L’obiettivo della tesi è stato quello di indagare le origini del quadro fessurativo del salone di Palazzo Magio Grasselli. Vista inoltre la particolare tipologia di volta presente, si è approfondito il suo comportamento in presenza e in assenza dei rinforzi presenti, ossia degli otto frenelli costruiti in corrispondenza delle imposte di ogni arcata e delle due catene poste in direzione longitudinale e immerse nella parte centrale della volta.
Per lo studio del salone si è realizzato un modello a elementi finiti tridimensionali per eseguire l’analisi strutturale e determinare il comportamento statico della struttura. I risultati ottenuti sono compatibili con lo stato di fatto, pertanto si è dimostrata la correttezza e l’efficacia della modellazione eseguita.
Il comportamento statico delle strutture risulta sufficiente a spiegare la presenza della maggior parte delle fessure della volta, mentre per le lesioni della muratura delle pareti perimetrali è determinante la componente di variazione termica dovuta all’utilizzo dei camini presenti. Si consiglia per eventuali opere di restauro di intervenire in primo luogo sulle pareti perimetrali, cercando di migliorarne l’ammorsamento, soprattutto in corrispondenza dell’intersezione tra le murature che delimitano il salone a ovest (parete destra) e a sud (lato corridoio). Dato che le canne fumarie non sono più in uso, si può escludere un’ulteriore progressione della fessurazione di natura termica nelle pareti. Si ritiene che gli interventi di rinforzo della volta siano meno significativi per il comportamento statico rispetto ai precedenti.
Per quanto riguarda l’importanza della presenza dei rinforzi per questa particolare tipologia di volta, è stato analizzato come la struttura si comporterebbe in loro assenza, eliminando i frenelli e le catene dal modello di calcolo a elementi finiti utilizzato in precedenza.
Dal confronto dei risultati ottenuti si evince che in questo caso non ci sono particolari variazioni nel quadro fessurativo, dimostrando che la struttura risulta in grado di sopportare
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CONCLUSIONI
autonomamente i carichi a cui è assoggettata. I rinforzi tuttavia danno un contributo benefico, migliorando lo stato tensionale della struttura e incrementandone la resistenza. Questo aspetto rende la costruzione più sicura garantendone un miglior comportamento nel caso di eventi eccezionali.
Riferimenti bibliografici
[1] ABAQUS, Theory Manual, Version 6.13, Dassault Systèmes Simulia Corp., Providence, Rhode Island, USA, 2013.
[2] Brumana R., Condoleo P., Grimoldi A., Landi A. G. “Le volte a padiglione: forme analoghe, diverse apparecchiature varianti in un unico edificio tra XVII e XVIII secolo”, 2017.
[3] Cantalupi A., “Raccolta di tavole, formole e istruzioni pratiche per l’ingegnere architetto e pel meccanico”, Tip. Domenico Salvi e Comp., Milano, 1867
[4] Durand J.N.L., “Précis Des Leçons D'Architecture Données à L'Ecole Royale Polytechnique”, Parigi, 1809, Getty Research Institute, Los Angeles, 2000
[5] Dusi A., “Relazione tecnica con calcoli esecutivi delle strutture” redatta per il Comune di Cremona, 2008
[6] Ghiassi B., Milani G., “Numerical Modelling of Masonry and Historical Structures: From Theory to Application”, Woodhead Publishing, 2019.
[7] Grimoldi A., Valisi L., “Palazzo Magio Grasselli – Cremona indagini termografiche”, Dipartimento di architettura e pianificazione, Laboratorio di analisi e diagnostica del costruito, Politecnico di Milano 2010 e 2015
[8] Heyman J., “The Stone Skeleton: Structural Engineering of Masonry Architecture”, Cambridge University Press, 1997.
