼ E[σαt]P {Zt≤ −x}, x → ∞,
(4.5) purch`e E[σtα+] < ∞ per un qualche > 0. Nel seguito assumeremo la validit`a della (4.4), e richiederemo anche che valga
Allora anche Z1Z2 `e a variazione regolare con indice α e soddisfa, in seguito a quanto
dimostrato in [5],
P {Z1Z2 > x}
P {|Z1Z2| > x}
→ ˜p := p2+ (1 − p)2 per x → ∞. (4.7)
Un’altra applicazione della (4.3) implica che X1Xh `e a variazione regolare con indice
α:
P {X1Xh > x} = P {Z1Z2σ1σh > x} ∼ E[(σ1σh)α]P {Z1Z2 > x},
P {X1Xh ≤ −x} = P {Z1Z2σ1σh ≤ −x} ∼ E[(σ1σh)α]P {Z1Z2 ≤ −x},
(4.8) purch´e E[(σ1σh)α+] < ∞ per qualche > 0.
4.3
Convergenza di processi puntuali
In questa sezione dimostriamo la convergenza in distribuzione dei processi puntuali costruiti partendo dal processo a volatilit`a stocastica X := [Xt]t definito in (4.2). Si
assume sempre che le innovazioni Ztsiano a variazione regolare con indice α positivo,
soddisfino la condizione di bilanciamento della coda (4.4) e la condizione sul momento (4.6).
Nell’articolo [5] viene stabilita la convergenza dei processi puntuali per una suc- cessione di processi puntuali basati sui prodotti incrociati della successione {Zt}t∈Z.
Come mostriamo sotto, vale lo stesso risultato per i prodotti incrociati basati sul pro- cesso a volatilit`a stocastica. Allo scopo di descrivere il processo di limite puntuale, che riguarder`a anche lo studio dell’ACF, siano
∞ X k=1 εPe k,0, ∞ X k=1 εPe k,1, . . . , ∞ X k=1 εPe k,h
processi di Poisson indipendenti su R \ {0} con misure di intensit`a uguali a ˜
λ0(dx) = α [px−αI(0,∞)(x) + (1 − p)(−x)−αI(−∞,0)(x)] dx,
˜
λi(dx) = α [˜px−αI(0,∞)(x) + (1 − ˜p)(−x)−αI(−∞,0)(x)] dx, i = 1, . . . , h,
rispettivamente (qui εx(·) indica la misura puntuale con massa unitaria nel punto
{x}). Ponendo
Pk,0= kσ1kαPek,0, Pk,i = kσ1σ1+ikαPek,i, k ≥ 1, i = 1, . . . , h,
dove
segue che ∞ X k=1 εPk,0, ∞ X k=1 εPk,1, . . . , ∞ X k=1 εPk,h
sono processi di Poisson indipendenti con funzioni di intensit`a
λ0(dx) = kσ1kααλ˜0(dx) e λi(dx) = kσ1σ1+ ikααλ˜i(dx), i ≥ 1.
Siano {an} e {bn} rispettivamente gli (1 − n−1)-quantili di |Z1| e |Z1Z2|, definiti
da
an= inf{x : P {|Z1| > x} ≤ n−1} e bn= inf{x : P {|Z1Z2| > x} ≤ n−1}. (4.9)
Consideriamo il caso in cui il processo con volatilit`a [σt] sia m-dipedente.
Teorema 4.1. Supponiamo che [Xt]t∈Z sia il processo a volatilit`a stocastica dato
dalla (4.2), dove la distribuzione marginale di Z soddisfa (4.4) e (4.6). Sia {σt} una
successione stazionaria e m-dipendente di variabili aleatorie non negative tali che, per h ≥ 1 fissato,
∃ > 0 tale che E[σα+
1 ] < ∞ e E[(σ1σ1+k)α+] < ∞ per k = 1, . . . , h.
Sia
Yn,t= (a−1n Xt, b−1n XtXt+1, . . . , b−1n XtXt+h),
e {an} e {bn} sono date dalla (4.9). Allora
Nn= n X t=1 εYn,t →dN = h X i=0 ∞ X k=1 εPk,iei, (4.10)
dove ei ∈ Rn+1 `e l’elemento della base avente la i-esima componente uguale a 1 e le
altre uguali a 0.
