La muratura

La muratura è un materiale composito, le cui componenti (pietre naturali o artificiali e malta) hanno proprietà meccaniche molto diverse tra loro. Una delle tipologie più comuni sono le costruzioni in blocchi lapidei artificiali, che consistono in corsi di mattoni alternati con giunti di malta, con uno schema più o meno regolare. La differente deformabilità di malta e mattoni fa insorgere autotensioni che influenzano positivamente in certe circostanze la resistenza globale della muratura.

Le componenti hanno solitamente le seguenti caratteristiche:

- I mattoni hanno un modulo elastico e una resistenza di compressione maggiore della malta

- I mattoni hanno un comportamento fragile, mentre la malta duttile - Entrambi i materiali hanno spesso scarsa resistenza a trazione

- La muratura ha proprietà meccaniche intermedie tra quelle dei suoi componenti e manifesta un comportamento fortemente anisotropo

Nel corso degli anni sono stati proposti differenti modelli matematici per descrivere il comportamento meccanico della muratura, tuttavia la maggior parte risulta molto complessa e pertanto difficilmente applicabile in casi reali.

Per questa ragione si fa ricorso a modelli semplificati. In questo elaborato per effettuare le analisi si è sono utilizzati i seguenti legami costitutivi:

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MODELLO NUMERICO DEL SALONE

- MODELLO ELASTICO LINEARE ISOTROPO

E’ il modello più semplice e più utilizzato. Gli sforzi si suppone ricadano in un dominio elastico. Questo legame costitutivo può però condurre a risultati a sfavore di sicurezza, in quanto trascura i limiti ammissibili di sforzo sia a trazione che a compressione e i massimi valori di deformazione che il materiale può sostenere.

Per le analisi sono stati utilizzati i parametri meccanici riportati in tabella Densità [kg/m3_{] E [MPa] ν}

1800 1200 0,25

Tabella 4.1. Parametri del modello elastico isotropo - MODELLO ELASTICO LINEARE ORTOTROPO

Si definisce un modello più raffinato, in cui si abbandona l’ipotesi di isotropia, ossia che la risposta del materiale sia la medesima in ogni direzione. Un materiale ortotropo è un particolare tipo di materiale anisotropo, che ha tre piani reciprocamente ortogonali di simmetria elastica, nei quali le sue caratteristiche meccaniche rimangono invariate. Nell’appendice B vengono introdotte le ipotesi e i calcoli effettuati per definire le caratteristiche meccaniche della muratura, intesa come materiale ortotropo macroscopicamente omogeneo.

Per le analisi sono stati utilizzati i parametri meccanici riportati in tabella Densità [kg/m3_] E1 [MPa] E2 [MPa] E3 [MPa] ν12 ν13 ν23 G12 G13 G23 1800 4501,49 2475 4501,49 0,16 0,65 0,09 1028,29 1362,32 1028,29

Tabella 4.2. Parametri del modello elastico ortrotopo.

- MODELLO ELASTOPLASTICO CON DANNO (CONCRETE DAMAGE PLASTICITY MODEL)

Il modello del “Concrete damage plasticity” (abbreviato CDP) è un particolare tipo di legame costitutivo disponibile in Abaqus che può essere adottato per simulare il comportamento non lineare della muratura. “In origine questo modello è stato sviluppato per descrivere il comportamento non lineare del calcestruzzo, tuttavia il suo utilizzo può essere allargato a tutti i materiali dal comportamento fragile attraverso un appropriato adattamento dei principali parametri” (Ghiassi e Milani, 2019).

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Il CDP è un modello di danno continuo, basato sol concetto della plasticizzazione del materiale. I meccanismi di danneggiamento previsti sono la fessurazione per la trazione e lo schiacciamento per la compressione del materiale.

Il modello adotta come comportamento monoassiale del materiale i legami costitutivi sotto riportati in figura.

Figura 4.34 Legame costitutivo della muratura a trazione e compressione.

Nel caso di trazione uniassiale, la risposta tensodeformativa segue un legame lineare elastico fino a che il valore di rottura σto non viene raggiunto. A questo sforzo

corrisponde nella realtà la formazione di microfratture che hanno l’effetto di ridurre la rigidezza e la resistenza del materiale. Una volta superato il picco della curva sforzo- deformazione, si tiene conto della fessurazione (e quindi del danneggiamento) attraverso una legge softening (ramo discendente del grafico).

Nel caso di compressione uniassiale, la risposta del materiale è lineare fino al raggiungimento del limite elastico σco. Una volta superato, il materiale entra in campo

plastico. La riposta è tipicamente caratterizzata da un iniziale incrudimento del materiale seguito da un softening che inizia non appena superato lo sforzo ultimo σcu.

Questa schematizzazione del comportamento a trazione e compressione della muratura, seppur semplificativa rispetto alla reale risposta di questo materiale, è in grado di cogliere in modo efficace le principali caratteristiche di come la muratura si comporta quando viene sollecitata nella realtà.

Nel caso di carichi ciclici è necessario descrivere il comportamento del materiale quando il peso viene rimosso. Quando questo è scaricato, per ogni punto della curva di sforzo-deformazione la risposta è elastica, caratterizzata da una riduzione di rigidezza. Il degrado della rigidezza elastica risulta essere differente a trazione e a compressione; in entrambi i casi si ha una maggiore riduzione a seconda di quanto più è grande la deformazione plastica. La riduzione della rigidezza elastica viene descritta da due variabili di danneggiamento, definite come dt e dc a trazione e compressione

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rispettivamente, il cui valore dipende dalla grandezza della deformazione plastica. Il loro valore può variare da 0, materiale integro, a 1, materiale completamente danneggiato.