[9] Landi A., " Patrizi, notabili, costruzione della città. Fabbrica e tutela di palazzo Magio Grasselli in Cremona”, Umberto Allemandi & C., Torino, 2011
[10] Monni F., “I solai negli edifici a struttura muraria”, Università Politecnica delle Marche, Dipartimento di Architettura, Costruzioni e Strutture, Dicembre 2010 [11] Ietto B., “Le coperture spingenti: le coperture in legno in zona sismica sono una
grande cosa purché fatte con criterio”, Ingegneria e dintorni, 2017, http://www.ingegneriaedintorni.com/2017/03/le-coperture-spingenti.html Data visita: gennaio 2020
[12] Ottoni F., “Costolone (costruzioni)”, Tecnoring Il portale delle professioni tecniche, https://www.teknoring.com/wikitecnica/costruzioni/costolone-costruzioni/ Data visita: Novembre 2019
[13] Rondelet J. B., Trattato teorico e pratico dell’arte di edificare, a cura di Soresina B., Tomo II, seconda parte, Tomo III, Editrice coi tipi di Caranenti L., Mantova 1832.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
[14] Taliercio A., “Closed-form expression for the macroscopic in-plane elastic and creep coefficients of brick masonry”, International Journal of Solids and Structures, 2014 [15] Tomasoni E., “Analisi, verifiche e consolidamento strutturale di archi e volte. Manuale per la valutazione della sicurezza e per la progettazione degli interventi”, Dario Flaccovio Editore, Palermo, 2015
[16] Tomasoni E., “Le volte in muratura negli edifici storici: Tecniche costruttive e comportamento strutturale”, dissertazione per il conseguimento del titolo di Dottore di Ricerca in Ingegneria delle Strutture, Università degli studi di Trento, 2008 [17] Van der Pluijm R., “Shear behaviour of bed joints”, 6th North American Masonry
Conference, 6-9 June 1993, Philadelphia, Pennsylvania, USA.
[18] Zucchini A., P.B. Lourenço “A micro-mechanical model for the homogenisation of masonry”, International Journal of Solids and Structures 39 2002.
APPENDICE A
DEFINIZIONE PARAMETRI MATERIALE
ANISOTROPO EQUIVALENTE ALLE
MURATURE
Il metodo più semplice per tener conto dell’anisotropia delle murature è quello di schematizzarla attraverso un modello a strati (layered model), che è stato implementato facendo riferimento all’articolo “Closed-form expressions for the macroscopic in-plane elastic and creep coefficients of brick masonry”, redatto dal professore Alberto Taliercio nel 2014. Questo modello trascura la presenza delle fughe di testa e di conseguenza gli strati omogenei di mattoni sono alternati con le fughe di letto orizzontali di malta. Si suppone che sia i mattoni che la malta abbiano un comportamento elastico isotropo.
DEFINIZIONE PARAMETRI MATERIALE ANISOTROPO EQUIVALENTE ALLE MURATURE
Ipotizzando che gli sforzi e le deformazioni siano costanti in ogni strato, si possono calcolare manualmente le costanti elastiche macroscopiche della muratura. Attraverso le equazioni di equilibrio e di congruenza si ottiene:
𝐸 = 𝐸 𝑝 + (a.1)
𝐸 = 𝐸 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 𝑝 2𝜈 𝜈 + (1 − 𝜈 )𝛼 + (a.2)
𝜈 = 𝑝 𝜈 + 𝑝 𝜈 (a.3)
𝜈 = 𝐸 (a.4)
𝐺 = 𝐺 (𝑝 + 𝑝 𝛼 ) (a.5)
Dove le costanti sono rispettivamente:
