2.1 La logica fuzzy
2.1.2 Concetti principali
2.1.2.1 Gli insiemi fuzzy e le funzioni d'appartenenza
Sia la teoria classica degli insiemi (insiemi crisp), che la teoria degli insiemi fuzzy (Figura 9) concepiscono l'insieme come un aggregato di elementi che soddisfano una o più proprietà.
Figura 9. Rappresentazione schematica delle due tipologie di insieme. A sinistra due insiemi crisp intersecati, mentre a destra due diversi tipi di insieme fuzzy.
Le due teorie si distinguono per le modalità con le quali gli elementi si legano all'insieme stesso. Nel caso della teoria classica si fa riferimento alla logica booleana e si può quindi distinguere nettamente chi appartiene ad un insieme da chi invece non ne fa parte, mentre per la logica fuzzy si considerano insiemi dai confini incerti (sfocati) che ammettono l'appartenenza o meno di un elemento all'insieme stesso in misure variabili (Figura.9).
L'insieme fuzzy che per primo fu preso come esempio da Zadeh fu l'insieme degli uomini alti, definiti da una curva di valori fit47, successivamente definita come curva d'appartenenza. Questa curva, per ogni livello d'altezza, fornisce la misura dell'appartenenza e della non appartenenza all'insieme degli uomini alti. Tracciando le due curve alto/non alto si nota come queste vadano ad intersecarsi nel valore fit del punto medio dove alto = non alto.
In questa ottica deve essere definito il concetto di funzione d'appartenenza, ossia il grado con il quale un elemento appartiene o meno ad un insieme, poiché costituisce il principale parametro di distinzione tra gli insiemi crisp e i fuzzy. Nei primi la funzione d'appartenenza può assumere solo due valori, 1 nel caso in cui l'elemento soddisfi determinate proprietà e 0
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La parola "fit" significa fuzzy unit, così come i bit sono la forma contratta di binary unit. Un bit però può assumere solo il valore di 0 o 1, mentre un fit può assumere infiniti valori compresi nell'intervallo tra 0 e 1.
52 nel caso non le soddisfi, per gli insiemi fuzzy, invece, può assumere infiniti valori compresi tra 0 e 1. Il grado d'appartenenza dell'elemento all'insieme sarà il valore assunto dalla funzione d'appartenenza.
Un insieme fuzzy A nell'universo U può essere definito come l'insieme di coppie ordinate di un generico elemento x e del proprio grado d'appartenenza µA all'insieme A. In molti casi µA(x) viene scritto come A(x).
A = {(x , µA (x)) | x ∈X, (x)∈[0,1]} Esempio "Età":
Come facciamo a stabilire in maniera netta e precisa quando una persona può essere definita come giovane, di età media o anziana?
Rispondere in maniera univoca risulta molto difficile, quindi diventa importante poter stabilire "quanto" una persona sia in possesso di determinati requisiti (nel nostro caso l'età), per appartenere ai diversi insiemi, in modo da dare agli elementi un grado d'appartenenza non necessariamente booleano.
Figura 10. Funzioni d'appartenenza per l'esempio relativo alla classificazione delle età.
È possibile vedere dall'esempio sopra riportato (Figura 10) come una persona di 50 anni possa essere vista contemporaneamente come giovane, di età media oppure vecchia a seconda delle interpretazioni individuali. Seguendo le funzioni d'appartenenza definite in partenza possiamo dire che un cinquantenne apparterrà all'insieme dei giovani con un grado di appartenenza µ di
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A p p ar te n e n za µ Età Giovane Medio Vecchio
53 0.2, alle persone di età media con un valore µ di 1 e all'insieme delle persone vecchie con un valore di 0.2.
Il grado d'appartenenza non è il frutto di leggi matematiche o fisiche, ma una rappresentazione sintetica della percezione soggettiva e sfumata di chi (singolo o gruppo) ha il compito di definirlo.
È importante non confondere il grado d'appartenenza con il concetto di probabilità poiché la probabilità è il rapporto tra il numero dei casi in cui l'evento può verificarsi e il numero dei casi possibili, mentre il grado d'appartenenza µ è una rappresentazione di quanto un oggetto sia assimilabile ad una classe definita in modo vago con il linguaggio naturale.
2.1.2.2 Definizioni
Insieme fuzzy normalizzato: un insieme fuzzy si dice normalizzato se al suo interno esiste almeno un elemento con un valore d'appartenenza A(x)=1.
Fuzzy singleton: un insieme per il quale esiste un solo elemento con valore d'appartenenza A(x)>0.
