Il codice PIC-FES (PIC-Fluid Electron Simulation) che viene sviluppato e testato nell’ambito di questa tesi può essere classificato nella categoria dei metodi Hybrid-PIC 2D-3V. Pur assumendo una assialsimmetria e bidimensionalità (2-D) del problema, vengono mantenute tutte le componenti di velocità e quindi di quantità di moto delle particelle (3V). Questa particolarità si rende necessaria dal momento che si voglia modellare correttamente gli urti tra le particelle in generale e in particolare, per quanto
riguarda il propulsore oggetto di questo studio, per poter modellare le correnti in direzione azimutale che interagendo con il campo magnetico applicato producono forze elettromagneticheche confinano radialmente il plasma.
Il codice PICPlus consente di predire l’evoluzione del getto in uscita dal propulsore, ma non considera tutti quei fenomeni che avvengono al suo interno, perciò sono necessarie alcune modifiche per rendere questo codice adatto a simulare il plasma iniettato dal catodo cavo del propulsore e le complesse interazioni tra i fenomeni fisici presenti nella sua camera, come l’interazione del plasma con il campo elettrico generato dagli elettrodi e le interazioni con le pareti solide isolanti.
Il codice PIC di cui si dispone all’inizio del lavoro differisce dal codice PICPlus nei seguenti punti:
• utilizzo di una nuova routine per la generazione della griglia computazionale, • utilizzo di una sola specie ionica,
• utilizzo di una routine modificata per l’iniezione degli ioni, • utilizzo di nuove routine per il calcolo dei campi magnetici, • utilizzo di condizioni al contorno sul potenziale modificate,
• utilizzo di un solutore dei campi potenziale ed elettrico modificato,
• utilizzo di nuove routine per la modellazione degli elettrodi e delle pareti dielettriche,
• utilizzo di nuove routine per la descrizione della dinamica degli elettroni, • rimozione della routine per il trattamento delle collisioni.
L’algoritmo alla base della simulazione PIC-FES del flusso di plasma in un propulsore MPD è strutturato in base allo schema di calcolo tipico di un approccio PIC: dopo aver scelto la geometria del problema, il dominio è diviso in un numero discreto di punti che vanno a costituire la griglia computazionale (definizione del problema). Gli ioni e gli elettroni vengono inizializzati nella zona del contorno da cui vengono iniettati, vengono poste le condizioni al contorno iniziali e vengono calcolati i campi magnetostatici (inizializzazione del problema). Ad ogni passo temporale della simulazione PIC-FES del flusso di plasma in un propulsore MPD vengono calcolati i campi e fatte avanzare le particelle, ioni ed elettroni: inizialmente lo schema utilizzato è quello sintetizzato dal diagramma di flusso riportato in fig. 6.1 e illustrato di seguito:
• Iniezione: Si iniettano un certo numero di ioni e di elettroni dal catodo cavo;
• Scatter-step: La carica degli ioni viene trasferita dalla posizione effettivamente occupata ai nodi della griglia computazionale utilizzando opportune “funzioni peso”;
• Calcolo del campo elettrico: L’equazione di Poisson viene risolta sui nodi della griglia computazionale, quindi viene calcolato il campo elettrico sugli stessi nodi; • Gather-step: Si associa alle particelle il campo elettrico calcolato sui nodi della
griglia tramite interpolazione utilizzando uno schema del tipo: “punto di griglia più vicino”;
• Avanzamento degli ioni: Gli ioni vengono fatti avanzare nel tempo tramite un solutore di equazioni ODE detto: “Leap-Frog”;
• Valutazione delle particelle uscenti: Le particelle che hanno oltrepassato i limiti del dominio computazionale vengono semplicemente rimosse dalla simulazione, mentre le particelle che hanno oltrepassato le pareti solide del propulsore, da una parte vengono rimosse dalla simulazione, ma dall’altra viene trattenuto il loro effetto sulla condizione al contorno, in particolare quello sul flusso di particelle alla parete;
• Avanzamento elettroni: Gli elettroni, che sono rimasti fermi durante l’avanzamento degli ioni, vengono fatti avanzare dello stesso passo temporale di cui sono avanzati gli ioni, ma con passo di integrazione opportuno, stabilito dalle tecniche di integrazione adottate per la soluzione delle equazioni fluide, (capitolo 7); • Aggiornamento delle condizioni al contorno: Vengono calcolate le correnti nel
plasma e, quindi, le nuove condizioni al contorno sull’anodo e sulle pareti isolanti; • Valutazione della temperatura degli ioni;
I passi dell’algoritmo illustrato vengono iterati fino a quando la distribuzione di una variabile non converge. È da notare che i metodi PIC tendono ad avere una convergenza con piccole fluttuazioni numeriche nell’intorno di un valore medio, pertanto la convergenza non è intesa come controllo istantaneo della variabile, ma piuttosto come valore medio della variabile su un certo numero di iterazioni. Ad esempio, come consigliato da Fife, la convergenza della soluzione degli ioni può considerarsi soddisfatta quando le fluttuazioni raggiungono una frequenza e un’ampiezza regolare. Un altro criterio di convergenza consiste nel mediare una variabile di interesse su una scala temporale sufficientemente lunga, in modo che le iterazioni vengano arrestate quando il valore medio si attesta su un valore più o meno costante. Il tempo minimo necessario per questo tipo di convergenza è ipotizzato pari a quello impiegato dalle particelle pesanti per attraversare l’intero dominio computazionale.
Si osserva che il codice PIC-FES, facendo uso dei metodi di calcolo di tipo PIC, dovrebbe avere caratteristiche di convergenza tipiche di questi ultimi, ma, purtroppo, contenendo anche algoritmi di calcolo di tipo FES, per la soluzione accurata del flusso elettronico, non è possibile predire se per un determinato problema, con assegnate condizioni iniziali e al contorno, convergerà ad una soluzione stazionaria. Normalmente una condizione sufficiente per la convergenza è l’utilizzo di un passo temporale per gli ioni sufficientemente piccolo, in modo che, in un passo di integrazione, la particella pesante più veloce non percorra uno spazio maggiore di una maglia della griglia. Nonostante tutto possono nascere varie forme di instabilità, non solo per i più complessi fenomeni fisici, ma anche in seguito a semplici fenomeni diffusivi e convettivi delle particelle o a causa dell’inconsistenza di condizioni iniziali e/o condizioni al contorno. Altre forme di instabilità possono nascere per motivi numerici e spesso sono difficilmente distinguibili da instabilità di natura fisica.
Tuttavia, un’attenta analisi del codice (vedi paragrafo §8.2) induce ad apportare alcune modifiche allo schema appena illustrato (vedi paragrafo §8.3). Ciononostante, nei paragrafi che seguono viene spiegato nel dettaglio il funzionamento del modello PIC- FES sintetizzato in fig. 6.1, poiché, sebbene necessiti di qualche correzione, costituisce una buona base di partenza per la simulazione ibrida del flusso di plasma.