2.5 Nozioni di teoria dei valori estremi
2.5.1 Interpretazione dell’indice estremo
Proponiamo, ora, un esempio preso da Weissman [25] che metta in evidenza l’impor- tanza della nozione di indice estremo.
Esempio. Assumiamo che una diga debba essere costruita in riva al mare per pro- teggere contro le inondazioni con il 95% di funzionalit`a per i prossimi 100 anni. Sup- poniamo che sia stato stabilito che al 99, 9 o 99, 95 per cento l’altezza media annuale delle onde sia di 10 o 11 metri, rispettivamente. Se supponiamo che l’andamento dell’altezza dell’onda sia descritta da variabili aleatorie i.i.d. allora la diga dovrebbe essere alta 11 metri.
In questo caso, n = 100, Xn rappresenta l’altezza dell’onda all’ennesimo anno e
detti F la funzione di distribuzione di Xn e Mn := X1 ∨ . . . ∨ Xn vogliamo che
P {Xn ≤ 11} = 0, 95. F (un) = P {Mn ≤ 11} = Fn(11) = (0, 9995)100 = 0, 95 = 95%,
che `e quanto si voleva. Ma se il massimo annuale `e dato da variabili aleatorie stazionarie con indice estremo θ = 0, 5 allora `e sufficiente una diga di altezza 10 metri. Per far vedere ci`o, con le stesse notazioni precedenti, ma con un = 10 abbiamo
τ = 100 ¯F (10) = 100(1 − 0, 0999) = 0, 1 da cui P {Mn≤ 10} = e−0,1·0,5 = 0, 95.
Questo semplice caso, mostra come questa nozione sia importante nella statistica dei valori estremi per dati dipendenti, non solo dal punto di vista teorico, ma anche pratico.
Capitolo 3
Somme parziali di variabili
aleatorie debolmente dipendenti
Come gi`a brevemente anticipato nell’introduzione, uno degli obiettivi di questo capi- tolo, data una successione {ξj}j∈N strettamente stazionaria di variabili aleatorie, le
cui code di probabilit`a variano regolarmente che soddisfi la condizione di bilancia- mento delle code, `e di investigare il comportamento asintotico in distribuzione delle somme parziali Sn:=
n
X
j=1
ξj, passando attraverso la teoria dei processi puntuali.
In letteratura possiamo trovare risultati del genere, con delle ipotesi aggiuntive molto restrittive e le cui dimostrazioni sono, per`o, basate su argomenti analitici. Tutto ci`o aveva una ragione probabilistica in quanto, successivamente, si `e capito che per le successioni con code pesanti il comportamento asintotico delle somme parziali Sn era determinato dagli estremi dell’ordine statistico degli addendi.
3.1
Risultati noti e presentazione del problema
Parallelamente alla descrizione di ipotesi e motivazioni di procedimento per la con- vergenza in distribuzione delle somme parziali Sn, faremo un breve excursus storico
sull’evoluzione del problema.
Sia {ξj}j∈N una successione strettamente stazionaria di variabili aleatorie tale che:
P {|ξ1| > x} = x−αL(x), (3.1)
dove α > 0, L(·) `e una funzione a variazione lenta in +∞, e lim x→∞ P {ξ1 > x} P {|ξ1| > x} = p e lim x→∞ P {ξ1 < −x} P {|ξ1| > x} = q, (3.2) con 0 ≤ p ≤ 1 e q = 1 − p.
Nel caso di successioni i.i.d., `e noto che la validit`a di (3.1) per qualche α ∈ (0, 2) e quella di (3.2) sono condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza di costanti normalizzanti an, bn tali che (Sn− bn)/an converga debolmente ad una legge stabile
con indice α ([10]). Nelle stesse ipotesi, si ha che lim
n→∞
P {Sn> tn}
nP {ξ1 > tn}
= 1 (3.3)
per ogni successione {tn}n∈N tale che nP {ξ1 > tn} → 0 (si veda [12], [13], [21]).
