1. Prime definizioni
Definizione IV.1.1. Sia M una variet`a differenziabile di dimensione reale 2n. Un atlante{(Uα, φα)| α ∈ A} di classe C∞su M si dice un atlante
complesso se:
(1) le φα : Uα → φα(Uα)⊂ Cn sono applicazioni a valori inCn; (2) le funzioni di transizione
φα,β : φβ(Uα∩ Uβ)∋ z → φα φ−1β (z)
∈ φα(Uα∩ Uβ) sono olomorfe per ogni α, β ∈ A.
Due atlanti complessi A1 e A2 sono equivalenti se A1 ∪ A2 `e ancora un atlante complesso. Una struttura complessa `e una classe di equivalenza di atlanti complessi.
Si dice variet`a complessa liscia una variet`a differenziabile M su cui sia fissata una struttura complessa.
Se M `e una variet`a complessa, ogni elemento (U, φ) di un atlante della sua struttura complessa si dice una carta locale olomorfa di M .
Se p∈ U ⊂ M e φ(p) = 0, diciamo che la carta (U, φ) `e centrata in p. Definizione IV.1.2. Sia M una variet`a complessa liscia, con atlante complesso {(Uα, φα)| α ∈ A}. Una funzione f : M → C si dice olomorfa se f◦ φ−1
α : φα(Uα)→ C `e olomorfa per ogni α ∈ A.
Definizione IV.1.3. Siano M , N due variet`a complesse, di dimensioni m, n, rispettivamente. Un’applicazione f : M → N si dice olomorfa se per ogni p ∈ M ed ogni carta locale olomorfa ψ : V → ψ(V ) ⊂ Cn di N , con f (p)∈ V , possiamo trovare una carta locale olomorfa (U, φ) di M, con p∈ U, tale che
Cm⊃ φ(U) ∋ z → ψ ◦ f ◦ φ−1(z)∈ ψ(V ) ⊂ Cn sia olomorfa.
Esempio IV.1.4. Le variet`a complesse di dimensione 1 si chiamano
superfici di Riemann.
EsempioIV.1.5. Lo spazio proiettivo complessoCPn`e una variet`a com-plessa liscia di dimensione n. Definendo CPn come il quoziente di (Cn+1\ {0})πCPnrispetto alla relazione d’equivalenza che identifica le coppie di vet-tori linearmente dipendenti, un atlante che definisce una struttura complessa
76 4. VARIET `A COMPLESSE LISCE suCPn`e dato dalle carte coordinate
Uα={π(z) | zα6= 0} ∋ π(z) → φα(π(z)) = zj zα j6=α∈ Cn, per α = 0, 1, . . . , n. Le funzioni di transizione sono in questo caso (0≤ α 6= β ≤ n):
φα,β :{z = (zj)j6=β | zα 6= 0} ∋ z → w ∈ {z = (zj)j6=α | zβ 6= 0} con wj = zj zα se j6= α, β 1 zα se j = β. La proiezione π : (Cn+1\ {0}) → CPn `e olomorfa.
EsempioIV.1.6. Sia Λ≃ Zk⊂ Cn(con 1≤ k ≤ 2n) un reticolo discreto. Vi `e allora una ed una sola struttura complessa sul quoziente M = Cn/Λ che renda la proiezione naturale π : Cn → M un bi-olomorfismo locale. La variet`a M `e compatta se e soltanto se k = 2n. In questo caso M si dice un
toro complesso.
EsempioIV.1.7. Possiamo generalizzare la costruzione dell’esempio pre-cedente nel modo seguente. Sia π : M → N un rivestimento di due variet`a differenziabili di classe C∞, di dimensione pari 2n. Se N ha una struttura complessa, allora possiamo definire su M un’unica struttura complessa che renda π : M → N un biolomorfismo locale. Viceversa, se M ha una strut-tura complessa, e gli automorfismi del rivestimento sono biolomorfismi di M , allora vi `e su N un’unica struttura complessa che renda π : M → N un biolomorfismo locale.
Un caso particolare `e la variet`a di Hopf M , definita come il quoziente di
Cn\{0} rispetto al gruppo degli automorfismi generato dalla trasformazione z → 2z. Per n ≥ 2, le variet`a di Hopf di dimensione n sono i pi`u semplici esempi di variet`a complesse compatte che non si possano immergere in spazi complessi proiettivi di dimensione sufficientemente grande.
2. Spazio tangente di una variet`a complessa liscia Sia M una variet`a complessa liscia di dimensione n.
Indichiamo con T M il fibrato tangente di M , considerato come variet`a differenziabile reale: in particolare, per ogni p ∈ M, la fibra TpM `e uno spazio vettoriale reale di dimensione 2n.
Indichiamo conCT M il complessificato del fibrato tangente. `E un fibrato vettoriale complesso di rango 2n, la cui fibra in ogni punto p di M `e la complessificazione CTpM :=C ⊗RTpM dello spazio vettoriale reale TpM .
Definizione IV.2.1. Si dice fibrato tangente antiolomorfo di M , e si indica con T0,1M , il sottofibrato diCT M delle derivazioni complesse che si annullano sui germi di funzioni olomorfe su M .
