Il codice UDEC nella modellazione D.E.M

La risoluzione di problemi come precedentemente illustrati o comunque l’esecuzione di indagini e ricerche sono affrontabili mediante un

70 Nell’ipotesi semplificata di non considerare le proprietà e le resistenze a trazione dei giunti di malta interposti.

programma ad elementi distinti. In questo approccio infatti la struttura è considerata come un insieme di blocchi distinti, deformabili o meno secondo le necessità di ricerca, che interagiscono mediante elementi di contatto.

Come già visto nel paragrafo Metodo agli elementi discreti/distinti dedicato a tale approccio, si possono scegliere equazioni costitutive diverse per i giunti a seconda dell’approssimazione desiderata ed altresì delle finalità ultima dell’elaborazione. Un’equazione costitutiva più complessa, prettamente tipica di analisi agli elementi finiti⁷¹, non significa una soluzione necessariamente avente un’approssimazione migliore.

Il metodo, alla cui base vi è una formulazione che prevede contemporaneamente grandi spostamenti per giunti ed interfacce e piccole deformazioni per i blocchi di cui si compone il modello, prevede anche la possibilità di avere contatti non di tipo fisso che quindi permettono, durante il ciclo di analisi, che si possano perdere quelli originali e contemporaneamente che se ne formino di nuovi. Queste ultime due caratteristiche del D.E.M. permettono di simulare correttamente i meccanismi di collasso causati da rotazioni, spostamenti o urto tipiche delle strutture composte da blocchi o elementi assimilabili.

La soluzione viene data, a valle di una definizione delle condizioni al contorno del modello quali le geometrie dei blocchi le condizioni di carico, le condizioni di spostamento, ecc., mediante equazioni differenziali del moto calcolate in modo esplicito⁷². Fra i vantaggi maggiori che si riscontrano si annovera sicuramente la possibilità di controllare l’andamento degli spostamenti fino al raggiungimento della rottura ed altresì la possibilità di applicarlo a qualsivoglia struttura (anche con notevole numero di elementi)

71 Si rimanda al paragrafo 2.2.1.1 ed alla bibliografia ad esso riconducibile per ogni approfondimento.

72 Nelle procedure di calcolo, a differenza del “modo implicito” tipico delle procedure step by step in cui un opportuno criterio di convergenza permette di proseguire o meno l’analisi, eventualmente riducendo l’incremento di tempo, a seconda dell’accuratezza dei risultati al termine di ogni step, con l’utilizzo del metodo “esplicito” non si presentano invece eventuali problemi di non convergenza ad una soluzione finita, dato che in questo caso l’analisi “non è condizionata da un criterio di convergenza” e l’incremento di tempo viene definito all’inizio dell’analisi e rimane costante durante il calcolo.

senza avere un eccessivo aggravio dell’onere computazionale e dei tempi di elaborazione. Di contro va sicuramente riconosciuto che l’uso di questa metodologia di analisi risulta più problematica quando si vuole descrivere lo stato tensionale interno ad una determinata cella o blocco; l’approssimazione alle differenze finite utilizzata per creare la mesh interna non risulta infatti sufficientemente. Per la soluzione e lo studio di queste casistiche si ricorrerà ad altre modellazioni, come quelle viste all’inizio del capitolo, che presentano un maggior dettaglio nella modellazione a discapito di maggiori oneri computazionali.

La scelta operativa per la presente ricerca è stata individuata nel software di calcolo ad elementi distinti UDEC – Universal Distinct Element Code⁷³; Peter Cundall nel 1971⁷⁴ scrisse la prima versione di questo codice di calcolo che successivamente, nel 1985, venne riadattato per i primi computer IBM che vedevano la luce in quel periodo. Inizialmente pensato per implementare e risolvere problemi di tipo bidimensionale, ne è stata negli ultimi anni sviluppata anche una versione (3DEC – 3d Element Code) che supporta geometrie tridimensionali.

Figura 51 Itasca Consulting Group, Universal distinct Element Code, interfaccia software nella versione 4.0, 2004

73 UDEC è un marchio registrato Itasca Consulting Group, Inc.

74 Peter Cundall, Otto D.L. Starck, A discrete numerical model for granular assemblies, Géotechnique 29, no.1, pp 47-65, Advanced Technology Group, Dames & Moore, London, 1979.