Osservazione. I punti del processo puntuale N sono concentrati sugli assi coordinati e distribuiti in maniera indipendente secondo i processi di Poisson con misure di inten- sit`a λi. Usando le trasformate di Laplace `e facile vedere che N `e un processo puntuale
di Poisson con misura di intensit`a ν(dy0, . . . , dyh) =
Ph
i=0λi(dyi)
Q
j6=iε0(dyj).
Dimostrazione. `E immediato vedere che il processo stocastico a volatilit`a [Xt]teredi-
ta la propriet`a di m-dipendenza del sottostante processo con volatilit`a (σt). Pertanto
(Yn,t)t≥1 `e (m + h + 1)-dipendente per ogni n ≥ 1 e soddisfa la condizione di rimesco-
lamento D∗ descritta in [6] e grazie al Teorema in [6] che le caratterizza, `e sufficiente dimostrare che:
(i) detta ν `e la misura di intensit`a di N , nP {Yn,1∈ ·}
v
→ ν(·), (4.11)
(ii) per ogni funzione continua non negativa g ≤ 1 a supporto compatto in Rn+1\{0}, lim
k→∞lim supn→∞ n [n/k]
X
i=2
E[g(Yn,1)g(Yn,i)] = 0, (4.12)
Dalla (4.8) e dalla (4.5) otteniamo che per k ≥ 1 vale:
n P {b−1n X1X1+k > x} ∼ λk(x, ∞) e n P {a−1n X1 > x} ∼ λ0(x, ∞). (4.13)
Per j > i > 1 fissati e M > 0 poniamo X∗ = |X1| max(σi, σj) e An= {a−1n X∗ > M }.
Allora per ogni x > 0 e j > i > 1 abbiamo
P {b−1n |X1Xi| > x, b−1n |X1Xj| > x} ≤ P {b−1n |Zi|X∗ > x, b−1n |Zj|X∗ > x, An} +
+ P {b−1n |Zi|X∗ > x, bn−1|Zj|X∗ > x, Acn} ≤
≤ P (An) + P {anb−1n |Z| > xM −1}.
Applicando la (4.3) otteniamo che lim supn→∞n P (An) `e controllato dalla quan-
tit`a E[(σ1max(σi, σj))α] M−α. Poich´e bn/an → ∞ (utilizzando un risultato di [5]),
lim supn→∞n P {anb−1n |Z| > xM−1} = 0. Di conseguenza abbiamo che
n P {b−1n |X1Xi| > x, b−1n |X1Xj| > x} → 0, (4.14)
e con un ragionamento analogo si trova anche
n P {a−1n |X1| > x, b−1n |X1Xj| > x} → 0. (4.15)
Ora siamo in grado di dimostrare (4.11) e (4.12). Seguendo il procedimento utiliz- zato da Davis e Resnick in [5], introduciamo ora la classe S consistente dei rettangoli B della forma
B = (b0, c0] × (b1, c1] × · · · × (bh, ch]
che sono limitati lontano da 0 e bi > ci, bi 6= 0, ci 6= 0, i = 0, . . . , h. Poich´e B ∈ S `e
limitato lontano da 0, deve valere una fra
B ∩ {yei : y ∈ R} = ∅ per i = 0, . . . , h, (4.16) e B ∩ {yei : y ∈ R} = {0}j−1× (b j, cj] × {0}h−j+1 i 6= j, ∅, i = j. (4.17)
Pertanto o B ha intersezione vuota con tutti gli assi coordinati, oppure ne interseca esattamente uno in un intervallo. Osserviamo che nella (4.17) vale bi < 0 < ci per
i 6= j e 0 ∈ (bj, cj]. La classe S `e un DC-semianello. Segue allora facilmente da (4.13)
che
n P {Yn,1 ∈ B} → ν(B) :=
0 se B ∈ S soddisfa la (4.16),
λj(bj, cj] se B ∈ S soddisfa la (4.17),
il che prova la (4.11).
