ANALISI COMPLESSA Funzioni di pi`u variabili Mauro Nacinovich

ANALISI COMPLESSA Funzioni di pi` u variabili

Mauro Nacinovich

Indice

Capitolo 1. Funzioni olomorfe in C ⁿ e complesso di Dolbeault 7

1. Funzioni olomorfe 7

2. Formula integrale di Cauchy nel polidisco 11

3. Il complesso di Dolbeault 15

4. Laplaciano in R ⁿ e dimostrazione del Teorema I.3.3 18 5. Singolarit`a eliminabili e teorema di Bochner-Fichera 21

6. Il Lemma di Dolbeault 23

7. Un teorema di H.B. Laufer 26

8. Il teorema di Rad´o 28

Capitolo 2. Domini di olomorfia 31

1. Serie di potenze e domini di Reinhardt 31

2. Domini di olomorfia 34

3. Teoria elementare della convessit` a 35

4. Il teorema di Bochner sui tubi di C ⁿ 41

5. Domini di Runge 45

6. Sottovariet` a analitiche in C ⁿ 51

7. I teoremi di Riemann sulle singolarit`a rimovibili 53 Capitolo 3. Pseudoconvessit` a e plurisubarmonicit`a in C ⁿ 55

1. Funzioni subarmoniche in C 55

2. Il principio di Phragm´en-Lindel¨ of 61

3. Funzioni plurisubarmoniche su aperti di C ⁿ 65

4. Pseudoconvessit` a in C ⁿ 68

Capitolo 4. Variet` a complesse lisce 75

1. Prime definizioni 75

2. Spazio tangente di una variet` a complessa liscia 76

3. Sottovariet` a complesse lisce 78

Capitolo 5. Variet` a di Kaehler 79

1. L’operatore di Hodge 79

2. Metriche Hermitiane 80

3. La forma di K¨ ahler 80

4. Gli operatori codifferenziali 82

5. Gli operatori L e Λ 82

6. La decomposizione di Lefschetz 84

3

4 INDICE

7. Teoria di Hodge su una variet` a complessa compatta 84 8. Teoria di Hodge su una variet` a K¨ ahleriana 87

9. Variet` a di Grassmann 91

Capitolo 6. Teoria locale 95

1. Germi di funzioni olomorfe 95

2. Il teorema di divisione di Weierstrass 95

3. Il teorema di preparazione di Weierstrass 99

4. Struttura algebrica di O n, 0 101

5. Regolarit`a di O n, 0 103

6. Il Lemma di Hensel 103

7. Chiusura dei sottomoduli di O n, 0 104

8. Applicazioni finite 106

9. L’isomorfismo di Weierstrass 109

Capitolo 7. Propriet` a locali delle variet` a analitiche 111 1. Germi di sottovariet` a analitiche di C ⁿ 111

2. Algebre analitiche 114

3. Algebre analitiche intere 115

4. Il Nullstellensatz 118

5. Punti singolari 119

6. Mappe olomorfe e morfismi di algebre analitiche 119

7. Il teorema di Oka 120

8. Dimensione di un germe di variet` a analitica 122

Capitolo 8. Elementi di teoria dei fasci 129

1. Definizioni principali 129

2. Prefasci canonici 133

3. Fasci immagine diretta 134

4. Fasci e prefasci dotati di struttura algebrica 135

5. Morfismi di A-moduli e fasci quozienti 136

Capitolo 9. Fasci coerenti 139

1. Fasci di tipo finito 139

2. Fasci di tipo finito per le relazioni 142

3. Fasci coerenti 143

4. La coerenza del fascio O 144

5. Il lemma dei tre 146

6. Altri risultati di coerenza 151

Capitolo 10. Spazi complessi 153

1. Spazi complessi modello 153

2. Fasci di C-algebre. Spazi C-anellati 155

3. Morfismi di spazi C-anellati 156

4. Spazi complessi 157

5. Sezioni e funzioni 159

6. Costruzione di spazi complessi mediante rincollamenti 160

INDICE 5

7. Sottospazi complessi 160

8. Fasci analitici immagine diretta 162

9. Fasci analitici immagine inversa 164

10. Immersioni olomorfe 166

11. La bigezione Hol(X, C ⁿ ) ≃ [O X (X)] ⁿ 168

12. Un lemma d’estensione 170

13. Prodotto diretto di spazi complessi 170

Capitolo 11. Fasci coerenti su insiemi analitici 171

1. Il Nullstellensatz di R¨ uckert 171

2. Applicazioni olomorfe aperte 172

Capitolo 12. Algebra Locale 175

1. Localizzazione e anelli locali 175

2. Anelli e moduli Noetheriani 177

3. Chiusura integrale 181

4. Ideali associati ad un modulo 184

5. Piattezza 185

6. Il funtore Tor 186

Capitolo 13. Appendice 189

1. Strutture complesse sugli spazi vettoriali 189

2. La formula di Cauchy per funzioni di una variabile 194

CAPITOLO 1

Funzioni olomorfe in C ⁿ e complesso di Dolbeault

1. Funzioni olomorfe

Sia Ω un aperto di C ⁿ . Il fibrato tangente T Ω di Ω si pu` o identificare al prodotto cartesiano Ω × C <sup>n</sup> . Le sue fibre hanno quindi una struttura complessa naturale, data dalla moltiplicazione per l’unit` a immaginaria.

Sia f : Ω → C una funzione complessa, di classe C ¹ , definita su Ω. Il dif- ferenziale di f nel punto z ∈ Ω `e un’applicazione R-lineare df(z) : C ⁿ → C ⁿ . Definizione I.1.1. Una funzione a valori complessi f , definita e di classe C ¹ su un aperto Ω di C ⁿ , si dice olomorfa su Ω se il suo differenziale

df (z) : T _z Ω ≃ C ⁿ −−−−→ C ≃ T f (z) C

`e C-lineare in ogni punto z ∈ Ω. Indicheremo nel seguito con O(Ω) l’insieme di tutte le funzioni olomorfe su Ω.

In generale, una funzione a valori complessi f , definita su un aperto Ω di C

, si dice olomorfa in un punto z

di Ω se esiste un intorno aperto U di z

in Ω tale che la restrizione f |

sia di classe C

in Ω ed f |

∈ O(U).

Siano

z ₁ , . . . , z _n le coordinate complesse di C ⁿ ed indichiamo con

x 1 , . . ., x n , y 1 , . . ., y n le coordinate reali corrispondenti, dimodoch´e z _j = x _j + iy _j per j = 1, . . . , n.

Il differenziale di una funzione complessa f , definita e di classe C ¹ su un aperto Ω di C ⁿ , `e :

df = X n h=1

 ∂f

∂x _j dx j + ∂f

∂y _j dy j



= X n h=1

 ∂f

∂z _j dz _j + ∂f

∂ ¯ z _j d¯ z _j



7

8 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

dove ∂/∂z _j e ∂/∂ ¯ z _j non sono derivate parziali rispetto a delle coordinate, ma sono operatori differenziali alle derivate parziali omogenei del primo ordine, a coefficienti complessi costanti:

∂

∂z _j = ¹ ₂

 ∂

∂x _j − i ∂

∂y _j



∂

∂ ¯ z _j = ¹ ₂

 ∂

∂x _j + i ∂

∂y _j

 . Abbiamo perci` o :

Lemma I.1.2. Le funzioni olomorfe sull’aperto Ω ⊂ C ⁿ sono le soluzio- ni f ∈ C ¹ (Ω, C) del sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali omogeneo del prim’ordine :

∂

∂ ¯ z _j f = 0 per 1 ≤ j ≤ n .  (1.1.1)

Proposizione I.1.3. Sia Ω un aperto di C ⁿ ed f ∈ O(Ω) una funzione olomorfa in Ω. Allora in ogni punto z ⁰ ∈ Ω esistono i limiti

(1.1.2) lim

t→0 t∈C

f (z ⁰ + te _j ) − f(z ⁰ )

t = ∂f (z ⁰ )

∂z _j , per j = 1, . . . , n.

Dimostrazione. Per la formula del differenziale, abbiamo infatti, per w in un intorno di 0 in C ⁿ ,

f (z ⁰ + w) = f (z ⁰ ) + X n j=1

∂f (z ⁰ )

∂z j

w _j + o( |w|) per w → 0,

da cui otteniamo la tesi. 

Poniamo ancora :

∂f = X n h=1

∂f

∂z _j dz j , (1.1.3)

∂f = ¯ X n h=1

∂f

∂ ¯ z _j d¯ z _j . (1.1.4)

Abbiamo cos`ı una decomposizione del differenziale nella sua componente C-lineare e nella sua componente anti-C-lineare:

df = ∂f + ¯ ∂f . (1.1.5)

Introduciamo ancora l’operatore differenziale alle derivate parziali d ^c f =

X n j=1

∂f

∂x _j dy _j − ∂f

∂y _j dx _j

,

(1.1.6)

1. FUNZIONI OLOMORFE 9

dimodoch´e

∂f = ¹ ₂ (df + id ^c f ).