Come anzidetto, il programma è un modello numerico per l’approssimazione del comportamento meccanico di problemi riguardanti strutture composte da blocchi, problemi cioè di discontinuità. Inizialmente il software era indirizzato principalmente allo studio ed alla risoluzione di problematiche di carattere geotecnico e tale aspetto è facilmente riscontrabile anche nell’interfaccia grafica; essa infatti appare ottimizzata per la descrizione di terreni, rocce infrante, scavi sotterranei, gallerie, pendii ecc..

Pertanto per la gestione del mezzo discontinuo, che a differenza di quello continuo vede la presenza di contatti o interfacce fra i corpi discreti che compongono il sistema, si hanno metodologie specifiche per gestire e rappresentare nella formulazione numerica i contatti ed altresì per gestire e rappresentare i corpi rigidi.

Per la sua nascita iniziale in ambito geotecnico, il metodo degli elementi distinti UDEC, rappresenta una massa rocciosa come un insieme di blocchi discreti. I giunti sono visti come interfacce tra corpi distinti (ad esempio, la discontinuità è trattata come una condizione al contorno) e le forze di contatto e spostamento poste alle interfacce dei blocchi (o di un gruppo di essi) vengono determinate attraverso una serie di calcoli che vanno a definire e tracciare i movimenti dei blocchi stessi; si ottiene così una propagazione, attraverso il sistema di blocchi, dei disturbi causati dall’applicazione di carichi o forze in cui la velocità di propagazione stessa, essendo il sistema dinamico, dipende dalle proprietà fisiche del sistema e dei materiali che lo compongono. Il comportamento dinamico è rappresentato, dal punto di vista numerico, mediante un algoritmo tipo “timestepping” (o passo temporale) nel quale la dimensione del passo è limitata dal presupposto che la velocità e l’accelerazione rimangono costanti all'interno del passo temporale stesso. Il metodo DEM, in generale, si basa sul concetto che il passo temporale sia sufficiente piccolo per cui, all’interno di un singolo passo, non si possano propagare disturbi fra un elemento del sistema e i suoi vicini; ciò corrisponde al fatto che esiste comunque una velocità limitata con cui le informazioni possono essere trasmesse con un qualunque mezzo fisico.

Se si parla di blocchi rigidi a definire la limitazione del passo concorrono le caratteristiche di rigidezza del blocco e quelle dell’interfaccia fra gli stessi;

parlando invece di blocchi deformabili le limitazioni sono legate ai moduli dei blocchi ed alla rigidità dei contatti.

Figura 52 Itasca Consulting Group, Universal distinct Element Code, digramma di flusso per la gestione dei modelli all’interno del software, possibilità di gestire con specifiche funzionalità ed analisi diversificate il comportamento di blocchi rigidi e blocchi deformabili.

I calcoli effettuati attraverso l’UDEC, col metodo degli elementi distinti, prevede quindi un’alternata applicazione di una legge forza-spostamento a tutti i contatti e della seconda legge di Newton in tutti i blocchi. La legge forza-spostamento viene utilizzato per trovare le forze di contatto che vengono a generarsi in funzione degli spostamenti noti (e fissi) mentre la Seconda legge di Newton permette di definire il moto dei blocchi risultanti dall’applicazione delle forze note (e fisse) che agiscono su di essi.

Nel caso si presentino blocchi deformabili il movimento è invece calcolato sui vertici degli elementi finiti, di tipo triangolare, che vanno a definire le deformazioni e le nuove sollecitazioni tensionali all’interno del blocco stesso.

L’uso del codice UDEC è quindi ottimale quando la struttura può essere descritta tramite blocchi che interagiscono tra loro con elementi di contatto permettendo di descrivere anche situazioni che contemplano grandi spostamenti; rivela invece i suoi limiti quando si cerca lo stato tensionale all’interno del singolo blocco. Le principali proprietà del programma sono quelle di permettere grandi spostamenti e rotazioni, anche con l’eventuale

distacco di questi, e la creazione automatica dei nuovi elementi di contatto durante il susseguirsi del processo di calcolo.