Fasci coerenti su insiemi analitici

1. Il Nullstellensatz di R¨uckert

Definizione XI.1.1. SiaS un fascio analitico su uno spazio complesso (X,OX). Indichiamo con AnnS il fascio dei germi degli annullatori di S in OX:

(11.1.1) AnnS =^[

x∈X{fx∈ OX, x| fx· Sx= 0x}.

Lemma XI.1.2. Se S `e di tipo finito, allora Ann S `e un fascio d’ideali

di OX.

Dimostrazione. Sia f_x ∈ Ann Sx. Siano U un intorno aperto di x in X ed s₁, . . . , s_p ∈ S(U) generatori di S|U. Da fxs_{j, x} = 0_x, segue che, per ogni j, f sj|Uj = 0|Uj per un intorno Uj di x in Uj. Quindi fy ∈ Ann Sy per ogni y nell’intorno aperto Tp

j=1U_j. Ci`o dimostra che AnnS `e un aperto, e

quindi un fascio di ideali diOX. 

Proposizione XI.1.3. Se S `e coerente, anche Ann S `e coerente. Dimostrazione. Consideriamo l’applicazione naturale

Φ :OX → Hom (S, S).

Poich´e sia OX che S sono coerenti, anche Ann S = ker Φ `e coerente.  Proposizione XI.1.4. Se S `e un fascio analitico coerente, allora

(11.1.2) suppS = N(Ann S).

Dimostrazione. Se fx ∈ Ann Sx, la proiezione di fxsx in Sx ⊗Ox (OX, x/m(OX, x)) `e nulla per ogni s_x ∈ Sx. Poich´eSx⊗Ox(OX, x/m(OX, x))6= 0 se (e soltanto se) x ∈ supp S, deve essere fx(x) = 0. Questo dimostra l’inclusione suppS ⊂ N(Ann S).

D’altra parte, se x /∈ supp S, allora Sy = 0_y per y in un intorno aperto U di x in X, e quindi AnnSx=OX, xed x /∈ N(Ann S). Vale dunque anche

l’inclusione opposta e quindi la (11.1.2). 

Lemma XI.1.5. Sia S un fascio analitico coerente in un aperto U di 0

in Cn. Se

(11.1.3) suppS ⊂ {z ∈ Ω | z1 = 0},

allora, per ogni punto esiste un intero positivo d tale che z^d₁S0= 0. 171

172 11. FASCI COERENTI SU INSIEMI ANALITICI

Dimostrazione. Ragioniamo per induzione su n. La tesi `e banalmente vera per n = 1. Supponiamo quindi n > 1 e la tesi vera quando si sostituisca (n − 1) ad n. Sia g una funzione olomorfa in un intorno di 0 tale che g<sub>0</sub>S0 = 0<sub>0</sub>. Se g<sub>0</sub> fosse un’unit`a, ne seguirebbe cheS0 = 0₀, e quindi non ci sarebbe niente da dimostrare. Se g₀ non `e un’unit`a, scriviamo

g = X

h≥h0

g_h(z₂, . . . , z_n)z₁^h, con g_h ∈ O(U^′) e g_h0 6= 0, per un intorno U^′ di 0 inCn−1. Consideriamo il fascio coerente S^′ = z^h0

1 S. Posto g₀^′ = z^−h0

1 g ∈ OCn,0, abbiamo g₀^′S′

0 = 0. Se g₀^′ `e un’init`a, ne segue che z^h0

1 S0 = 0, ed abbiamo finito. Altrimenti, mediante un cambiamento lineare di coordinate, possiamo supporre che g_h0 abbia uno zero d’ordine finito rispetto alla variabile distinta zn. Ne ricaviamo in particolare che suppS = N(Ann S) interseca l’asse zn in un punto isolato e dunque, a meno di restringere opportunamente l’intorno Ω, possiamo supporre che la proiezione canonica diCn

z1,...,zn suCn−1

z1,...,zn−1 si restringa ad un’applicazione finita π di suppS^′ su un intorno aperto Ω^′ di 0 in Cn−1. Allora π_∗(S^′) `e un fascio coerente su Ω′, con supporto contenuto in{z1= 0} ∩ Ω′. Per l’ipotesi induttiva esiste un intero positivo d′ tale che zd^′