α-cut: dato un insieme fuzzy A ed una costante 0≤α≤1, l'insieme α-cut ( ) definisce un sottoinsieme di A che racchiude tutti gli elementi che hanno grado di appartenenza ad A≥α (Figura 11).
A α = {x | A (x) ≥ α }
Prendendo l'esempio in Figura 10 e riferendoci all'insieme delle persone vecchie, scegliere un α-cut significa prendere in considerazione solo il sottoinsieme di persone con età maggiore o uguale a 80 anni.
Supporto: insieme di tutti gli elementi con un grado d'appartenenza A(x)≥0 (Figura 11)
S = {x | A (x) ≥0}
54 N = {x | A (x) =1}
2.1.2.3 Operazioni sugli insiemi fuzzy
Definire i concetti di complemento, intersezione e unione è importante per ridefinire gli operatori logici di negazione (NOT), congiunzione (AND) e disgiunzione (OR) in modo da poter fornire risultati coerenti con il loro significato anche per operandi con valori non booleani, ma reali.
Complemento: si definisce complemento di un insieme fuzzy A, l'insieme fuzzy Ā (Figura 12) caratterizzato dalla seguente funzione d'appartenenza
(x) = 1- (x)
Figura 12. Complemento.
55 T-norme
In generale (AB)(x) = T[A(x),B(x)] con T = norma triangolare (t-norma) ossia una funzione T:[0,1]*[0,1][0,1] tale che:
1. T(a,1) = a ∀ a∈[0,1]
2. T(a,b) ≤ T(u,v) se a ≤ u, b ≤ v monotonicità 3. T(a,b) = T(b,a) commutatività 4. T(T(a,b),c) = T(a,T(b,c)) associatività
In particolare alcuni possibile modi per ricavare l'intersezione sono:
Intersezione standard min[A(x), B(x)]
Prodotto algebrico A(x)*B(x)
Bounded difference max[A(x)+B(x)-1,0]
S-norme
In generale (AB)(x) = S[A(x),B(x)] con S = conorma triangolare (t-conorma) ossia una funzione S:[0,1]*[0,1][0,1] definita da S(a,b)=1-T(1-a, 1-b) ∀ a,b ∈[0,1]
Una t-conorma soddisfa le seguenti proprietà :
1. S(a,0) = a 2. Monotonicità 3. Commutatività 4. Associatività
Le tre t-conorme corrispondenti a intersezione standard, prodotto algebrico e bounded difference sono:
max[A(x), B(x)]
A(x)+B(x)-A(x)B(x)
56 Unione attraverso l'operatore (max):si definisce unione tra due insiemi fuzzy A e B (Figura 13), e si indica con A∪B un insieme fuzzy C la cui funzione d'appartenenza sia data da
(x) = max[ (x), (x)] ∀x∈X
Figura 13. Insiemi A e B e loro unione.
Intersezione attraverso l'operatore (min): si definisce intersezione tra due insiemi fuzzy A e B (Figura 14), e si indica con A∩Bun terzo insieme fuzzy C con funzione d'appartenenza
(x) = min[ (x), (x)] ∀x∈X
Figura 14. Insiemi A e B e loro intersezione.
Gli operatori logici descritti sopra non soddisfano inoltre alcune proprietà della logica classica, ossia la legge del terzo escluso (AĀ =) e il principio di contraddizione (AĀ)= X, quindi nella logica fuzzy AĀ≠ e AĀ≠X.
In logica fuzzy sono inoltre stati definiti tutti gli altri elementi della logica, quali quantificatori, modificatori e meccanismi inferenziali.
57 I modificatori, hanno il ruolo di modificare il valore di verità di una proposizione e, in logica fuzzy, possono essere, in linea di principio, infiniti, mentre in logica booleana si ha la sola negazione, dato che la modifica di un valore booleano (per esempio, “vero”) può solo essere il suo opposto ("falso"). Per esempio, “molto” è un modificatore che deforma la funzione di appartenenza. I quantificatori, che in logica classica sono il quantificatore esistenziale (esiste un x tale che...) e il quantificatore universale (per ogni x ...) in logica fuzzy possono essere infiniti, come ad esempio: “Esistono molti x tali che...”, “Per quasi tutti gli x...”, “Per qualche x...”. In queste frasi, tutti i termini (“molti”, “quasi tutti”, “qualche”) possono essere definiti da altrettanti insiemi fuzzy che ne rappresentano il significato in maniera ben definita. Anche i meccanismi inferenziali sono stati fuzzyficati, (ad es. fuzzy modus pones48) introducendone le versioni valide per una logica con valori di verità continui (Bonarini. A 2003).