2. SPAZIO TANGENTE DI UNA VARIET `A COMPLESSA LISCIA 77 Si dice fibrato tangente olomorfo di M , e si indica con T1,0M , il sot-tofibrato di CT M delle derivazioni complesse che si annullano sui germi di funzioni antiolomorfe su M .
Se (z1, . . . , zn) sono le componenti di una carta coordinata olomorfa in p∈ M,
• la fibra Tp1,0M ha come base i vettori ∂ ∂z1 p, . . . ∂ ∂zn p, • la fibra Tp0,1M ha come base i vettori
∂ ¯ ∂z1 p, . . . ∂ ¯ ∂zn p.
Quindi T1,0M e T0,1M sono fibrati vettoriali complessi di rango n su M ed abbiamo
T0,1M = T1,0M , T1,0M∩ T0,1M = 0, CT M = T1,0M⊕ T0,1M. Si verifica facilmente la
ProposizioneIV.2.2. Siano M , N due variet`a complesse ed f : M → N
un’applicazione differenziabile.
Indichiamo ancora con df l’applicazione CT M → CT N ottenuta
com-plessificando il differenziale della f .
La f : M → M `e olomorfa se e soltanto se df(T1,0M )⊂ T1,0N .
OsservazioneIV.2.3. La decomposizione CT M = T1,0M⊕ T0,1M de-finisce una proiezione naturale CT M → T1,0M . In particolare, la compo-sizione di questa proiezione con l’inclusione ci d`a un isomorfismo di fibrati vettoriali reali
(4.2.1) T M ֒→ CT M → T1,0M.
Questo permette a volte, quando si studia la geometria delle variet`a comples-se, di utilizzare lo spazio tangente olomorfo al posto dello spazio tangente reale. Ad esempio, nel caso di una curva descritta in coordinate locali da t→ z(t) = x(t) + iy(t), questa corrispondenza ci permette di scrivere il suo vettore tangente come
n X j=1 ˙zj ∂ ∂zj invece di n X j=1 ˙xj ∂ ∂xj + ˙yj ∂ ∂yj .
ProposizioneIV.2.4. Sia M una variet`a complessa liscia. Risulta uni-vocamente determinato un’equivalenza J : T M → T M del fibrato tangente
tale che la corrispondenza (4.2.1) sia definita da
(4.2.2) T M ∋ X → 12 X− iJX) ∈ T1,0M.
La J `e un’antiinvoluzione, cio`e
(4.2.3) J2 =−I,
78 4. VARIET `A COMPLESSE LISCE
Osservazione IV.2.5. Le variet`a complesse hanno un’orientazione na-turale. Se (zj = xj + iyj)1≤j≤n sono coordinate locali in un intorno di un punto p di una variet`a complessa liscia M , la 2n-forma
i 2 n dz1∧ d¯z1 ∧ · · · ∧ dzn∧ d¯zn = dx1∧ d¯y1 ∧ · · · ∧ dxn∧ d¯yn definisce l’orientazione di M . Abbiamo
Proposizione IV.2.6. Se M `e una variet`a complessa liscia, allora le distribuzioni vettoriali complesse Γ(M, T1,0M ) e Γ(M, T0,1M ) sono
formal-mente integrabili. Risulta cio`e
(4.2.4) [Γ(M, T
1,0M ), Γ(M, T1,0M )]⊂ Γ(M, T1,0M ), [Γ(M, T0,1M ), Γ(M, T0,1M )]⊂ Γ(M, T0,1M ).
Definizione IV.2.7. Si definisce una struttura quasi complessa su una variet`a differenziabile reale M , di dimensione pari 2n, come il dato di un’an-tiinvoluzione J : T M → T M che preservi le fibre.
Se M `e una variet`a complessa liscia, la J : T M → T M definita nella Proposizione IV.2.4 si dice associata alla struttura complessa di M .
Se J definiusce una struttura quasi complessa su M , poniamo T0,1M = {X − iJX | X ∈ T M} ⊂ CT M e T1,0M ={X + iJX | X ∈ T M} ⊂ CT M. Diciamo che una struttura quasi complessa J su M `e formalmente
inte-grabile se valgono le condizioni equivalenti di (4.2.4).
Vale il1
Teorema IV.2.8 (Newlander-Nirenberg). Sia M una variet`a differen-ziabile di dimensione pari. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una struttura quasi complessa J su M sia associata ad una struttura complessa su M `e che la J sia formalmente integrabile.
3. Sottovariet`a complesse lisce
Definizione IV.3.1. Sia S un sottoinsieme di una variet`a complessa liscia M , di dimensione n, con la topologia che ha come basi degli aperti le componenti connesse delle intersezioni di S con gli aperti di M . Diciamo che S `e una sottovariet`a complessa liscia di dimensione m (con 0≤ m ≤ n) di M se per ogni punto p ∈ S esiste un intorno aperto ω di p in S ed una carta coordinata (U ; z1, . . . , zn) di M centrata in p tale che
(4.3.1) ω ={q ∈ U | zj(p) = 0 per m < j ≤ n}.
OsservazioneIV.3.2. Per il teorema delle funzioni implicite, una sotto-variet`a complessa liscia S di dimensione m di M si pu`o caratterizzare anche mediante le propriet`a equivalenti:
1A.Newlander, L.Nirenberg: Complex analytic coordinates in almost-complex manifolds, Annals of Math. 65 (1957), pp.391-404.
CAPITOLO 5