La generazione di modelli parametrici

Gli strumenti matematici per la grafica computerizzata costituiscono uno dei campi di sviluppo più ferventi dell'analisi numerica. Dai risultati pionieristici di Bérzier e de Casteljau molto è stato sviluppato: dalle curve e superfici polinomiali si è passati a quelle razionali introducendo la possibilità che punti di controllo distinti influissero in maniera diversa sulla forma dell'oggetto (attraverso l'attribuzione dei pesi), poi sono state concepite le B-spline per permettere un migliore controllo locale, in seguito anche queste sono state estese dal caso polinomiale a quello razionale, creando le NURBS, al momento uno dei capisaldi del CAGD. Ma la ricerca non si é affatto fermata ad esse: pur con tutti i vantaggi che queste offrono rispetto agli strumenti passati, sono state ideate delle loro evoluzioni, che permettessero di ottimizzare ulteriormente quanto già le NURBS permettevano di fare rispetto alle B-spline e alle curve di Bézier. In particolare, dopo una successione di passaggi intermedi, si è giunti alle T-spline, attualmente ritenute uno dei metodi più avanzati nel campo della computer grafica.

Di pari passo allo sviluppo di curve e superfici che presentano formulazioni sempre più complesse, ma che al contempo permettono una sempre maggior flessibilità ed adattabilità ad una elevata tipologia di situazioni, si sono sviluppati i concetti di parametrizzazione dei modelli geometrici in ambiente CAD. Queste innovative procedure per la realizzazione di elementi grafici sia di carattere bidimensionale che tridimensionale fondano le loro radici nella teoria geometrica e nell’analisi matematica andando a sfruttare le potenzialità offerte dalle funzione, generalmente considerate nella loro forma parametrica.

Dal un punto di vista matematico le curve parametriche possono essere viste come un modo alternativo di rappresentazione, rispetto alla

classiche formulazioni analitiche, quando le coordinate cartesiane (x, y) o polari (ρ, ν) di un punto appartenente a γ sono espresse in funzione di una terza variabile t detta parametro.

Definizione: data una curva γ in un riferimento cartesiano o polare, si chiamano equazioni parametriche di γ quelle che esprimono le coordinate di un generico punto P(x; y) ∈ γ in funzione del parametro t:

Figura 41 Formulazione generica di equazione parametrica di una curva (o curva parametrica) per coordinate cartesiani (sinistra) e polari (destra).

Considerando esemplificativamente un punto P che si muove nel piano xy durante un intervallo di tempo a ≤ t ≤ b, le due coordinate di P saranno entrambe funzioni reali del tempo t,

x = f (t), y = g (t),

definite nell’intervallo [a, b]. Quindi al variare del tempo, per t ∈ [a, b]

le due coordinate del punto P (t) = (f (t), g (t)) descriveranno nel piano R2

”una qualche figura” che indicheremo con C.

Indipendentemente dalla forma delle funzioni f e g , C può avere aspetti molto diversi: un segmento, un arco circolare, un punto, una spirale, il grafico di una funzione seno, una intricata ragnatela di segmenti o curve, o anche peggio. Anche considerando f e g funzioni continue la figura nel piano può avere le forme più strane.

Le potenzialità offerte dalla loro applicazione al mondo della computer grafica, che già ha un forte sviluppo in quelle che sono le generazioni delle superfici delle più moderne architettura⁶⁶ e anche nella progettazione ingegneristica, sono potenzialmente illimitate e dipendono

66 Arturo Tedeschi, Architettura parametrica introduzione a grasshopper, Napoli, Le Penseur, 2010.

esclusivamente dall’abilità di riscoprire scienze antiche come la matematica e le geometrie e dar loro una nuova campo di sviluppo.

Figura 42 Esempio di curva parametrica, tracciata per un numero finiti di punti (t−2sint,2−2cost), t∈[0,12], ambiente di sviluppo Derive versione 6.0.