(1.1.7)

Indichiamo con T ^∗p,q Ω il fibrato vettoriale complesso su Ω le cui fibre, in ciascun punto p ∈ Ω, sono forme in T ^∗p,q (T _p Ω). Possiamo allora considerare

∂ e ¯ ∂ come operatori differenziali :

∂ : C ^k+1 (Ω, C) −→ C ^k (Ω, T ^∗1,0 Ω) , (1.1.8)

∂ : ¯ C ^k+1 (Ω, C) −→ C ^k (Ω, T ^∗0,1 Ω) (1.1.9)

Abbiamo:

Proposizione I.1.4. L’insieme O(Ω) delle funzioni olomorfe su Ω `e un’algebra complessa ed un anello commutativo unitario rispetto alla somma, al prodotto, e al prodotto per scalare usuale per le funzioni.

Dimostrazione. Infatti le f ∈ O(Ω) sono le soluzioni di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali omogeneo e del prim’ordine, per cui valgono le :

∂(λ ¯ ₁ f ₁ + λ ₂ f ₂ ) = λ ₁ ∂f ¯ ₁ + λ ₂ ∂f ¯ ₂ se λ ₁ , λ ₂ ∈ C, f 1 , f ₂ ∈ C ¹ (Ω, C)

∂(f ¯ ₁ f ₂ ) = f ₁ ∂f ¯ ₂ + f ₂ ∂f ¯ ₁ se f ₁ , f ₂ ∈ C ¹ (Ω, C) .

Quindi combinazioni lineari e prodotti finiti di funzioni olomorfe su Ω sono

ancora funzioni olomorfe su Ω. 

Esempio I.1.5. Ogni polinomio p ∈ C[x 1 , . . . , x _n , y ₁ , . . . , y _n ] si pu` o scri- vere in modo unico come polinomio di C[z 1 , . . . , z <sub>n</sub> , ¯ z <sub>1</sub> , . . . , ¯ z <sub>n</sub> ]. Si verifica fa- cilmente che, se Ω `e un qualsiasi aperto non vuoto di C ⁿ , i polinomi p che de- finiscono una funzione olomorfa su Ω sono tutti e soli quelli di C[z 1 , . . . , z _n ], quelli cio`e che sono indipendenti dalle indeterminate ¯ z ₁ , . . . , ¯ z _n .

Possiamo estendere la definizione di funzione olomorfa al caso di appli- cazioni a valori in uno spazio vettoriale complesso, mediante :

Definizione I.1.6. Siano Ω un aperto di C ⁿ e Ω ^′ un aperto di C ⁿ

. Un’applicazione F : Ω → Ω ^′ si dice olomorfa se `e di classe C ¹ e il suo differenziale

df (p) : T p Ω ≃ C ⁿ −→ T p Ω ^′ ≃ C ⁿ

`e C-lineare per ogni p ∈ Ω.

Indichiamo con (x, y) le coordinate reali di C ⁿ , e con (x ^′ , y ^′ ) quelle di C ⁿ

. Scriviamo quindi F = Re F + iIm F , con Re F, Im F ∈ R ⁿ

. Lo Jacobiano della F , pensata come un’applicazione differenziabile tra aperti di R ²ⁿ e di R ²ⁿ

, `e :

Jf (p) =



 

∂Re F (p)

∂x

∂Re F (p)

∂y

∂Im F (p)

∂x

∂Im F (p)

∂y



  .

10 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

Se le strutture complesse J, J ^′ negli spazi vettoriali reali R ²ⁿ , R ²ⁿ

, corri- spondenti agli spazi vettoriali complessi C ⁿ , C ⁿ

, si esprimono mediante le matrici :

J =

 0 −I n

I _n 0



e J ^′ =

 0 −I n

I _n

0



le matrici reali delle applicazioni C-lineari sono della forma M =

 A −B

B A



con A, B matrici reali n ^′ × n.

Otteniamo quindi la forma reale delle equazioni di Cauchy-Riemann : Proposizione I.1.7. L’applicazione di classe C ¹ :

F : Ω _aperto ⊂ C ⁿ −→ Ω ^′ aperto ⊂ C ⁿ

`e olomorfa se e soltanto se :

 



 

∂Re F

∂x = ^{∂Im F} _∂y ,

∂Re F

∂y = − ^{∂Im F} _∂x . 

(1.1.10)

Poich´e la composizione di due applicazioni C-lineari `e C-lineare, abbiamo immediatamente :

Proposizione I.1.8. Siano Ω ⊂ C ⁿ , Ω ^′ ⊂ C ⁿ

, Ω ^′′ ⊂ C ⁿ

aperti nei rispettivi spazi vettoriali. Se F : Ω → Ω ^′ e G : Ω ^′ → Ω ^′′ sono due applicazioni olomorfe, anche la loro composizione G ◦ F : Ω → Ω ^′′ `e un’applicazione

olomorfa. 

Vale poi il teorema della funzione inversa:

Proposizione I.1.9. Sia F : Ω → C ⁿ una funzione olomorfa definita su un aperto Ω di C ⁿ , e sia z ⁰ ∈ Ω. Se lo Jacobiano complesso :

(1.1.11) ∂F (z ⁰ )

∂z =



 



∂F

(z

)

∂z

· · · ^∂F _∂z

^(z

⁾ .. . . .. .. .

∂F

(z

)

∂z

· · · ^∂F _∂z

^(z

⁾



 



`e invertibile, allora esistono un intorno aperto U di z ⁰ in Ω e un intorno aperto V di F (z ⁰ ) in C ⁿ tali che F | ^V _U : U ∋ z → F (z) ∈ V sia bigettiva.

L’inversa  F | ^V U

 −1

: V → U `e allora anch’essa olomorfa.

Dimostrazione. Per una funzione olomorfa, la condizione che il suo Ja-

cobiano complesso sia invertibile `e equivalente al fatto che il suo differenziale

nel punto sia invertibile. Possiamo quindi applicare il teorema dell’applica-

zione inversa, che sappiamo valido per applicazioni di classe C ¹ tra spazi

vettoriali reali. L’inversa `e allora olomorfa perch´e il differenziale dell’appli-

cazione inversa `e l’inverso del differenziale dell’applicazione data, e l’inversa

di un’applicazione C-lineare `e un’applicazione C-lineare. 

2. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY NEL POLIDISCO 11

Anche il teorema delle funzioni implicite si estende immediatamente al caso olomorfo. Abbiamo :

Proposizione I.1.10. Sia Ω un aperto di C ^m+n = C ^m w × C ⁿ z e sia F = (F ₁ , . . . , F _m ) : Ω → C ^m un’applicazione olomorfa in Ω. Fissiamo un punto (w ⁰ , z ⁰ ) = (w ₁ ⁰ , . . . , w ⁰ _m ; z ₁ ⁰ , . . . , z ⁰ _n ) di Ω in cui F (w ⁰ , z ⁰ ) = 0 e supponiamo che la matrice :

(1.1.12) ^{∂F (w}

^,z

⁾

∂w = 

∂F

(w

,z

)

∂w



1≤h,k≤m

sia invertibile. Allora esistono un intorno aperto ω di z ⁰ in C ⁿ ed un intorno aperto ω ^′ di w ⁰ in C ^m tali che

(i) ω ^′ × ω ⊂ Ω;

(ii) per ogni z ∈ ω esiste uno ed un solo w = f(z) ∈ ω ^′ tale che F (f (z), z) = 0;

(iii) l’applicazione f : ω → ω ^′ definita in (ii) `e olomorfa.

Dimostrazione. Definiamo un’applicazione G : Ω → C ^n+m u,v ponendo G(w, z) = (F (w, z), z). L’applicazione G `e olomorfa e il suo Jacobiano complesso `e dato da :

∂G

∂(w, z) =

 _∂F

∂w ∂F

0 ∂z I _n

 .

Per il teorema dell’applicazione inversa, possiamo allora trovare un intorno di (w ⁰ , z ⁰ ) in Ω, che possiamo scegliere della forma ω ^′ × ω, con ω ^′ intorno aperto di w ⁰ in C ^m ed ω intorno aperto di z ⁰ in C ⁿ , un intorno aperto V di (0, z ⁰ ) in C ^m+n , ed un’applicazione olomorfa H : V → ω ^′ × ω tale che G ◦H(u, v) = (u, v) per ogni (u, v) ∈ V . Posto H(u, v) = (H ^′ (u, v), H ^′′ (u, v)) avremo quindi :

( F (H ^′ (u, v), H ^′′ (u, v)) = u H ^′′ (u, v) = v .

In particolare, quando u = 0, posto f (z) = H ^′ (0, z), otteniamo che f `e

definita e olomorfa su ω ed F (f (z), z) = 0. 

