7.3.1 Fasci di coniche
Sia Cλ =x2+ 2λxy + (1 − λ)y2+ 2x − 2λy + 1 − λ = 0; λ ∈ R un facio di coniche; la sua matrice associata è M = 1 λ 1 λ 1 − λ −λ 1 −λ 1 − λ
Perché Cλsia non degenere deve essere rnk M = 3, da cui si ricava λ 6= 0, λ 6= 3±
√ 13 2 , λ 6=−1± √ 5 2 ; consideriamo adesso A: det A = 0 ⇔ 1 − λ − λ2 = 0 e quindi se la conica è non degenere rnk A = 2; se rnk M = 3, usando l’insieme di invarianti {det M, det A, tr A}, Cλ è un’iperbole per λ <−1− √ 5 2 e λ > −1+ √ 5 2 , un’ellisse per λ ∈ −3− √ 13 2 , 0 e il vuoto per λ ∈ −1−√5 2 , −3− √ 13 2 e λ ∈ 0, −1+ √ 5 2 .
Troviamo ora il luogo dei centri: x + λy = −1 λx + (1 − λ)y = λ ⇐⇒ ( λ = −x+1 y −x(x+1)y +y(y+x+1)y +x+1y = 0 ⇐⇒ −x2+ yx + y2+ y − 1 = 0 quindi anche il centro è a sua volta una conica e più precisamente un’iperbole.
Un fascio completo di coniche si può scrivere come µ(x2− y2+ 2x + 1) + λ(y2+ 2xy − 2y − 1) = 0, con µ, λ ∈R o meglio anche come µ0C1+ λ0C2 = 0, con µ0, λ0 ∈ R e C1, C2 coniche degeneri (che sono più semplici da scrivere).
§ 7.3 | Complementi 53
Per esempio, per determinare tutte le coniche (e quindi un fascio) passanti per 4 punti basta prendere due coppie di rette parallele (cioè due coniche de-generi) e moltiplicarle per λ e µ. Il fascio µx(x − 1) + λy(y − 1) = 0 descrive tutte e sole le coniche passanti per i quattro punti in figura.
(0, 1) (1, 1) (1, 0) (0, 0)
P si dice punto base del fascio se tutte le coniche del fascio passano per P . Per trovare i punti base di un fascio, basta trovare i punti d’intersezione di due coniche qualunque (meglio se degeneri) appartenenti al fascio.
7.3.2 Completamento a quadrato
Una tecnica molto utile e veloce per riconoscere il tipo di una conica è quella di completare a quadrato l’equazione della conica. Facciamo un esempio: sia C = x2+ 4xy + y2+ 2x − 2y + 3 l’equazione di una conica; il termine 4xy è un ottimo candidato ad essere un doppio prodotto, ma poiché sono presenti anche termini in x e y è bene cercare di tirare fuori il quadrato di un trinomio del tipo αx + βy + γ; se riscriviamo C come (x2+ 4xy + 4y2+ 2x + 4y + 1) − 3y2− 6y − 2 otteniamo (x + 2y + 1)2− 3(y2+ 2y − 2/3) = (x + 2y + 1)2− 3(y + 1)2+ 5; infine, effettuando il cambio di variabili X = x + 2y + 1 e Y = y + 1, otteniamo C = X2− 3Y2+ 5 che è chiaramente l’equazione di un’iperbole.
7.3.3 Rette tangenti e assi delle coniche
Data una conica C di equazione f (x, y) = 0, consideriamo il punto P = (x0, y0) ∈ C: la retta tangente a C in P è ∂f∂x(x0, y0)(x − x0) +∂f∂y(x0, y0)(y − y0) = 0. Infatti, poiché la retta tangente alla curva in P dev’essere ortogonale al gradiente della curva in P , si ha, posto #«v = (x−x0, y−y0) un vettore passante per P e per la conica, < #«
∇f, v >= 0.
Il gradiente dell’equazione di una conica si rivela molto utile anche nel caso si debba trovare il vertice di una parabola: sapendo la direzione dell’asse, basta controllare quando il gradiente diventa parallelo all’asse: quel punto sarà il vertice.