Figura 43 Algoritmo in ambiente GH per la generazione di curva mediante funzioni parametriche, rappresentazione in Figura 44, sono definiti il dominio della stessa, il numero dei punto con cui viene discretizzate e le coordinate ordinate degli stessi.

Figura 44 Rappresentazione della curva in ambiente CAD Rhinoceros, eseguito mediante l'utilizzo di algoritmi a base matematica riportato in Figura 43, sono rappresentati con croci rosse la posizione dei punti (numero finito) che discretizzano la curva in colore verde.

La generazione di modelli parametrici, sviluppati su base matematica, oltre allo spazio R2 sono estendibili allo spazio R3⁶⁷ attraverso l’opportuna implementazioni delle funzioni e delle variabili ad esse collegate; aspetto questo che permette di gestire e conseguentemente analizzare una notevole varietà di superfici riscontrabili nell’architetture sia antica che più recente.

Partendo dalla volte a botte, siano queste alzate o ribassate in chiave, passando attraverso le volte composte a vela e le varie tipologie di cupole, si arriva fino a coperture continue ad oscillazione costante e non.

Esempio di tale potenzialità è stato applicato alla ricostruzione della copertura delle “Scuole Provvisorie della Sagrada Famiglia” in Barcellona, progettate dall’architetto Antonio Gaudì; essa si presenta come una superficie ondulata continua avente come sezione verticale, sui lati maggiori, una curva periodica definibile attraverso funzioni trigonometriche.

Figura 45 Barcellona, Scuole provvisorie delle Sagrata Famiglia, prospetto sul lato strada in lato ovest.

Lo studio esemplificativo ha quindi cercato di mantenere la massima flessibilità parametrica delle superfici al fine di garantire ogni possibile

67 R2 ed R3 rappresentano rispettivamente, secondo la comune definizione matematica, gli spazi vettoriali bidimensionali e tridimensionali, Silvana Abeasis, Elementi di algebra lineare e geometria, Bologna, Zanichelli, 1993.

modifica atta ad una più corretta approssimazione allo stato di fatto; al fine di ciò rendere possibile, è stato sviluppato un algoritmo in ambiente GH con le seguenti caratteristiche discrezionabili:

- Definizione della dominio, corrispondente alle dimensioni planimetriche della copertura, si spazio bidimensionale R2, necessario per la tipologia di formulazione utilizzato;

- Definizione delle proprietà della funzione periodica atta a definire le curve corrispondenti alle sezioni verticali con possibilità di variazione in termini di ampiezza, pulsazione e frequenza;

Figura 46 Procedura, sviluppata in ambiente GH, per la crazione della superficie con possibiltà di modifica dei parametri citati nello scritto.

Figura 47 Rappresentazione della superficie in ambiente CAD Rhinoceros.

Finalizzata alla dimostrazione delle potenzialità complessive della procedura si è poi proceduto ad una ulteriore implementazione finalizzata all’ottenimento di una divisione della superficie matematica, di carattere continuo, con un numero finito e arbitrariamente definibile di elementi (o

blocchi) che andassero a discretizzarla ed altresì ad estrapolare, in maniera ordinata, le coordinate spaziali dei vertici dei quadrilateri per uno loro eventuale successivo utilizzo in ambito di ricostruzione della geometria in ambiente software di analisi.

Figura 48 Procedura, sviluppata in ambiente GH, per la discretizzazione della superficie matematica in un numero finito di elementi quadrangolari ed estrapolazione (box di colore giallo) delle coordinate degli stessi..

Figura 49 Rappresentazione della discretizzazione della superficie in ambiente CAD Rhinoceros.

Avendo quindi la possibilità di arbitrariamente variare sia i parametri relativi alla forma che quelli relativi alla sua discretizzazione per eventuali implementazioni di verifiche strutturali si apprezza la flessibilità di tale approccio anche in presenza di superfici e forme più complesse.