2. Formula integrale di Cauchy nel polidisco

Definizione I.2.1. Chiamiamo polidisco un sottoinsieme di C ⁿ della forma D = D 1 ×· · ·×D n , ove D 1 , . . ., D n sono dischi nel piano complesso C :

D = {z = (z 1 , . . . , z _n ) ∈ C ⁿ | z j ∈ D j per j = 1, . . . , n } .

Il sottoinsieme ∂ ₀ D = ∂D ₁ × · · · × ∂D n della frontiera del polidisco D si dice la sua frontiera distinta.

Dalla formula di rappresentazione di Cauchy per le funzioni olomorfe di

una variabile, ricaviamo la

12 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

Proposizione I.2.2. Sia D un polidisco di C ⁿ e sia f ∈ O(D) ∩ C ⁰ ( ¯ D).

Vale la formula di rappresentazione : (1.2.1)

f (z) = 1 (2πi) ⁿ

Z

∂

D

f (ζ ₁ , . . . , ζ _n )

(ζ ₁ − z 1 ) · · · (ζ n − z n ) dζ 1 ∧ · · · ∧ dζ n ∀ z ∈ D . Dimostrazione. Infatti, se f `e olomorfa su D, per ogni z <sup>0</sup> ∈ D fissato ed ogni 1 ≤ j ≤ n, l’applicazione D j ∋ t → f(z 1 <sup>0</sup> , . . . , z <sup>0</sup> <sub>j−1</sub> , t, z <sub>j+1</sub> <sup>0</sup> , . . . , z n ) ∈ C `e olomorfa sul disco D j e continua sulla sua chiusura. La (1.2.1) si ottiene allora iterando la formula di Cauchy per le funzioni olomorfe di una variabile.

 Applicando la formula di rappresentazione, otteniamo la

Proposizione I.2.3. Sia Ω `e un aperto di C. Le funzioni olomorfe su Ω sono analitiche reali su Ω. Se f ∈ O(Ω) e D un qualsiasi polidisco contenuto in Ω, la serie di Taylor di f calcolata nel centro di D converge uniformemente ad f , con tutte le derivate, su ogni compatto contenuto in D.

Dimostrazione. Se f ∈ O(Ω) e z ⁰ ∈ Ω, fissiamo un polidisco D = {z ∈ C ⁿ | |z j − z ⁰ j | < r j } ⋐ Ω. Se α ∈ N ⁿ e a = (a ₁ , . . . , a _n ) ∈ C ⁿ , porremo come al solito α! = α ₁ ! · · · α n ! ed a ^α = a ^α ₁

· · · a ^α n

. Poniamo e = (1, . . . , 1) ∈ N ⁿ . Abbiamo allora :

(1.2.2) 1

(ζ ₁ − z 1 ) · · · (ζ n − z n ) = 1

(ζ − z) ^e = X

α∈N

1

(ζ − z 0 ) ^α+e (z − z 0 ) ^α , con convergenza uniforme per (z, ζ) ∈ K × ∂D, se K ⋐ D. Dalla formula integrale di Cauchy otteniamo quindi :

∂ ^α f (z) = α!

2πi Z

∂D

f (ζ)dζ ₁ ∧ · · · ∧ dζ n

(ζ − z) ^α+e , (1.2.3)

f (z) = X

α∈N

∂ ^α f (z ⁰ )

α! (z − z ⁰ ) ^α , ∀z ∈ D (1.2.4)

dove abbiamo posto

∂ ^α =

 ∂

∂z ₁

 α

◦ · · · ◦

 ∂

∂z _n

 α

. (1.2.5)

 Dalla formula di rappresentazione otteniamo :

Proposizione I.2.4. Se f `e una funzione continua sul polidisco chiuso : (1.2.6) D(z ¯ ⁰ , r) = {|z j − z ⁰ j | ≤ r j , 1 ≤ j ≤ n} ⊂ C ⁿ

e olomorfa al suo interno, allora : (1.2.7) |∂ ^α f (z ⁰ ) | ≤ α!

r ^α · sup

z∈∂

D(z

,r) |f(z)| . 

2. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY NEL POLIDISCO 13

Lemma I.2.5. Siano Ω un aperto del piano complesso, K un compatto di Ω ed ω un intorno aperto di K, relativamente compatto in Ω. Allora, per ogni intero m ≥ 0 esiste una costante c m > 0 tale che

(1.2.8) sup

z∈K |∂ ^m f (z) | ≤ c m

ZZ

ω |f(z)| dxdy ∀f ∈ O(Ω).

Dimostrazione. Fissiamo una funzione reale χ, di classe C ^∞ , con sup- porto compatto contenuto in Ω ed uguale ad 1 in un intorno aperto ω ^′ di K. Abbiamo allora, per la formula di rappresentazione (13.2.1),

f (z) = 1 2πi

Z Z

ω\ω

∂χ(ζ)

∂ ¯ ζ · f (ζ)

ζ − z dζ ∧ d¯ ζ ∀f ∈ O(Ω), ∀z ∈ K.

Avremo allora, derivando sotto il segno d’integrale

∂ ^m f (z) = m!

2πi Z Z

ω\ω

∂χ(ζ)

∂ ¯ ζ · f (ζ)

(ζ − z) ^m+1 dζ ∧ d¯ ζ ∀f ∈ O(Ω), ∀z ∈ K, da cui segue facilmente la tesi, dal momento che la funzione

(z, ζ) → 1

(ζ − z) ^m+1 · ∂χ(ζ)

∂ ¯ ζ

`e uniformemente limitata per (z, ζ) ∈ K × (¯ω \ ω ^′ ).  Corollario I.2.6. Siano K _compatto ⊂ ω aperto ⋐ Ω _aperto ⊂ C ⁿ . Per ogni α ∈ N ⁿ esiste allora una costante C _α = C _α (K, ω, Ω) tale che :

(1.2.9) sup

K |∂ ^α f (z) | ≤ C α kfk L

(ω) ∀f ∈ O(Ω) .

Dimostrazione. Ricopriamo K con un numero finito di compatti K ^(h) ⊂ ω, della forma K ^(h) = K ₁ ^(h) × · · · × K n ^(h) con K _j ^h compatto in C e per cia- scun h siano ω _j ^(h) aperti relativamente compatti di C tali che, per ω ^(h) = ω ₁ ^(h) × · · · × ω ^(h) n risulti K ^(h) ⋐ ω ^(h) ⋐ ω. Si ricava immediatamente dal Lemma I.2.5 che, per ogni multiindice α ∈ N ⁿ ed ogni indice h vi `e una costante c ^(h) _α > 0 tale che

sup

K

|∂ ^α f | ≤ c ^(h) α kfk _L

_(ω

₎ ∀f ∈ O(Ω).

La (1.2.9) segue con C _α = sup _h c ^(h) _α . 

Corollario I.2.7. Sia {f ν } ⊂ O(Ω) una successione di funzioni olo- morfe su un aperto Ω ⊂ C ⁿ . Se f _ν converge a una funzione f uniformemente sui compatti di Ω, allora la funzione f `e olomorfa su Ω.

Dimostrazione. Infatti, dal Corollario I.2.6 segue che anche tutte le derivate delle f ν convergono uniformemente sui compatti di Ω. Quindi la f

`e di classe C ^∞ e soddisfa anch’essa il sistema di Cauchy-Riemann ¯ ∂f = 0,

onde f ∈ O(Ω). 

14 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

Corollario I.2.8. Sia {f ν } una successione di funzioni olomorfe sul- l’aperto Ω di C ⁿ . Se {|f ν |} `e uniformemente limitata sui compatti di Ω, allora possiamo estrarre una successione {f k

} che converge uniformemente sui compatti di Ω ad una funzione f ∈ O(Ω).

Dimostrazione. Per il Corollario I.2.6, la successione {f ν } `e anche equicontinua su ogni sottoinsieme compatto di Ω. Quindi, per il teorema di Ascoli-Arzel`a, la {f ν } ammette una sottosuccessione che converge uniforme- mente sui sottoinsiemi compatti di Ω. Il suo limite `e una funzione olomorfa

per il Corollario I.2.7. 

Le funzioni olomorfe soddisfano il principio di continuazione unica, de- bole e forte, e il principio del massimo modulo :

Teorema I.2.9. Sia Ω un aperto di C ⁿ . Allora :

(1) Se f ∈ O(Ω) si annulla su un aperto ω ⊂ Ω, allora f si annulla su tutte le componenti connesse di Ω che intersecano ω.

(2) Se f ∈ O(Ω) si annulla con tutte le derivate in un punto z ⁰ ∈ Ω, allora f si annulla sulla componente connessa di z ⁰ in Ω.

(3) Se f ∈ O(Ω) ed ω `e un sottoinsieme aperto relativamente compatto in Ω, allora

(1.2.10) sup

z∈ω |f(z)| = sup

z∈∂ω |f(z)| .