Le seguenti relazioni standard definiscono gli sforzi monoassiali σt di trazione e σc di

compressione:

Dove E0 è il modulo elastico iniziale, dt e dc le variabili scalari di danneggiamento, 𝜖 e

𝜖 sono le deformazioni totali di trazione e compressione, e 𝜖 e 𝜖 sono le deformazioni plastiche di trazione e compressione.

Si vogliono ora definire a livello numerico i valori delle deformazioni plastiche del modello CDP che si vengono a creare in seguito al superamento dello sforzo di snervamento e alla conseguente uscita dal campo elastico del materiale.

A trazione la deformazione di fessurazione 𝜖 può essere espressa come segue: 𝜖 = 𝜖 − 𝜖

Dove 𝜖 è la deformazione totale a trazione e 𝜖 = 𝜎 /𝐸 è la deformazione elastica di trazione.

La deformazione plastica può essere ottenuta come segue:

A compressione il comportamento post rottura dipende dalla deformazione inelastica 𝜖 , che può essere espressa come segue:

dove 𝜖 è la deformazione totale di compressione e 𝜖 = 𝜎 /𝐸 è la deformazione elastica di compressione.

La deformazione plastica di compressione 𝜖 può essere ricavata usando la seguente equazione:

Nel caso di rimozione del carico quando il materiale compresso si trova in campo plastico, il modello CDP può tener conto degli effetti della chiusura di alcune delle precedenti fessure formatesi, che si traduce in un parziale recupero di rigidezza a

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compressione. Questo aspetto risulta in accordo con quanto osservato sperimentalmente nei test a compressione sulla muratura.

Ci si vuole concentrare ora sulla definizione dei parametri richiesti in input da Abaqus al momento della definizione del legame costitutivo della muratura.

Il modello CDP si basa sul criterio di plasticizzazione di Drucker-Pragert modificato. Attraverso un parametro kc, che rappresenta il rapporto tra l’invariante secondo di

sforzo sul meridiano a trazione e uno dei meridiani di compressione e ipotizza una legge di scorrimento non associata. E’ così possibile variare il domino plastico come mostrato nella figura seguente. Il valore di default di kc è uguale a 0.667, come

suggerito nel manuale utente (Abaqus v.2013 cap. 23.6.3).

Figura 4.35 Dominio plastico secondo il criterio di Drucker-Pragert modificato.

Per quanto riguarda il potenziale plastico, questo è definito non associato ed è descritto a livello numerico attraverso l’equazione iperbolica

dove:

- ε è un parametro correttivo detto eccentricità che ha la funzione di regolare il potenziale plastico. Questo parametro definisce la velocità con cui il potenziale plastico tende ad un asintoto: quando il flusso di potenziale tende

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ad una linea retta, l’eccentricità tende a 0. Il valore di default del parametro di eccentricità adottato in Abaqus è 0,1. E’ importante tener presente che valori più piccoli di eccentricità possono causare problemi di convergenza quando il materiale è soggetto a una bassa pressione di confinamento, perché il potenziale plastico tende a intersecare l’asse idrostatico con una curvatura molto accentuata.

- Ψ è l’angolo di dilatanza, il cui valore dipende dalla variazione di volume del materiale in seguito all’applicazione di sforzi di taglio. Si assume un valore uguale a 10 gradi, in accordo con le osservazioni sperimentali disponibili in letteratura (Van Der Pluijm, 1993).

Un altro parametro necessario da definire è il rapporto 𝑓 /𝑓 , che è il rapporto tra lo sforzo di snervamento equibiassiale iniziale e lo sforzo di snervamento a compressione iniziale, che per default si ipotizza pari a 1.16.

L’ultimo parametro richiesto dal programma è la viscosità. I legami costitutivi, caratterizzati da un comportamento di softening e riduzione della rigidezza, possono causare seri problemi di convergenza in programmi di analisi implicita, come Abaqus. Alcune di queste difficoltà di convergenza possono essere superate attraverso l’uso di regolarizzatori viscoplastici delle equazioni del legame. Nel caso del modello CDP si effettua la regolarizzazione utilizzando la viscoplasticità con un piccolo valore per il parametro di viscosità, che solitamente aiuta a migliorare il tasso di convergenza del modello nel ramo di softening, senza compromettere l’accuratezza dei i risultati. Il tensore delle deformazioni viscoplastiche incrementali 𝜖° _{e la variabile di}

degradazione della rigidezza viscosa sono espresse come: 𝜖° =1

𝜇∗ 𝜖 − 𝜖 𝑑° _{= (𝑑 − 𝑑 )}

Dove 𝜇 è il parametro di viscosità rappresentante il tempo di rilassamento del sistema viscoplastico, 𝜖 è la componente di deformazione plastica, e d è la variabile di danno. La relazione sforzi-deformazioni del modello viscoplastico diventa:

𝜎 = (1 − 𝑑 ) ∗ 𝐸 (𝜖 − 𝜖 )

In letteratura (Bahman Ghiassi e Gabriele Milani, 2019) è consigliato di porre il parametro di viscosità non superiore a 0,002, in quanto un valore maggiore potrebbe falsare i risultati delle analisi. Nel caso in esame si è scelto di porlo uguale a 1*10-6_{, in}

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Riepilogando i parametri utilizzati nell’analisi non lineare si ha: Densità [kg/m3_] E [MPa] ν Angolo di dilatazione Eccentricità 𝑓 /𝑓 K Parametro viscosità 1800 1200 0,25 10 0,1 1,16 0,667 1*10-6

Tabella 4.3. Parametri modello CDP: Parametri generali.

Le equazioni di legame costitutivo monoassiale della muratura sono definite invece dai seguenti punti (Bahman Ghiassi e Gabriele Milani, 2019):

Tabella 4.4. Parametri modello CDP: Comportamento a compressione.

CAPITOLO 5