𝑝 = ; 𝑝 = 𝛼 = ; 𝛼 = 𝛼 = ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑡𝑜𝑛𝑖 ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑙𝑡𝑎 𝐸 = 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑡𝑜𝑛𝑖 𝐸 = 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑚𝑎𝑙𝑡𝑎 𝐸 = 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑖𝑧𝑧𝑎𝑡𝑜 𝜈 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑖𝑧𝑧𝑎𝑡𝑜
Per la determinazione dei parametri meccanici nel caso considerato, ci si è basati sui risultati di prove sperimentali con martinetto piatto effettuate sulla muratura delle pareti di palazzo Magio Grasselli. Tali risultati sono:
𝐸 = 2475 𝑀𝑃𝑎 𝜈 = 𝜈 = 0,0864
Da questi parametri meccanici è possibile ricavare le proprietà di malta e mattoni, introducendo le seguenti ipotesi:
𝜈 = 0,2 𝜈 = 0,15 (coefficienti di Poisson dei due materiali)
ℎ = 10 𝑚𝑚 ℎ = 60 𝑚𝑚 (dimensioni delle componenti della muratura)
Si ricava pertanto:
𝛼 = = 0,17 𝑝 = ,
, = 0,14 𝑝 = , = 0,86
Dall’equazione (a.3):
DEFINIZIONE PARAMETRI MATERIALE ANISOTROPO EQUIVALENTE ALLE MURATURE
Invertendo l’equazione (a.2)
= 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 𝑝 2𝜈 𝜈 + (1 − 𝜈 )𝛼 + =
= 0,14 + 0,86 + 0,14 ∗ 0,86 2 ∗ 0,2 ∗ 0,15 + (1 − 0,15 )𝛼 + ,
Da equazione (a.4): = ,
, = 1,82 =
Dalle due relazioni trovate è possibile calcolare il valore di 𝛼 , risolvendo un’equazione di secondo grado
0,14 + 0,86 + 0,14 ∗ 0,86 2 ∗ 0,2 ∗ 0,15 + (1 − 0,15 )𝛼 + , − 1,82 = 0 => 𝛼 = 8,71 (non accettabile essendo Eb>Em)
=> 𝛼 = 0,11
Noto 𝛼 = 0,11 è possibile ricavare il valore di 𝐸 utilizzando la relazione (a.2) 𝐸 = 4501 𝑀𝑃𝑎
Sfruttando la relazione (a.1) e la definizione di 𝛼 è possibile ricavare i moduli elastici dei componenti della muratura
𝐸 = 𝐸 0,14 + ,
, = 581 𝑀𝑃𝑎
𝐸 =
, = 5155 𝑀𝑃𝑎
Sfruttando la relazione che lega il modulo elastico con il modulo di taglio di un materiale isotropo si ottiene
𝐺 =
( )= ( , )= 242,11 𝑀𝑃𝑎
𝐺 =
( )= ( , )= 2241 𝑀𝑃𝑎
Note ora le proprietà delle componenti è possibile ricavare i parametri meccanici mancanti della muratura.
Per la definizione del legame costitutivo in Abaqus si è scelto di usare il metodo “Defining orthotropic elasticity by specifying the engineering constants”. La risposta del materiale dipende dalla seguente matrice:
DEFINIZIONE PARAMETRI MATERIALE ANISOTROPO EQUIVALENTE ALLE MURATURE
I parametri meccanici da dare in input sono 𝐸 , 𝐸 , 𝐸 , 𝜈 , 𝜈 , 𝜈 , 𝐺 , 𝐺 , 𝐺
Avendo ipotizzato un modello a strati, le componenti 1 e 3 risultano identiche. I moduli elastici risultano pertanto noti. Si procede ora al calcolo dei moduli taglianti.
Utilizzando l’equazione (a.5) si ottiene 𝐺 = 𝐺 (𝑝 + 𝑝 𝛼 ) = ,
, , ∗ , = 1028,29 𝑀𝑃𝑎
Per il calcolo di G13 si fa riferimento all’articolo “A micro-mechanical model for the
homogenisation of masonry” redatto da A. Zucchini e P.B. Lourencßo, dove viene proposta l’equazione per definire il modulo di taglio fuori dal piano,
che tradotta nel sistema di riferimento adottato e con i termini utilizzati fino ad ora diventa 𝐺 = (𝑡 + 𝑙)(𝑡 ∗ 𝐺𝑚 + ℎ ∗ 𝐺𝑏)
(𝑡 + ℎ) 𝑡 4 ∗ ℎ ∗ 𝐺𝑏 + (𝑙 − 𝑡) ∗ 𝐺𝑚 4 ∗ ℎ ∗ 𝐺𝑚 + (𝑙 − 𝑡) ∗ 𝐺𝑚 + 𝑙
dove i parametri t, h ed l dipendono dalle caratteristiche geometriche della muratura, come riportato nella seguente figura.