(4) Se f ∈ O(Ω) e |f| ha un massimo locale in z ⁰ ∈ Ω, allora f `e costante sulla componente connessa di z ⁰ in Ω.

Dimostrazione. (1)-(2) Poich´e f ∈ O(Ω) `e la somma della sua serie di Taylor nell’intorno di ogni punto, ne segue che l’insieme dei punti in cui essa si annulla con tutte le sue derivate `e un sottoinsieme aperto e chiuso di Ω, e quindi unione di componenti connesse di Ω.

(3) La (1.2.10) `e una facile conseguenza della maggiorazione di Cauchy (1.2.7), per α = 0.

(4) Supponiamo che f ∈ O(Ω) abbia in z ⁰ un massimo locale del modulo.

Se f (z ⁰ ) = 0, allora per l’ipotesi f si annulla in tutto un intorno di z ⁰ e quindi la tesi `e verificata. Supponiamo quindi che f (z ⁰ ) 6= 0. A meno di sostituire ad Ω un intorno aperto connesso di z ⁰ , possiamo supporre che

|f(z)| ≤ |f(z ⁰ ) | per ogni z ∈ Ω, e a meno di sostituire ad f la funzione z → f(z)/f(z ⁰ ), che sia f (z ₀ ) = 1. Consideriamo la successione {f ^ν }. Per il Corollario I.2.8, possiamo estrarre una successione {f ^k

} che converge, uniformemente sui compatti, a una funzione f ₀ ∈ O(Ω). Avremo :

( |f 0 (z) | = 0 se |f(z)| < 1

|f 0 (z) | = 1 se |f(z)| = 1

Poich´e |f 0 | `e continua in Ω, ed abbiamo supposto Ω connesso, ne segue che

|f 0 (z) | = 1 per ogni z ∈ Ω, e quindi anche |f(z)| = 1 per ogni z ∈ Ω.

3. IL COMPLESSO DI DOLBEAULT 15

Abbiamo quindi :

0 = d f · ¯ f

= ¯ f | {z } · ∂f

∈T

Ω

+ f | {z } · ∂f

∈T

Ω

= ⇒ [∂f = 0] =⇒ 

df = ∂f + ¯ ∂f = 0 

e perci` o f `e costante su Ω. 

Ci sono diversi risultati che assicurano l’olomorfia di una funzione a par- tire da ipotesi pi` u deboli di quelle descritte nella definizione. Ne ricordiamo due: il primo `e dovuto ad Hartogs, il secondo a Rado :

Teorema I.2.10 (Hartogs). Sia f una funzione a valori complessi, defi- nita su un aperto Ω di C ⁿ . Se, per ogni z ∈ Ω, ed ogni intero j con 1 ≤ j ≤ n, la funzione di una variabile complessa t → f(z 1 , . . . , z _j−1 , z _j +t, z _j+1 , . . . , z _n )

`e olomorfa per t in un intorno di 0 in C, allora la f `e olomorfa in Ω.

Teorema I.2.11 (Rad´o). Sia f una funzione continua a valori comples- si, definita su un aperto Ω di C ⁿ . Se f `e olomorfa su Ω \ {z ∈ Ω | f(z) = 0}, allora f `e olomorfa in tutto Ω.

3. Il complesso di Dolbeault

Sia Ω un aperto di C ⁿ . Indicheremo con E(Ω) lo spazio delle funzioni di classe C ^∞ su Ω, a valori complessi. Esso `e un’algebra unitaria e commuta- tiva complessa e un anello commutativo unitario con le operazioni usuali di somma e prodotto di funzioni e di prodotto di una funzione per uno scalare.

Indichiamo con :

E ^∗ (Ω) = M 2n h=0

E ^(h) (Ω)

l’algebra esterna delle forme differenziali su Ω a coefficienti complessi, di classe C ^∞ .

Indichiamo con I _n = S

h∈N {1, . . . , n} ^h l’insieme di tutti i multiindici (i ₁ , . . . , i _h ), ove gli i _j sono interi con 1 ≤ i j ≤ n. Se I ∈ I n scriveremo

|I| = h se I ∈ {1, . . . , n} ^h . ` E conveniente introdurre la notazione : dz ^I = dz _i

∧ · · · ∧ dz i

d¯ z ^I = d¯ z _i

∧ · · · ∧ d¯z i

se I = (i ₁ , . . . , i _h ) ∈ I n .

Poich´e E ^(h) (Ω) = E(Ω) ⊗ ^C Λ ^h C ( C ⁿ ), la decomposizione dell’algebra di Grass- mann complessa, descritta nel §1 del Capitolo 13, ci d`a una decomposizione :

E ^∗ (Ω) = M

0≤p,q≤n

E ^p,q (Ω)

(1.3.1)

16 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

ove

E ^p,q (Ω) = X ′

|I|=p, |J|=q f I,J dz ^I ∧ d¯z ^J  

  f ^I,J ∈ E(Ω)

 . (1.3.2)

Il simbolo P ′ significa che la somma `e fatta sulle p-uple e q-uple di indici crescenti, cio`e I = (i 1 , . . . , i p ) con 1 ≤ i 1 < · · · < i p ≤ n e J = (j 1 , . . . , j q ) con 1 ≤ j 1 < · · · < j q ≤ n.

Lemma I.3.1. Sia Ω un aperto di C ⁿ . L’operatore differenziale

∂ : ¯ E(Ω) → E ^0,1 (Ω)

si estende in modo unico ad un operatore differenziale lineare omogeneo del prim’ordine ¯ ∂ : E ^∗ (Ω) → E ^∗ (Ω), tale che :

∂(f α) = ( ¯ ¯ ∂f ) ∧ α + f · ¯ ∂α ∀f ∈ E(Ω) , ∀α ∈ E ^∗ (Ω) (1.3.3)

∂ ¯ ◦ d = −d ◦ ¯ ∂ (1.3.4)

∂(α ¯ ∧ β) = ¯ ∂α

∧ β + (−1) ^h α ∧ ¯ ∂β

∀α ∈ E ^(h) (Ω) , ∀β ∈ E ^∗ (Ω) . (1.3.5)

L’operatore ¯ ∂ soddisfa :

∂ ¯ ◦ ¯ ∂ = 0 (1.3.6)

∂ ( ¯ E ^p,q (Ω)) ⊂ E ^p,q+1 (Ω) ∀0 ≤ p, q ≤ n . (1.3.7)

Dimostrazione. Dalle (1.3.4) e (1.3.5) ricaviamo che ¯ ∂ dz ^I ∧ d¯z ^J

= 0 per ogni I, J ∈ I n . Ne segue che ¯ ∂ `e univocamente determinato dalla formula (1.3.8) ∂ ¯



 X

I,J∈I

f _I,J dz ^I ∧ d¯z ^J



 = X

I,J∈I

X n j=1

∂f _I,J

∂ ¯ z _j d¯ z _j ∧ dz ^I ∧ d¯z ^J . In particolare vale la (1.3.7). Inoltre, se α ∈ E ^p,q (Ω), allora ¯ ∂α `e la compo- nente in E <sup>p,q+1</sup> (Ω) di dα. La (1.3.6) `e allora conseguenza del fatto che ¯ ∂ ² α

`e la componente in E <sup>p,q+2</sup> (Ω) di d <sup>2</sup> α, e d <sup>2</sup> = 0.  Per ogni intero p con 0 ≤ p ≤ n ed ogni aperto Ω ⊂ C <sup>n</sup> otteniamo cos`ı una successione di spazi vettoriali ed applicazioni lineari (operatori differenziali omogenei del prim’ordine) :

(1.3.9)

0 −−−−→ E ^p,0 (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,1} (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,2} (Ω) −−−−→ · · ·

· · · −−−−→ E ^p,q−1 (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q} (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q+1} (Ω) −−−−→ · · ·

· · · −−−−→ E ^p,n−1 (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,n} (Ω) −−−−→ 0 . Poich´e ¯ ∂ ² = 0, diciamo che (1.3.9) `e un complesso.

Definizione I.3.2. Il complesso (1.3.9) si dice complesso di Dolbeault

in grado p sull’aperto Ω. Le p-forme α ∈ E ^p,0 (Ω) che soddisfano l’equazione

omogenea ¯ ∂α = 0 si dicono p-forme olomorfe. Lo spazio delle p-forme

3. IL COMPLESSO DI DOLBEAULT 17

olomorfe su Ω si indica con Ω ^p (Ω) o anche H ^p,0 _¯

∂ (Ω). Per ogni intero q, con 1 ≤ q ≤ n, il quoziente :

(1.3.10) H ^p,q _{∂ ¯} (Ω) := ker ¯ ∂ : E ^p,q (Ω) → E ^p,q+1 (Ω)
Imm ¯ ∂ : E ^p,q−1 (Ω) → E ^p,q (Ω)

si dice il q-esimo gruppo di coomologia del complesso di Dolbeault in grado p su Ω.