Come in (4.12), sia g ≤ 1 una funzione continua non negativa a supporto compatto contenuto nell’insieme S = h [ i=0 n (y0, . . . , yh) ∈ R h+1 : |yi| > o
per qualche > 0. Seguendo i ragionamenti dati per le (4.13)–(4.15), si pu`o mostrare che per i > 1 vale nP {Yn,1 ∈ S, Yn,i ∈ S} → 0. Usando la m-dipendenza della
successione {Xt}, abbiamo che per ogni k > 1 fissato vale
lim sup n→∞ n [n/k] X i=2
E[g(Yn,1)g(Yn,i)] ≤
≤ lim sup n→∞ n m+h+1 X i=2 P {Yn,1∈ S, Yn,i∈ S} + + lim sup n→∞ n [n/k] X i=m+h+2
E[g(Yn,1)g(Yn,i)] =
= k−1 Z
g dν 2
,
che converge a 0 per k → ∞, Ci`o completa la dimostrazione di (4.12), da cui segue la dimostrazione del teorema.
Ora consideriamo un’estensione dei risultati ottenuti sopra al caso in cui il logarit- mo del processo con volatilit`a (σt) segua un processo lineare. Supponiamo che (ln σt)
sia il processo lineare dato da ln σt =
∞
X
j=−∞
ψjt−j, t ∈ Z, (4.18)
dove {t}t∈Z `e una successione di variabili aleatorie Gaussiane i.i.d. a media nulla e
{ψj}j∈Z soddisfa
∞
X
j=−∞
Teorema 4.2. Supponiamo che X = [Xt]t∈Z sia il processo a volatilit`a stocastica
dato dalla (4.2), dove la distribuzione marginale di Z soddisfa (4.4) e (4.6), e (σt) ha
la rappresentazione (4.18). Allora vale la (4.10).
Dimostrazione. Per m un intero positivo fissato, sia [Xt,m] il processo a volatilit`a
stocastica basato su un processo (2m + 1)-dipendente dato da ln σt,m =
m
X
j=−m
ψyt−j, t ∈ Z. (4.20)
Se {Nn(m)} `e la successione di processi puntuali corrispondente alla successione {Xt,m},
allora grazie al Teorema 4.1 abbiamo
Nn(m) →dN(m) = h X i=0 ∞ X k=1 εP(m) k,i ei, dove i punti Pm
k,i sono definiti nel modo naturale. Per completare la dimostrazione,
grazie al Teorema A.9 baster`a mostrare che
N(m)→d N (4.21)
e che per ogni η > 0
lim
m→∞lim supn→∞ P {ρ(Nn, N (m)
n ) > η} = 0, (4.22)
dove ρ `e la metrica che induce la topologia vaga.
Poich´e σ1,m e σ1 sono lognormali e vala la (4.19), le potenze α-esime delle σi,m e
dei loro prodotti incrociati sono uniformemente integrabili. Segue allora che
E[σ1,mα ] → E[σ1α] e E[(σ1,mσ1+i,m)α] → E[(σ1σ1+i)α], (4.23)
e pertanto le misure di intensit`a λ(m)i dei punti di Poisson (Pk,i(m), k ≥ 1) convergono in senso vago a λi. Ci`o a sua volta implica che le misure di intensit`a ν(m) delle N(m)
convergono in senso vago alla misura di intensit`a ν di N per m → ∞, e questo implica la (4.21).
Per quanto riguarda la (4.22), per ogni γ > 0 ed ogni k ≥ 1 abbiamo
P ( b−1n n _ t=1 |Xt,mXt+k,m− XtXt+k| > γ ) = = P ( b−1n n _ t=1 |ZtZt+k| |σt,mσt+k,m− σtσt+k| > γ ) ≤
≤ n P {b−1n |Z1Z1+k| |σ1,mσ1+k,m− σtσt+k| > γ}.
Applicando (4.3) si trova che il limite dell’ultima espressione `e asintoticamente (per γ → ∞) dell’ordine di
γ−αE[|σ1,mσ1+k,m− σ1σ1+k|α],
dove, grazie alla (4.23), la costante tende a 0 per m → ∞.
Un risultato analogo pu`o essere ottenuto ponendo k = 0 e sostituendo bn con a2n.
A questo punto, lo stesso ragionamento usato nel Teorema 2.4 di [4] consente di ottenere la (4.22).
Osservazione. La richiesta che (t) sia Gaussiana pu`o venire indebolita richiedendo
una qualsiasi distribuzione marginale per cui valgano la (4.23) e le condizioni sul momento di cui al Teorema 4.1.