1 π_∗(S′

0) = 0₀. Da questa ricaviamo che z₁^d′S′

0= 00, e quindi z^d′+h0

1 S0 = 00. 

TeoremaXI.1.6 (Nullstellensatz di R¨uckert). SiaSX un fascio coerente sullo spazio complesso (X,OX). Se f ∈ OX(X) si annulla su suppS, allora

per ogni x∈ X possiamo trovare un intero positivo d tale che fd

xSX, x = 0

(e dunque fd

x′SX, x′ = 0 per tutti gli x′ in un intorno aperto U di x in X).

Dimostrazione. Possiamo supporre che (X,OX) sia uno spazio com-plesso modello, definito in un aperto Ω diCnda un ideale corenteIΩ diOCn, generato da un numero finito di funzioni olomorfe globali f₁, . . . , f_m ∈ O(Ω), e che f ∈ OX(X) sia la restrizione ad X di una ˜f ∈ O(Ω). Sia Xf il grafico di f , definito in Cn+1

z,w dal fascio coerente di ideali generato da (f₁(z), . . . , f_m(z), w− f(z)). Poich´e l’applicazione γf : X∋ x → (x, f(x)) ∈ X_f definisce un isomorfismo di spazi complessi, l’immagine (γ_f)_∗(S) `e un fascio coerente su (X_f,OXf). La sua estensione banale S′

Ω×C `e un fascio coerente con il supporto contenuto in{w = 0}. Per il Lemma XI.1.5, fissato un qualsiasi punto z, esiste un intero positivo d tale che w^dS′

Ω×C, (z,0) = 0.

Ma questa relazione ci d`a f_z^dSX,z = 0. 

Corollario XI.1.7. Sia (X,OX) uno spazio complesso ed f ∈ OX(X)

una funzione olomorfa con [f ](x) = 0 per ogni x∈ X. Allora tutti i germi fx definiti da f sono nilpotenti.

2. Applicazioni olomorfe aperte

DefinizioneXI.2.1. Un’applicazione continua f : X → Y tra due spazi topologici X, Y si dice aperta in un punto x0 di X se trasforma intorni di

2. APPLICAZIONI OLOMORFE APERTE 173 x₀ in X in intorni di f (x₀) in Y .

Osserviamo che, se f : X → Y `e aperta in x0 ∈ X, esiste un sistema fondamentale di intorni aperti di x₀ in X che sono trasformati da f in un sistema fondamentale di intorni aperti di y0 in Y .

[Se U `e un intorno aperto di x0in X e V un intorno aperto di f (x0) in Y , contenuto in f (U ), allora U<sup>′</sup>= U ∩ f<sup>−1</sup>(V ) `e un intorno aperto di x0 con f (U^′) = V .]

Proposizione XI.2.2. Sia (f, ˜f ) : (X,OX) → (Y, OY) un’applicazione

olomorfa, aperta nel punto x₀ ∈ X. Allora tutti gli elementi del nucleo

dell’omomorfismo ˜f_x0 :OY, f (x0)→ OX, x0 sono nilpotenti.

Dimostrazione. Se g ∈ OY(V ), per un intorno V di f (x₀) in Y , ed ˜

f_x0(g_x0) = 0, allora ˜f (g) `e una funzione olomorfa su un intorno aperto di x<sub>0</sub> in X. Poich´e f `e aperta in x0, la [g] si annulla su un intorno V^′ di f (x0) in Y , e g_{f (x0)} `e quindi nilpotente per il Corollario XI.1.7.  Osserviamo che l’insieme dei punti in cui una f ∈ OX(X) definisce un germe g<sub>x</sub> divisore di zero `e un chiuso di X. Esso `e infatti il supporto del fascio ker p<sub>g</sub> ove p<sub>g</sub>:OX → OX `e definita dalla moltiplicazione per g.