Per definizione, il q-esimo gruppo di coomologia di Dolbeault esprime l’ostruzione alla risolubilit`a del sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali :

(1.3.11)

( β ∈ E ^p,q−1 (Ω)

∂β = α ¯ ∈ E ^p,q (Ω)

sotto la condizione di integrabilit` a per il secondo membro

(1.3.12) ∂α = 0 . ¯

Osserviamo che, per ogni aperto Ω di C ⁿ , `e in modo naturale E ^p,q (Ω) ≃

 E ^0,q (Ω) (

), e questa decomposizione `e compatibile con l’azione di ¯∂ su ciascuna delle componenti di 

E ^0,q (Ω) (

). In particolare, (1.3.13) H ^p,q _{∂ ¯} (Ω) ≃ h

H ^p,q _{∂ ¯} (Ω) i(

) ,

e quindi in diverse considerazioni che svolgeremo nel seguito per il complesso di Dolbeault potremo per semplicit`a ridurci al caso p = 0.

Indichiamo con D(Ω) il sottospazio di E(Ω) che consiste delle funzioni f che hanno supporto compatto in Ω, tali cio`e che :

(1.3.14) supp(f ) = {z ∈ Ω | f(z) 6= 0} ⋐ Ω . Se α ∈ E ^p,q (Ω) si scrive nella forma :

(1.3.15) α = X ′

|I|=p, |J|=q α _I,J dz ^I ∧ d¯z ^J con α _I,J ∈ E(Ω) , poniamo :

(1.3.16) supp(α) = [

|I|=p, |J|=q

supp(α _I,J ) . Poich´e :

(1.3.17) supp( ¯ ∂α) ⊂ supp(α) ,

otteniamo il complesso di Dolbeault in grado p su Ω per le forme a supporto compatto:

(1.3.18)

0 −−−−−→ D

(Ω) −−−−−→ D

(Ω) −−−−−→ D

(Ω) −−−−−→ · · ·

· · · −−−−−→ D

(Ω) −−−−−→ D

(Ω) −−−−−→ D

(Ω) −−−−−→ · · ·

· · · −−−−−→ D

(Ω) −−−−−→ D

(Ω) −−−−−→ 0 .

18 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

Indichiamo con : (1.3.19) H ^p,q

comp, ¯ ∂ (Ω) = ker ¯ ∂ : D ^p,q (Ω) → D ^p,q+1 (Ω)
Imm ¯ ∂ : D ^p,q−1 (Ω) → D ^p,q (Ω)
i gruppi di coomologia di Dolbeault per le forme a supporto compatto.

Nel prossimo paragrafo dimostreremo il seguente

Teorema I.3.3. Se Ω `e un qualsiasi aperto di C ⁿ , allora : H ^p,n _¯

∂ (Ω) = 0 ∀0 ≤ p ≤ n

(1.3.20)

H ^p,0

comp, ¯ ∂ (Ω) = 0 ∀0 ≤ p ≤ n (1.3.21)

e, se n ≥ 2 e C ⁿ \ Ω non ha componenti connesse compatte, allora : H ^p,1 _{comp, ¯ ∂} (Ω) = 0 ∀0 ≤ p ≤ n .

(1.3.22)

4. Laplaciano in R ⁿ e dimostrazione del Teorema I.3.3 Per dimostrare il Teorema I.3.3 utilizzeremo alcuni risultati sull’opera- tore di Laplace in R ⁿ .

Lemma I.4.1. Sia ∆ = P

∂ _i ² l’operatore di Laplace in R ^m . Sia Ω un aperto di R ^m ed indichiamo con H(Ω) lo spazio delle funzioni armoniche, con la topologia della convergenza uniforme sui compatti di Ω. Allora:

(1) ∆ : C ^∞ (Ω, R) → C ^∞ (Ω, R) `e surgettivo;

(2) sia T una misura con supporto compatto in Ω. L’equazione ∆(u) = T ha una soluzione a supporto compatto in Ω se, e soltanto se,

Z

Ω

T f = 0 per ogni f ∈ H(Ω).

(3) se Ω ^′ `e un aperto che contiene Ω e tale che Ω ^′ \ Ω non abbia componenti connesse compatte, allora le funzioni armoniche su Ω si approssimano, uniformemente sui compatti di Ω, con funzioni armoniche su Ω ^′ .

Dimostrazione. Una soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace

`e data da:

(1.4.1) E(x) =

 



 

x ⁺ = max {x, 0} se m = 1

− log |x| se m = 2

−1

(m−2)ω

|x|

se m > 2

4. LAPLACIANO IN R

E DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA I.3.3 19

ove ¹ ω _m = 2π ^m/2 /Γ(m/2) `e la misura della superficie della sfera (m − 1)- dimensionale {|x| = 1} ⊂ R <sup>m</sup> . Il fatto che E sia soluzione fondamentale significa che, se T `e una distribuzione a supporto compatto, allora:

(1.4.2) u(x) = E ∗ T (x) = Z

T (y)E(x − y)dλ(y) risolve ∆u = T in R ^m . Dimostriamo innanzi tutto la (2). Sia T ∈ M c (Ω, R) una misura con supporto compatto in Ω, ortogonale alle funzioni armoniche su Ω, e sia u(x) = E ∗ T (x). La u `e definita su R <sup>m</sup> ed armonica sul complementare del supporto di T in R <sup>m</sup> . Se x ∈ ∁Ω ed α ∈ N <sup>m</sup> , allora y → (∂ <sup>α</sup> y E)(x − y) `e una funzione armonica su Ω, e quindi ∂ _x ^α u(x) = R 

(∂ _y ^α E)(x − y) 

T (y) = 0.

Dunque u si annulla di ordine infinito su tutti i punti del complementare di supp(T ) in R ^m e perci` o, per il teorema di continuazione unica forte, su tutte le componenti connesse di ∁supp(T ) che intersechino il complementare di Ω.

Se poi R = sup _{supp(T )} |x|, per |x| > R fissato possiamo sviluppare E(x − y) in serie di polinomi omogenei:

E(x − y) = X ∞ h=0

p ^(x) _h (y),

con convergenza uniforme su {|x| ≤ R} e quindi

(1.4.3) u(x) =

X ∞ h=0

Z

T _y p ^(x) _h (y) = 0,

da cui otteniamo che il supporto di u `e limitato, e dunque compatto. Poich´e abbiamo gi` a osservato che il supporto di u `e contenuto in Ω, ne segue la (2).

Dimostriamo ora la (3). Per il teorema di Hahn-Banach l’applicazione di restrizione H(Ω ^′ ) → H(Ω) ha immagine densa se e soltanto se:

(1.4.4)

T ∈ M c (Ω, R) e Z

T f = 0 ∀f ∈ H(Ω ^′ )

 

 = ⇒ Z

T f = 0 ∀f ∈ H(Ω).

Sia quindi T ∈ M c (Ω, R) una misura regolare ortogonale a tutte le funzioni armoniche su Ω ^′ . Consideriamo u(x) = E ∗ T (x). Per il punto (2) essa `e ha supporto compatto contenuto in Ω <sup>′</sup> ed `e armonica su ∁supp(T ). Per il teorema di continuazione unica per le funzioni armoniche, la u sar` a nulla su tutte le componenti connesse non compatte di Ω ^′ \ supp(T ), e quindi su Ω ^′ \ Ω per l’ipotesi che Ω ^′ \ Ω non avesse componenti connesse compatte.

1 Ricordiamo che la funzione Gamma `e definita dall’integrale di Eulero:

Γ(z) = R

0

t

e

dt per Re z > 0, ovvero dal prodotto infinito 1/Γ(z) = ze

Q

k=1

h `1 −

´ e

i

per z ∈ C. Qui γ `e la costante di Eulero, definita da γ = lim

h“ P

1 h

” − log k i

. Se k `e un intero positivo, abbiamo: Γ(k + 1) = k!, Γ(k +

) =

√ π.

20 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

Quindi supp(u) ⊂ Ω e da questo segue che:

(1.4.5)

Z T f =

Z

Ω

∆uf = Z

Ω

u∆f = 0 ∀f ∈ H(Ω),

e questo dimostra che l’applicazione di restrizione H(Ω ^′ ) → H(Ω) ha imma- gine densa.

Dimostriamo infine la (1). Sia Ω un aperto di R ^m ed f ∈ C ^∞ (Ω, R). Sia {K ν } ν∈N una successione di compatti con:

K _ν ⊂ int(K ν+1 ) ,

Ω \ int(K n ) non ha componenti connesse compatte, [

ν

K _ν = Ω .

Per ogni ν poniamo:

u _ν (x) = Z

K

f (y)E(x − y)dλ(y) , per x ∈ Ω.

Allora:

∆u _ν (x) = f (x) su int(K _ν ).