Figura A.2 Caratteristiche geometriche muratura
DEFINIZIONE PARAMETRI MATERIALE ANISOTROPO EQUIVALENTE ALLE MURATURE
Si ottiene infine: 𝜈 = − 1 =
∗ − 1 = 0,65
𝜈 = 𝜈 = 0,09
Risultano così definite tutte le costanti elastiche del modello, che vengono riassunte nella seguente tabella: Densità [kg/m3] E1 [MPa] E2 [MPa] E3 [MPa] ν12 ν13 ν23 G12 G13 G23 1800 4501,49 2475 4501,49 0,16 0,65 0,09 1028,29 1362,32 1028,29
APPENDICE B
CALCOLI DEI CARICHI DOVUTI ALLA
COPERTURA SOVRASTANTE LE SALE
ADIACENTI
Attraverso l’utilizzo di metodi semplificati si sono effettuati i calcoli per determinare il carico gravante su ciascuna parete dovuto alla copertura sovrastante le sale adiacenti.
Figura B.1 Schema sale e travi principali copertura
Il peso della copertura risulta essere: pp+ fissi = 1,6 kN/m2
CALCOLI DEI CARICHI DOVUTI ALLA COPERTURA SOVRASTANTE LE SALE ADIACENTI
- SALA (4.03)
La porzione di copertura analizzata è quella compresa tra la parete di sinistra (est) del salone in esame e la capriata parallela.
Figura B.2 Schema copertura sala (4.03)
Lo schema di calcolo dei travetti risulta essere il seguente:
Il carico gravante sulla muratura risulta quindi
𝑞 = ∗ = , ∗ , / = 2,60 𝑘𝑁/𝑚
- SALA (4.01)
La porzione di copertura considerata è quella compresa tra la parete di sinistra (est) del salone in esame e la trave principale parallela.
CALCOLI DEI CARICHI DOVUTI ALLA COPERTURA SOVRASTANTE LE SALE ADIACENTI
Figura B.3 Schema copertura sala (4.01)
Lo schema di calcolo dei travetti risulta essere il seguente:
Il carico gravante sulla muratura risulta quindi
𝑞 = ∗ = , ∗ , / = 1,37 𝑘𝑁/𝑚
- SALA (4.06)
La copertura di questa sala è illustrata nella figura seguente. I travetti continui poggiano sulle travi di bordo (in corrispondenza delle pareti murarie) e su una trave intermedia, la cui luce è spezzata in modo puntuale dalla presenza delle capriate.
CALCOLI DEI CARICHI DOVUTI ALLA COPERTURA SOVRASTANTE LE SALE ADIACENTI
Figura B.4 Schema copertura sala (4.06)
Figura B.5 Foto copertura del salone (4.03)
CALCOLI DEI CARICHI DOVUTI ALLA COPERTURA SOVRASTANTE LE SALE ADIACENTI
Si ottengono queste reazioni vincolari:
𝑅 = 𝑅 = 𝑞 = ∗ = ∗ , / ∗( , / )= 1,41 𝑘𝑁/𝑚
𝑅 = ∗ = ∗ , / ∗( , / )= 4,71 𝑘𝑁/𝑚
Si valuta ora il carico trasmesso dalla capriata alla parete del salone
𝑅 = 𝑅 = 𝑃 = ∗ =( , / ∗( , , )/ = 11,10 𝑘𝑁
- SALA (4.07)
La porzione di copertura considerata è quella compresa tra la parete di destra (ovest) del salone in esame e la capriata parallela.
CALCOLI DEI CARICHI DOVUTI ALLA COPERTURA SOVRASTANTE LE SALE ADIACENTI
Lo schema di calcolo dei travetti risulta essere il seguente:
Il carico gravante sulla muratura risulta quindi
𝑞 = ∗ = , ∗ , / = 3,63 𝑘𝑁/𝑚
- SALA (4.08)
La porzione di copertura considerata è quella compresa tra la parete di destra (ovest) del salone in esame e la trave parallela.
Figura B.7 Schema copertura sala (4.08)
Lo schema di calcolo dei travetti risulta essere il seguente:
Il carico gravante sulla muratura risulta quindi
CALCOLI DEI CARICHI DOVUTI ALLA COPERTURA SOVRASTANTE LE SALE ADIACENTI
I carichi dovuti alla copertura sovrastante le sale adiacenti sono riepilogati nella figura seguente.