Poniamoci ora il problema di trovare gli assi di una conica: dal corso di Geometria I sappiamo che diagonalizzare una matrice significa trovare un cambiamento di base in cui la matrice è nella forma più semplice possibile. Se consideriamo la sottomatrice A di una conica, possiamo cercare di diagonalizzarla, ma poiché A si comporta anche come un prodotto scalare, possiamo conside-rarla a tutti gli effetti come un prodotto scalare e quindi possiamo applicare il teorema spettrale ad essa: esisterà quindi una matrice D tale che A0 = tDAD sarà diagonale; D in particolare appartiene al gruppo ortogonale e quindi, poiché è invertibile, rappresenta la trasformazione affine D 0
0 1; possiamo quindi dire di aver trasformato la conica originaria in un’altra ad essa affinemente equivalente, ma anche di aver effettuato un cambio di base in cui gli assi della conica sono stati ruotati fino a farli coincidere con l’asse x e l’asse y.
Potevamo giungere allo stesso risultato cercando una matrice D che semplicemente diagonaliz-zasse A, senza imporre che questa appartenesse a O(2), ma in questo caso non avremmo potuto applicare l’equivalenza affine fra la conica originaria e quella ottenuta, perché le leggi di trasfor-mazione della similitudine e dell’equivalenza affine sono diverse: per la prima vale A0= D−1AD, mentre per la seconda vale A0=tDAD; possiamo però cercare una classe di matrici D che dia-gonalizzi A e che contemporaneamente abbiatD = D−1 e queste matrici sono proprio quelle che stanno nel gruppo ortogonale.
Dopo che A è stata diagonalizzata, i suoi assi hanno la stessa direzione dei vettori della base canonica mentre verso e modulo sono stabiliti dagli autovettori di A: gli assi di una conica sono dunque le rette passanti per il centro della conica e di direzione gli autovettori (vedi paragrafo successivo).
Nel caso della parabola la direzione dell’asse è data dalla direzione del nucleo (poiché rnk A = 1, dim Ker(A) = 1).
54 Quadriche | cap. 7
7.3.4 Trasformazione di un’ellisse in una circonferenza
Consideriamo l’ellisse di equazione 25x2 + 5y2+ 22xy − 28x − 12y + 4 = 0 e la sua matrice associata M = 25 11 −14 11 5 −6 −14 −6 4
Per prima cosa cerchiamo il centro: 25 11 11 5 x y = 14 6 da cui C = 1 −1 e otteniamo quindi la matrice di traslazione T = 1 0 1 0 1 −1 0 0 1 Effettuiamo la traslazione MT =tT M T MT = 25 11 0 11 5 0 0 0 −4
Adesso cerchiamo gli autovettori: per prima cosa calcoliamo il polinomio minimo di A = 25 11 11 5: PA(x) = x2− 30 x + 4 le cui soluzioni sono λ1= 15 +√
221 e λ2= 15 −√ 221. Calcoliamo il primo autovettore: Ker A − λ1I2 = Spanv1 = 10+√
221 11
; facciamo la stessa cosa per il secondo autovettore e troviamo: v2= 10−√
221 11 .
v1 e v2 sono le direzioni degli assi di simmetria dell’ellisse traslata nel centro; troviamo quindi l’inclinazione dell’ellisse α = arctan 11
10+√ 221
.
Adesso possiamo costruire la matrice di rotazione che diagonalizzerà la conica (cioè ruoterà gli assi di simmetria fino a farli coincidere con gli assi cartesiani):
R = cos α − sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1
Adesso non ci resta che variare la lunghezza degli assi; per prima cosa ricaviamo l’intersezione con l’asse delle x (x0) e delle y (y0) dalla nuova equazione della conica ottenuta dopo la rotazione; poi costruiamo la matrice di dilatazione
D = x0 ρ 0 0 0 y0 ρ 0 0 0 1
dove ρ è la lunghezza del raggio della circonferenza che vogliamo ottenere. La matrice di trasformazione dell’ellisse nella circonferenza sarà quindi data da
P =
R0D0 C 0 0 1
Appendice A
Versioni
• Versione 1.0: terminata la prima stesura degli appunti il 15/10/2007.
• Versione 1.1: eliminate alcune note superflue, chiariti alcuni punti, corretti alcuni errori di battitura il 15/10/2007
• Versione 2.0: inserita e “pareggiata” graficamente la prima parte di appunti scritta da Elia; lavoro finito il 19/10/2007
• Versione 3.0: inserita la terza parte e riunificato l’aspetto grafico il 25/10/2007