Dico che possiamo trovare una successione di funzioni v _ν ∈ C ^∞ (int(K _ν )) tali che, posto K ₋₁ = ∅, risulti:

∆v ν (x) = f (x) su int(K ν ) e sup

x∈K

|v ν+1 (x) − v ν (x) | ≤ 2 ^−ν , ∀ν ∈ N.

Possiamo infatti scegliere v 0 = u 0 e, supposto di aver scelto v 0 , . . . , v ν per qualche ν ∈ N, osserviamo che u ν+1 − v ν ∈ H(int(K ν )) e quindi per il punto (2) esiste una h ∈ H(Ω) con sup x∈K

|u ν+1 (x) − v ν (x) − h(x)| < 2 ^−ν . Possiamo allora scegliere v _ν+1 = u _ν+1 − h su int(K ν+1 ). Definiamo quindi una soluzione u ∈ C ^∞ (Ω, R) di ∆u = f in Ω ponendo:

(1.4.6) u(x) = v _ν (x) + X ∞ h=0

(v _ν+h+1 (x) − v ν+h (x)) su int(K _ν ) . Infatti la serie a secondo addendo converge uniformemente su ogni compatto di int(K _ν ) ad una funzione armonica su int(K _ν ) e le diverse definizioni della

u sugli aperti int(K _ν ) coincidono. 

Dimostrazione del Teorema I.3.3. Torniamo ora alla dimostrazio- ne del Teorema I.3.3. Per dimostrare la (1.3.20) utilizziamo il Lemma I.4.1.

L’operatore di Laplace in C ⁿ ≃ R ²ⁿ si pu` o scrivere nella forma :

(1.4.7) ∆ = 4

X n j=1

∂

∂ ¯ z _j

∂

∂z _j .

5. SINGOLARIT ` A ELIMINABILI E TEOREMA DI BOCHNER-FICHERA 21

Un elemento α ∈ E ^0,n (Ω) si scrive in modo unico come α = f d¯ z ₁ ∧ · · · ∧ d¯z n . Se u ∈ E(Ω) `e soluzione di ∆(u) = f, la

β = X n j=1

X

1≤j

<···<j

≤n j

6=j ∀1≤h≤n−1

( −1) ^j+1 ∂u

∂z _j d¯ z j

∧ · · · ∧ d¯z j

∈ E ^0,n−1 (Ω)

`e allora soluzione di ¯ ∂β = α.

La (1.3.21) `e conseguenza del principio di continuazione unica per le funzioni olomorfe.

Dimostriamo ora la (1.3.22). Sia α ∈ D ^0,1 (Ω). Scriviamo α = P n

j=1 α _j d¯ z _j con α _j ∈ D(Ω). La condizione che α ∈ ker ¯ ∂ ci d` a :

(1.4.8) ∂α _j

∂ ¯ z _h = ∂α _h

∂ ¯ z _j ∀1 ≤ j < h ≤ n . Poniamo :

u(z ₁ , z ₂ . . . , z _n ) = 1 2πi

ZZ

C

α ₁ (ζ, z ₂ , . . . , z _n ) ζ − z 1

dζ ∧ d¯ ζ

= − 1 2πi

ZZ

C

α ₁ (z ₁ − ζ, z 2 , . . . , z _n )

ζ dζ ∧ d¯ ζ .

La seconda uguaglianza mostra che u ∈ E(C ⁿ ). Inoltre, `e chiaro che u = 0 per (z ₂ , . . . , z _n ) fuori da un compatto di C ⁿ⁻¹ . Per la formula di Cauchy- Martinelli (13.2.1) per le funzioni di una variabile, abbiamo _{∂ ¯} ^∂u _z

1

= α ₁ . De- rivando sotto il segno d’integrale otteniamo poi, per 1 < j ≤ n, sempre utilizzando le formule di Cauchy-Martinelli (13.2.1) :

∂u

∂ ¯ z j

= − 1 2πi

Z Z

C

α ₁ (z ₁ − ζ, z 2 , . . . , z _n )/∂ ¯ z _j

ζ dζ ∧ d¯ ζ

= − 1 2πi

Z Z

C

∂α _j (z ₁ − ζ, z 2 , . . . , z _n )/∂ ¯ z ₁

ζ dζ ∧ d¯ ζ = α _j .

Quindi ¯ ∂u = α. Osserviamo poi che la u `e olomorfa fuori dal supporto di α e nulla fuori da un compatto. Poich´e per ipotesi ∁Ω non ha componenti connesse compatte, otteniamo in particolare che u = 0 su ∁Ω, e quindi

supp(u) ⊂ Ω. 

5. Singolarit` a eliminabili e teorema di Bochner-Fichera Una fondamentale differenza tra le funzioni olomorfe di una e quelle di pi` u variabili complesse `e che le seconde, a differenza delle prime, non possono avere singolarit`a isolate.

Infatti, come conseguenza della (1.3.22), vale il seguente :

Teorema I.5.1 (Hartogs). Sia Ω un aperto di C ⁿ e sia K un sottoin-

sieme compatto di Ω tale che Ω \ K sia connesso. Allora, se n ≥ 2, per ogni

f ∈ O(Ω \ K) vi `e una ed una sola ˜ f ∈ O(Ω) tale che ˜ f (z) = f (z) per ogni

z ∈ Ω.

22 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

Dimostrazione. Fissiamo una funzione φ ∈ C ^∞ ( C ⁿ , R) tale che:

0 ≤ φ(z) ≤ 1 ∀z ∈ C ⁿ ,

K ⊂ int({φ(z) = 0}) ⊂ {φ(z) < 1} ⋐ Ω,

∁Ω ⊂ int({φ(z) = 1}).

Poich´e ¯ ∂φ `e nulla in un intorno di K ∪ ∂Ω, la:

α =

 



 

0 su ∁Ω

f · ¯ ∂φ su Ω \ K

0 su K

`e una forma in D <sup>0,1</sup> ( C <sup>n</sup> ) che soddisfa ¯ ∂α = 0. Per la (1.3.22) vi `e allora un’unica u ∈ D ^0,0 ( C ⁿ ) tale che ¯ ∂u = α. La ˜ f = f φ − u `e una funzione olomorfa su Ω. Inoltre, u `e olomorfa fuori dal supporto di ¯ ∂φ. Poich´e u `e nulla fuori da un compatto, ne segue che u = 0 su un sottoinsieme aperto di Ω \ K. ` E perci` o ˜ f = f su un aperto di Ω \ K e quindi ˜ f = f su tutto Ω \ K per il teorema di continuazione unica, in quanto abbiamo supposto Ω \ K connesso. La ˜ f cos`ı ottenuta definisce allora l’estensione cercata. 

Vale inoltre il:

Teorema I.5.2 (Bochner - Fichera). Sia Ω un aperto limitato di C ⁿ , n ≥ 2, con frontiera regolare di classe C ^∞ e ∁ ¯ Ω connesso. Sia ρ una funzione reale di classe C ^∞ , definita in un intorno di ∂Ω in C ⁿ , con ρ(z) = 0 e dρ(z) 6= 0 per ogni z ∈ ∂Ω. Sia f ∈ E ^0,0 ( ¯ Ω) una funzione che soddisfi l’equazione ² :

(1.5.1) ∂f (z) ¯ ∧ ¯ ∂ρ(z) = 0 ∀z ∈ ∂Ω.

Allora esiste un’unica funzione ˜ f ∈ O(Ω) ∩ E ^0,0 ( ¯ Ω) tale che ˜ f (z) = f (z) per ogni z ∈ ∂Ω.

Dimostrazione. Dimostriamo per ricorrenza che esistono {f h } ⊂ E ^0,0 ( ¯ Ω) ed {α h } ⊂ E ^0,1 ( ¯ Ω) tali che:

(1.5.2)

 

 f ₀ = f

∂ ( ¯ P m

h=0 f _h ρ ^m ) = ρ ^m α m su ∂Ω ∀m ∈ N.

Infatti, dalla (1.5.1), segue che si possono trovare f 1 ∈ E ^0,0 ( ¯ Ω) e β 1 ∈ E ^0,1 ( ¯ Ω) tali che:

(1.5.3) ∂f = ¯ ¯ ∂f 0 = −f 1 ∂ρ + ρβ ¯ 1 . Abbiamo quindi:

(1.5.4) ∂ (f ¯ ₀ + f ₁ ρ) = ρ β ₁ + ¯ ∂f ₁

| {z }

=α

2 La (1.5.1) `e l’equazione di Cauchy-Riemann tangenziale.

6. IL LEMMA DI DOLBEAULT 23

Supponiamo di aver costruito f _h ed α _h per h ≤ m, m ≥ 1. Differenziando nella seconda delle (1.5.2), otteniamo:

(1.5.5) 0 = mρ ^m−1 ∂ρ ¯ ∧ α m + ρ ^m ∂α ¯ _m = ⇒ ¯ ∂ρ ∧ α m + 1

m ρ ¯ ∂α _m = 0.