DefinizioneXI.2.3. Se M `e un modulo sull’anelloA, definiamo torsione di M il sotto-A-modulo

(11.2.1) TA(M) ={m ∈ M | ∃ a ∈ A \ {0} tale che a · m = 0}. Proposizione XI.2.4. Sia (X,OX) uno spazio complesso localmente

irriducibile. Allora, per ogni fascio analitico SX su X, la torsione

(11.2.2) T (SX) =[

x∈XT_{OX, x}(SX, x)

`e un fascio analitico su X.

Dimostrazione. Dobbiamo verificare che T (SX) `e un aperto di SX. Se s∈ S(U) e g ∈ OX(U ) per un intorno U di un punto x∈ X, con gx6= 0 e g<sub>x</sub>s<sub>x</sub> = 0, abbiamo ancora g<sub>x</sub>′s<sub>x</sub>′ per x′ in un intorno aperto U′ di x in U . L’ipotesi che (X,OX) sia localmente irriducibile significa che OX, x `e, per ogni x∈ X, un dominio d’integrit`a. Quindi gx6= 0 significa che gx non `e divisore di 0 in OX, x e quindi, per l’osservazione precedente, g_x′ non `e divisore di 0 inOX, x′ per x<sup>′</sup> in un intorno aperto U<sup>′′</sup> di x in U<sup>′</sup>. Quindi la sezione s|U′′`e un aperto di SX contenuto in T (SX).  Definizione XI.2.5. Se (X,OX) `e uno spazio complesso localmente ir-riducibile edSX un fascio analitico su X, il fascio analiticoT (SX) si dice il

fascio di torsione diSX.

TeoremaXI.2.6 (criterio dell’applicazione aperta). Sia (f, ˜f ) : (X,OX)→ (Y,OY) un’applicazione olomorfa finita tra spazi complessi. Supponiamo che (Y,OY) sia localmente irriducibile. Allora f `e aperta in ogni punto x per

174 11. FASCI COERENTI SU INSIEMI ANALITICI

Dimostrazione. Sia x ∈ X un punto in cui la f non sia aperta. Sce-gliamo intorni U di x e V di f (x), con f (U ) ⊂ V , tali che la f definisca un’applicazione finita da U in V per cui f∗(OU) abbia un supporto f (U ) che non sia un intorno di f (x) in V . Poich´e f_∗(OX)|V `e un fascio coerente, f (U ) `e il sottospazio complesso definito dall’idealeIV degli annichilatori di f_∗(OX)|V . Potremo quindi trovare, in un intorno aperto V^′ di f (x) in V , una sezione h ∈ IV(V′) con h_{f (x)} 6= 0. Per il Nullstellensatz di R¨uckert, esiste un intero d > 0 tale che hd

f (x)f_∗(OU)_{f (x)} = 0. Poich´e abbiamo suppo-sto (Y,OY) localmente irriducibile, h^d_{f (x)} 6= 0. Quindi f∗(OU)_{f (x)} `e tutto di torsione. Poich´e esso `e un sottomodulo di f_∗(OX)_{f (x)}, ne concludiamo che

anche questo modulo non `e privo di torsione. 

ProposizioneXI.2.7. Sia (X,OX) uno spazio complesso localmente

ir-riducibile. Il fascio di torsione T (SX) di un fascio analitco coerente SX `e corente.

Dimostrazione. Abbiamo gi`a osservato che S∗

X = Hom (S, OX) ed S∗∗

X = Hom (S∗,OX) sono fasci coerenti. Allora il fascio di torsione `e coerente perch´e `e il nucleo del morfismo naturaleSX → S∗∗

X. 

Se M `e un modulo di tipo finito su un campo d’integrit`aA, allora per ogni ideale primo p∈ Supp(M) `e possibile definire un omomorfismo non banale M → A/p. In particolare, se M 6= T(M), `e (0) ∈ supp(M) e possiamo quindi definire un omomorfismo non banale M→ A, onde M∗6= 0. Dalla costruzione degli omomorfismi M → A, segue che T(M) `e il nucleo dell’omomorfismo M → M^∗∗.

Proposizione XI.2.8. Se (X,OX) `e uno spazio complesso localmente

irriducibile ed SX un fascio analitico coerente su X, allora l’insieme dei punti di X in cui Sx `e privo di torsione `e un aperto di X.

CAPITOLO 12