La conducibilità e il modello a bande

Una caratteristica elettrica grazie alla quale si possono distinguere i materiali fra isolanti, semiconduttivi, conduttivi o superconduttivi è la conducibilità.

Fondamentalmente la conduzione elettrica consiste in un moto di cariche attraverso il materiale sotto l’azione di un campo elettrico o di un gradiente di temperatura. La corrente elettrica, i, è definita come la quantità di carica dQ che fluisce attraverso la superficie A nell’intervallo di tempo dt, cioè:

𝒊 = 𝑑𝑸

𝑑𝑡 = 𝑛𝑞𝒗𝐴 (3.1)

Dove n è il numero dei portatori di carica per unità di volume, q è la carica trasportata da ogni portatore e ν è la loro velocità media.

La densità di corrente, J, ossia la corrente per unità di superficie, è allora essere definita come:

𝑱 = 𝒊

𝐴 = 𝑛𝑞𝒗 (3.2)

In presenza di un campo elettrico la velocità media ν dei portatori di carica q è proporzionale al campo stesso:

𝒗 = 𝜇 𝑬 (3.3)

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Esplicitando la ν nelle equazioni 3.1 e 3.2 si ottiene:

𝒊 = 𝑛𝑞𝜇𝑬𝐴 (3.4)

𝑱 = 𝑛𝑞𝜇𝑬 (3.5)

La conducibilità elettrica σ è definita dalla relazione: 𝜎 = 𝐽

𝐸 (3.6)

Il reciproco della conducibilità rappresenta la resistività elettrica del materiale ρ.

Inserendo la 3.5 nella 3.6 si ha:

𝜎 =𝑛𝑞𝜇𝑬

𝑬 = 𝑛𝑞𝜇 (3.7)

Fino ad ora si è implicitamente supposta la presenza di un solo portatore di carica, nella realtà possono però essercene diversi. Viene da sé che ogni specie di portatori ha una differenza di presenza in numero, così come nel valore di carica trasportata e di mobilità media. Perciò l’espressione della conducibilità in presenza di molteplici portatori di carica è data dalla sommatoria estesa a tutti i portatori:

𝜎 = ∑ 𝑛_𝑖𝑞_𝑖𝜇_𝑖

𝑖 (3.8)

Il numero e la mobilità dei portatori di carica, quindi la conducibilità, dipendono sia dal tipo di materiale sia da parametri sperimentali quali la tensione applicata, la temperatura e altre condizioni ambientali.

La spiegazione del perché alcuni materiali sono più o meno conduttivi rispetto ad altri è basata sul modello atomico di Niels Bohr: un numero di elettroni si muove in orbite separate attorno al nucleo di un atomo. Non tutte le orbite sono possibili; è infatti disponibile un numero limitato di orbite che si trovano a distanze discrete dal nucleo. Un elettrone può saltare da un'orbita all'altra, non può spostarsi in mezzo: ogni orbita rappresenta un livello di energia distinto. Le orbite disponibili sembrano concentrate nelle bande di energia in cui queste orbite si trovano vicine tra loro, vedi figura 3.7. Ci sono due importanti bande di energia: la banda di valenza e la banda di conduzione. Nella banda di valenza gli elettroni sono strettamente accoppiati all'atomo. Possono lasciare questa banda solo per mezzo di

35 processi chimici (Ad esempio due atomi di idrogeno perdono un elettrone ciascuno H + e H + e un atomo di ossigeno riceve questi elettroni 0- nel qual caso si forma acqua).

Figura 3.7

Rappresentazione schematizzata del modello a bande. La banda più in alto rappresenta la banda energetica occupata parzialmente o completamente dagli elettroni (detta banda di conduzione), quella in basso è detta banda di valenza ed infine la zona fra le due indica la differenza di energia fra valenza e conduzione ed è detta

banda proibita.

La banda superiore nella figura 3.7 è la banda di conduzione. Gli elettroni in questa banda possono facilmente saltare da un atomo all'altro; sono, per così dire, elettroni posseduti congiuntamente. I metalli costituiscono un esempio estremo di questa situazione in cui gli elettroni della banda di conduzione possono essere rappresentati come un gas elettronico, il che spiega la grande conduttività dei metalli.

Tra queste due bande si trova un'area proibita, il band gap. Nessun elettrone può verificarsi in questo intervallo di banda. Un elettrone della banda di valenza può raggiungere la banda di conduzione solo se ottiene energia sufficiente (termica o meno) per superare il gap band proibito in un singolo salto. La stessa considerazione vale per le lacune.

La conduttività di un materiale dipende dalla dimensione del gap band. Se questo intervallo è grande è estremamente improbabile che un elettrone possa superare lo spazio e partecipare alla conduttività. La larghezza di questo intervallo è espressa in elettronvolt: il numero di volt necessario per far saltare un elettrone oltre il gap di banda.

Nei conduttori la banda di valenza e quella di conduzione si sovrappongono, in questo caso gli elettroni di muoversi perché vi sono stati vuoti nei quali si possono spostare. Se infine la banda di valenza non si sovrappone con la successiva banda vuota, nessun elettrone può rispondere ad un campo elettrico,

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a meno che non possa attraversare l’intervallo d’energia proibita fra le bande. Se tale intervallo è di qualche eV occorrono campi elettrici molto elevati per far compiere il salto agli elettroni ed in questa situazione si ha un isolante. Se l’intervallo d’energia proibita è abbastanza piccolo anche il solo contributo dell’energia termica, ad alte temperature, può essere tale da far passare alcuni elettroni nella banda più alta vuota formando contemporaneamente degli stati vuoti nella banda di valenza. Tali materiali sono detti semiconduttori.

Le proprietà di conduzione sono, quindi, controllate dalla larghezza del salto energetico proibito, dalla disposizione delle bande permesse e dal loro riempimento elettronico.

Concentrazione di elettroni per m3

Resistività Ωm CONDUCTOR Banda stretta <0.2 eV da 1027 a 10 da 10-7 a 106

SEMICONDUTTORI Banda limitata da 0.2 a 2 eV da 1011 a 1026 da 10-5 a 1010

INSULATOR Banda larga >2 eV da 0 a 1010 da 1011 a 1020

Tabella 3.2

Le regioni cristalline del polietilene hanno, secondo la teoria, un valore di energia della banda proibita anche maggiore di quello degli isolanti puri; queste zone non contribuiscono quindi alla conduttività del polimero. La conduzione, nel caso, si verifica nelle regioni amorfe.

Figura 3.8

Evoluzione nelle bande d’energia nella transizione da materiali ordinati a materiali disordinati. (a) Cristallo covalente, (b) materiale covalente disordinato, (c) materiale molecolare ordinato, (d) materiale molecolare

disordinato

Ene

rgy

(b) (c) (d)

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