Da questa ricaviamo che:

(1.5.6) α _m = −(m + 1)f m+1 ∂ρ + ρβ ¯ _m+1 per opportune f _m+1 ∈ E ^0,0 ( ¯ Ω), β _m+1 ∈ E ^0,1 ( ¯ Ω). Quindi:

(1.5.7) ∂ ¯

m+1 X

h=0

f _h ρ ^h

!

= ρ ^m+1 (m + 1) ¯ ∂f _m+1 + β _m+1

| {z }

=α

.

La serie f ^∗ = P ∞

h=0 ρ ^h f _h `e una soluzione formale del sistema di Cauchy- Riemann ¯ ∂f ^∗ = 0 su ∂Ω. Sia g ∈ E(¯ Ω) una funzione di classe C ^∞ tale che ³ g − P _m

h=0 f _h ρ ^h = o(ρ ^m ) per ogni intero positivo m. Avremo allora g = f su

∂Ω e ¯ ∂g = 0 ^∞ su ∂Ω.

In particolare

(1.5.8) η =

( ∂g ¯ su ¯ Ω 0 su ∁Ω

`e una forma in D <sup>0,1</sup> ( C <sup>n</sup> ), che soddisfa le condizioni di integrabilit` a ¯ ∂η = 0.

Per la (1.3.22) esiste una funzione u ∈ D ^0,0 ( C ⁿ ) per cui η = ¯ ∂u su C ⁿ . In particolare u `e olomorfa su ∁Ω e si annulla fuori da un compatto. Per l’ipotesi che ∁Ω non avesse componenti connesse limitate, e per il teorema di continuazione unica, ne segue che supp(u) ⊂ ¯ Ω. Quindi g(z) − u(z) = f `e olomorfa ed uguale ad f su ∂Ω. Chiaramente l’estensione ˜ ˜ f di f `e univocamente determinata per il principio di massimo.  Osservazione I.5.3. Possiamo riformulare e dimostrare il teorema sotto ipotesi di regolarit` a meno restrittive su ∂Ω e su f . Basterebbe supporre, ad esempio, la regolarit` a di classe C ⁴ della frontiera e della funzione.

6. Il Lemma di Dolbeault In questo paragrafo dimostriamo il:

3 La g pu` o essere costruita nel modo seguente. Fissiamo una funzione χ ∈ C

( R, R) con χ(t) = 1 se t > −(1/2) e χ(t) = 0 se t < −1. Allora, pur di scegliere una successione {r

} con r

ր +∞ in modo sufficientemente rapido, la serie:

g(z) =

∞

X

h=0

f

(z)χ(r

ρ(z))ρ

(z)

converge con tutte le derivate sui compatti di ¯ Ω e definisce quindi una funzione su ¯ Ω che

soddisfa tutte le condizioni richieste.

24 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

Teorema I.6.1 (Lemma di Dolbeault). Sia D = D ₁ × · · · × D n un polidisco di C ⁿ . Allora :

H ^p,q _¯

∂ (D) = 0 ∀0 ≤ p ≤ n , ∀q ≥ 1 . (1.6.1)

Dimostrazione. ` E sufficiente dimostrare la (1.6.1) nel caso p = 0.

Osserviamo ancora che per il Teorema I.3.3 la tesi vale nel caso q = n.

Supporremo quindi nel seguito che p = 0 e 1 ≤ q < n.

Cominceremo con il dimostrare che,

[ ∗] se q ≥ 1, α ∈ E ^0,q (D) e ¯ ∂α = 0, allora per ogni polidisco D ^′ ⋐ D possiamo trovare una β ^′ ∈ E ^0,q−1 (D ^′ ) tale che ¯ ∂β ^′ = α su D ^′ .

Indichiamo con E ^q;k (D), per 0 ≤ k ≤ n, il sottospazio vettoriale delle α ∈ E ^0,q (D) che sono indipendenti da d¯ z j per j > k, che cio`e si possono scrivere nella forma:

(1.6.2) α = X

1≤j

<···<j

≤k

α _j

_,...,j

d¯ z _j

∧ · · · ∧ d¯z j

con α _j

_,...,j

∈ E ^0,0 (D).

Dimostreremo, per induzione su k, che, (P _r )

( se α ∈ E ^q;k (D) e ¯ ∂α = 0, allora per ogni polidisco D ^′ ⋐ D esiste una β ∈ E ^0,q−1 (D ^′ ) per cui ¯ ∂β = α su D ^′ .

Il caso k = 0 `e banale, in quanto E <sup>q;0</sup> (D) = 0 se q ≥ 1. Il caso k = n `e la tesi, perch´e E ^q;n (D) = E ^0,q (D). Supponiamo quindi che, per un k con 0 ≤ k < n, la (P r ) sia valida per ogni h ≥ 1 ed ogni coppia di polidischi D ^′ ⋐ D. Osserviamo ancora che, se α `e data dalla (1.6.2) e ¯ ∂α = 0, avremo : (1.6.3) ∂α _j

_,...,j

∂ ¯ z _h = 0 ∀1 ≤ j 1 < · · · < j q ≤ k ed h > k . Fissiamo α ∈ E ^q;k+1 (D) che soddisfi ¯ ∂α = 0. Scriviamo α nella forma :

α = α ₀ + d¯ z _k+1 ∧ α 1 con α ₀ ∈ E ^q;k (D) , α ₁ ∈ E ^q−1;k (D) .

Possiamo supporre per semplicit`a che il polidisco D abbia centro 0 e che in particolare D _k+1 = {t ∈ C | |t| < R}. Se 0 < r < R, fissiamo una funzione reale ⁴ χ _r , di classe C ^∞ su C, che valga 1 in un intorno di {t ∈ C | |t| ≤ r} e sia uguale a 0 in un intorno di {t ∈ C | |t| ≤ R}.

4 Per costruire una tale χ

, possiamo osservare che la funzione reale di una variabile reale τ :

ψ(τ ) = R

max{−1,min{τ,1}}

e

ds R

−1

e

ds

`e definita e continua con tutte le sue derivate su R, `e uguale a 1 se τ ≤ −1 ed uguale a 0 se τ ≥ 1. Possiamo quindi ad esempio scegliere :

χ

(t) = ψ „ 2|t|

− R

− r

2(R

− r

)

«

per t ∈ C.

6. IL LEMMA DI DOLBEAULT 25

Poniamo quindi :

u r (z 1 , . . . , z _k+1 , . . . , z n ) = 1 2πi

Z

C

χ r (ζ)α 1 (z 1 , . . . , z _k , t, z _k+2 , . . . , z n ) t − z k+1

d t ∧ d ¯t

Otteniamo allora, per la Proposizione XIII.2.10, che la restrizione di α − ¯ ∂u r

al polidisco D ∩ {|z k+1 | < r} `e una forma in E <sup>q,r+1</sup> (D ∩ {|z k+1 | < r}). Se D <sup>′</sup> `e un polidisco con D ^′ ⋐ D, avremo D ^′ ⋐ D ^′′ = (D ∩ {|z k+1 | < r}) pur di scegliere r < R abbastanza vicino ad R. Applicando l’ipotesi induttiva alla restrizione di α − ¯ ∂u _r , potremo trovare β ^′ ∈ E ^0,q−1 (D ^′ ) tale che α − ¯ ∂u _r = ¯ ∂β ^′ in D ^′ e quindi β = β ^′ + u _r `e una forma in E ^0,q−1 per cui ¯ ∂β = α su D ^′ . Questo completa la dimostrazione della (P _k+1 ), e quindi di [ ∗].

Osserviamo che, dati due aperti Ω ₁ ⋐ Ω ₂ di C ⁿ ed una forma η ∈ E ^p,q (Ω ₂ ), `e sempre possibile trovare una forma ˜ η ∈ E ^p,q ( C ⁿ ) con ˜ η = η su Ω 1 . Basta infatti, ad esempio, fissare una funzione φ di classe C ^∞ , a supporto compatto in Ω ₂ ed uguale ad 1 in un intorno di ¯ Ω ₁ , e definire ˜ η uguale a φ · η su Ω 2 e uguale a 0 fuori di Ω ₂ . Potremo quindi enunciare diversamente il risultato appena dimostrato, dicendo che :

[ ∗∗] Se α ∈ E ^0,q (D), con q ≥ 1, `e una forma ¯ ∂-chiusa su un polidisco D ⊂ C <sup>n</sup> e D <sup>′</sup> ` e un polidisco relativamente compatto in D, allora esiste una β ∈ E ^0,q−1 ( C ⁿ ) tale che ¯ ∂β = α in D ^′ .

Nel completare la dimostrazione di (1.6.1), discuteremo separatamente i casi q = 1 e q > 1.