Coloro che per primi studiarono la distribuzione asintotica delle somme parziali, intuendo la maggiore comodit`a nel passare attraverso gli estremi dell’ordine statistico fatto sugli addendi di Sn, furono LePage, Woodroofe e Zinn in un importante lavoro
del 1981 ([16]), nel caso, per`o, di successioni i.i.d.. Successivamente Davis (1983) si occup`o di un caso pi`u generale, ma con gli estremi del processo che potevano essere approssimati da estremi di una qualche successione i.i.d.. Tale approccio `e, in particolare, utile in quest’ultimo caso perch´e si aggira l’ostacolo del calcolo esplicito della distribuzione di Sn, considerando il problema dello studio del comportamento
degli estremi dell’ordine statistico, che risulta molto meno difficile.
Quello su cui noi lavoreremo sar`a la generalizzazione dei risultati gi`a esistenti in letteratura attraverso lo studio di un processo puntuale Nn definito come segue.
Sia {an}n∈N una successione di numeri reali positivi tale che:
nP {|ξ1| > an} → 1. (3.4)
Una tale an esiste sicuramente, basta infatti considerare l’(1 − 1/n)-quantile della
funzione di distribuzione di |ξ1| .
Definiamo il processo puntuale Nn =
n
X
j=1
δξj/an
con spazio degli stati R\{0}, in modo tale che i suoi compatti siano gli insiemi chiusi, limitati e distinti da 0. In queste ipotesi la convergenza debole di Nn `e equivalente a
quella congiunta degli estremi dell’ordine statistico. Si vede, inoltre, che (3.1) e (3.2) sono equivalenti a nP {ξ1/an ∈ ·} v → µ(·) (3.5) e vale µ(dx) = [pαx−α−1I(0,+∞)(x) + qα(−x) −α−1 I(−∞,0)(x)]dx.
Inoltre, se {ξj}j∈N `e i.i.d. (3.5) `e equivalente alla convergenza di Nn ad un processo
puntuale di Poisson con intensit`a di misura µ (Si veda Resnick [24]), da cui si ot- tiene immediatamente la distribuzione asintotica di Sn. Questa `e l’essenza dell’idea
Un modello molto generale `e quello in cui il processo puntuale Nn converge
debolmente ad un processo puntuale la cui rappresentazione `e:
∞ X i=1 ∞ X j=1 δPiQi,j, (3.6) dove P∞
i=1δPi `e un processo di Poisson su (0, ∞) e
P∞
j=1δQi,j, i ≥ 1, sono processi
di Poisson i.i.d. su [−1, 1] \ {0} anch’essi indipendenti dal processo di Poisson. I risultati di Mori (1977), che caratterizzano tutte le convergenze in distribuzione di Nn
nell’ipotesi di una condizione mista forte, sono da noi estesi, non solo per l’assunzione di una condizione mista pi`u debole, ma anche perch´e lo spazio degli stati che ora consideriamo non `e pi`u il solo (0, ∞), ma l’intero R\{0}. Cos`ı facendo ci interessiamo non alle distribuzioni congiunte dell’estremo pi`u grande dell’ordine statistico, ma anche del pi`u piccolo.
Nel Teorema 3.4 dimostriamo che il limite debole di Nn deve avere la forma
(3.6) se {ξj}j∈N soddisfa (3.1). La nostra caratterizzazione continua nel teorema
successivo per la convergenza di Nn, molto utile anche in applicazioni statistiche. Nel
Teorema 3.11 diamo un’importante esempio in cui le distribuzioni finito-dimensionali di {ξj}j∈Nvariano regolarmente e congiuntamente. Via via stabiliamo la convergenza
debole delle somme parziali normalizzate Sn :=Pnj=1ξj dalla convergenza debole di
Nn per il caso 0 < α < 2. Questi risultati sono, ancora una volta, pi`u generali di altri
che possono essere trovati in [8], [9], [14] e [17]. Successivamente otteniamo risultati sulle grandi deviazioni, con ipotesi generali su Nn, nel caso di 0 < α < 2. La novit`a
di questo approccio sta nell’uso di argomenti probabilistici per correlare le grandi deviazioni di probabilit`a di Sncon il comportamento asintotico degli estremi. L’utilit`a
di questo approccio diventa ovvio quando {ξj}j∈N `e debolmente dipendente. Infine
si generalizza ulteriormente la (3.3). Nell’ultima parte, consideriamo applicazioni dei nostri principali risultati che riguardano somme auto-normalizzanti, successioni m−dipendenti e processi lineari.