Supponiamo dapprima che q > 1. Sia {D (ν) | ν ∈ N} una successione di policilindri con D _(ν) ⋐ D _(ν+1) e D = S

D _(ν) . Fissiamo α ∈ E ^0,q (D) con

∂α = 0. ¯

Dico che `e possibile determinare una successione {β ν } ⊂ E ^0,q−1 ( C ⁿ ) con:

∂β ¯ _ν = α su D _ν (i)

β _ν+1 = β _ν su D _ν−1 . (ii)

Per [ ∗∗] esiste infatti β 0 ∈ E ^0,q−1 ( C ⁿ ) tale che ¯ ∂β 0 = α su D ₍₀₎ . Sup- poniamo per ricorrenza di aver costruito β _ν per ν ≤ m ∈ N, e sia γ ∈ E ^0,q−1 ( C ⁿ ) una soluzione di ¯ ∂γ = α su D _(m+1) . Allora la restrizione a D _(m) della differenza β _m − γ `e una forma ¯ ∂-chiusa in E ^0,q−1 (D _(m) ) e, poich´e (q −1) ≥ 1, per la [∗∗] possiamo trovare η ∈ E ^0,q−2 ( C ⁿ ) tale che β _m −γ = ¯ ∂η su D _(m−1) . Possiamo quindi definire β _m+1 = γ + ¯ ∂η, e le condizioni (i) e (ii) sono allora soddisfatte. Utilizzando la successione {β ν }, definiamo una soluzione β ∈ E ^0,q−1 (D) di ¯ ∂β = α ponendo β = β _ν+1 su D _(ν) .

Consideriamo ora il caso q = 1. Sia α ∈ E ^0,1 (D) una (0, 1) forma con

∂α = 0. Sia ¯ {D (ν) | ν ∈ N} una successione di policilindri con D (ν) ⋐ D _(ν+1) e D = S

D _(ν) . Dico che, in questo caso, posso costruire una successione di

26 1. FUNZIONI OLOMORFE IN C

E COMPLESSO DI DOLBEAULT

funzioni {u ν } ⊂ E(C ⁿ ) tali che :

∂u ¯ _ν = α su D _ν (a)

|u ν (z) − u ν−1 (z) | < 2 ^−ν ∀z ∈ D ν−2 . (b)

Per la [ ∗∗], possiamo trovare una u 0 ∈ E(C ⁿ ) tale che ¯ ∂u ₀ = α su D ₍₀₎ . Supponiamo per ricorrenza di aver gi` a costruito u _ν , per ν ≤ m, in modo che le (a) e (b) siano verificate per tutti i ν ≤ m. Per la [∗∗], possiamo trovare una u ∈ E(C ⁿ ) che verifica ¯ ∂u = α su D _(m+1) . La differenza u _m − u soddisfa allora ¯ ∂(u _m − u) = 0 su D (m) e quindi definisce una funzione olomorfa su D _(m) . Poich´e, per la Proposizione I.2.3, la serie di Taylor di u _m − u con centro nel centro del polidisco D _(m) converge uniformemente a u _m − u su ogni compatto di D _(m) , possiamo trovare un polinomio olomorfo g(z) ∈ C[z 1 , . . . , z n ], tale che sup _{z∈ ¯ D}

|u m (z) − u(z)− g(z)| < 2 ^−m . Allora le (a) e (b) sono verificate per ν ≤ m + 1 se definiamo u m+1 = u + g.

Poniamo :

u ^′ _ν (z) = u _ν+1 (z) + X ∞ j=ν+1

(u _j+1 − u j ) su D _(ν) .

La serie a secondo membro converge uniformemente a una funzione olomorfa su D ν per la (b). Quindi il secondo membro `e ben definito e soddisfa ¯ ∂u <sup>′</sup> <sub>ν</sub> = α su D <sub>(ν)</sub> . ` E poi u ^′ _ν = u ^′ _ν

su D _(ν

₎ se ν ^′′ < ν, ν ^′ . Possiamo perci` o definire una soluzione u ∈ E(D) di ¯ ∂u = α ponendo u = u <sup>′</sup> <sub>ν</sub> su D <sub>(ν)</sub> . La dimostrazione `e

completa. 

7. Un teorema di H.B. Laufer

Per studiare i gruppi di coomologia del complesso di Dolbeault si utiliz- zano spesso metodi di analisi funzionale, che forniscono informazioni sulla finitezza della loro dimensione come spazi vettoriali complessi. Risulta al- lora utile l’elegante risultato di H.B. Laufer ⁵ per il caso degli aperti di C ⁿ , che dimostriamo in questo paragrafo.

Teorema I.7.1. Sia Ω un aperto di C ⁿ e siano p, q interi con 0 ≤ p, q ≤ n. Allora il gruppo di coomologia di Dolbeault H ^p,q _{∂ ¯} (Ω) o `e nullo, o `e uno spazio vettoriale complesso di dimensione infinita. Analogamente, anche il gruppo di coomologia di Dolbeault a supporti compatti H ^p,q _{comp, ¯ ∂} (Ω) o `e nullo, o `e uno spazio vettoriale complesso di dimensione infinita.

5 Henry B. Laufer: On the infinite dimensionality of the Dolbeault cohomology groups.

Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), pp.293-296.

7. UN TEOREMA DI H.B. LAUFER 27

Dimostrazione. Osserviamo che, se f ∈ O(Ω), abbiamo un diagram- ma commutativo

(1.7.1)

E ^p,q−1 (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q} (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q+1} (Ω)

f ·

 

y ^{f ·}

 

y ^{f ·}

  y E ^p,q−1 (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q} (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q+1} (Ω) e pi` u in generale, se P (z, D _z ) = P

|α|≤m a _α (z)∂ ₁ ^α

· · · ∂ n ^α

, con ∂ _i = ∂/∂z _i , a _α ∈ O(Ω), `e un operatore differenziale a coefficienti olomorfi in Ω, ottenia- mo un diagramma commutativo

(1.7.2)

E ^p,q−1 (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q} (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q+1} (Ω)

P (z,D

)

 

y ^{P (z,D}

⁾

 

y ^{P (z,D}

⁾

  y E ^p,q−1 (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q} (Ω) −−−−→ E ^{∂ ¯ p,q+1} (Ω),

ove intendiamo che l’operatore differenziale si applichi a ciascuna compo- nente delle forme.

Ne segue che i gruppi di coomologia H ^p,q _{∂ ¯} (Ω) sono moduli a sinistra sia rispetto all’anello O(Ω) delle funzioni olomorfe su Ω, sia rispetto all’anello O(Ω)[∂ 1 , . . . , ∂ _n ] degli operatori differenziali olomorfi su Ω.

Supponiamo ora che, per interi p, q fissati con 0 ≤ p, q ≤ n il gruppo di coomologia H ^p,q _{∂ ¯} (Ω) sia uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita.

Abbiamo allora q ≥ 1, perch´e gli spazi delle funzioni e delle forme olomorfe su Ω, come spazi vettoriali complessi, hanno dimensione infinita.

Consideriamo H ^p,q _¯

∂ (Ω) come un C[z 1 ]-modulo per restrizione dell’anel- lo O(Ω) dei coefficienti. Supponiamo per assurdo che H ^p,q ∂ ¯ (Ω) abbia di- mensione complessa d > 0 e sia ξ 1 , . . . , ξ _d una sua base su C. Poich´e ξ _j , z ₁ ξ _j , z ₁ ² ξ _j , ..., z ₁ ^m ξ _j , ... essendo una successione con infiniti termini `e li- nearmente dipendente, esister`a per ogni j = 1, . . . , d, un polinomio non nullo p _j (z ₁ ) ∈ C[z 1 ] tale che p _j (z ₁ )ξ _j = 0. Il prodotto p ₁ (z ₁ ) · · · p d (z ₁ ) an- nuller` a allora tutti gli elementi di H ^p,q _¯

∂ (Ω). Dunque l’ideale I dei polinomi di C[z 1 ] che annullano tutti gli elementi di H ^p,q _{∂ ¯} (Ω) `e non banale. Poich´e C[z 1 ]

`e un anello a ideali principali, sar` a I = (p(z 1 )) per un polinomio monico p(z ₁ ) di grado positivo. Sia ora f ∈ E ^p,q (Ω) con ¯ ∂f = 0 e consideriamo il prodotto p ^′ (z 1 )f . Risulta

p ^′ (z ₁ )f = ∂ ₁ (p(z ₁ )f ) − p(z 1 )∂ ₁ f in Ω.

Poich´e anche ¯ ∂(∂ ₁ f ) = 0, sia p(z ₁ )f che p(z ₁ )∂ ₁ f sono coomologhi a zero in H ^p,q _{∂ ¯} (Ω). Esisteranno cio`e u, v ∈ E ^p,q−1 tali che

∂u = p(z ¯ ₁ )f, ∂v = p(z ¯ ₁ )∂ ₁ f in Ω.

Allora

p ^′ (z 1 )f = ¯ ∂(∂ 1 u − v) in Ω.