Conduttori

I conduttori sono materiali che contengono un numero elevato di cariche elettriche libere per unità di volume; ad esempio, nel rame la densità numerica di elettroni liberi è dell’ordine di 10²³cm⁻³.

Il fenomeno della conduzione elettrica è l’azione del campo elettromagnetico sulle cariche elettriche libere presenti nei conduttori: esso è caratterizzato dalle distribuzioni di cariche e correnti (superficiali e volumetriche), risultanti dall’azione del campo elettromagnetico sulle cariche libere.

Il campo di densità di corrente in un conduttore, in un qualsiasi punto e istante, dipende, oltre che dal valore campo elettrico nello stesso punto e istante, anche dal campo magnetico (effetto Hall), dalla velocità del conduttore (come nelle dinamo e negli alternatori), e da campi di forze di

natura non elettrica (come, ad esempio, il campo elettromotore di natura chimica in una pila o in una cella a combustibile, o il campo elettromotore di natura fotoelettrica nelle celle solari).

Il tipo di corrente che nasce in un conduttore e il meccanismo di conduzione dipende dalla struttura fisico-chimica del materiale. La relazione tra il campo elettrico (la causa) e il campo densità di corrente nei conduttori (l’effetto) dipende, essenzialmente, solo dalla costituzione fisico-chimica del materiale conduttore (e non, ad esempio, dalla loro forma); per questa ragione le chiameremo relazioni costitutive del conduttore. Noi qui faremo riferimento solo ai cosiddetti conduttori metallici, perché sono i più comuni e anche i più semplici da descrivere.

Un conduttore metallico si può immaginare costituito da una struttura di cariche positive, fisse nei vertici di un reticolo ¹⁷, e da un “mare” di elettroni liberi che si muovono in maniera disordinata a causa dell’agitazione termica, urtando continuamente tra loro e contro le cariche positive fisse del reticolo. Sotto l’azione di un campo elettromagnetico macroscopico su ciascun elettrone libero del conduttore agisce una forza che dà origine ad un moto ordinato che si sovrappone al moto disordinato dovuto all’agitazione termica.

E’ possibile prevedere l’azione del campo elettromagnetico sulle cariche libere di un conduttore metallico studiando il moto degli elettroni liberi sotto l’azione della forza di Lorentz

f = −e E + v ×B

( )

(v è la velocità media del generico elettrone libero) e degli urti anelastici con il reticolo del conduttore.

B J J

E_m

(a) (b) (c) E

J conduttore

Figura 2.20

Si consideri un conduttore metallico fermo, in presenza di un campo elettromagnetico (il campo può variare anche nel tempo, purché non troppo velocemente), Figura 2.20a. Se la velocità macroscopica associata al moto ordinato prodotto dal campo elettrico è molto più piccola confrontata con la velocità associata al moto disordinato (la cosiddetta velocità termica, che ricordiamo, è dell’ordine di centinaia di km al secondo a temperatura ambiente), la relazione tra il campo di densità di corrente volumetrica J (che descrive la corrente macroscopica nel conduttore) e il campo elettrico E (che produce la corrente macroscopica) è

J= γE. (2.116)

dove il coefficiente γ è la conducibilità elettrica del conduttore. Il termine di forza del campo magnetico è stato ignorato nella (2.116). Esso dà origine all’effetto Hall, effetto che è poco significativo nei metalli a causa delle basse velocità macroscopiche degli elettroni liberi.

L’inverso della conducibilità elettrica è la resistività elettrica η, η = 1/γ. E’ evidente che la dimensione fisica della resistività è V/ A

( )

⋅ m. Nel Sistema Internazionale 1V /1A= 1Ω, dove

“ohm” (Ω) è l’unità di misura della resistenza elettrica. Quindi l’unità di misura della resistività nel Sistema Internazionale è “ohm⋅ metro” (Ω ⋅ m). Di conseguenza l’unità di misura della conducibilità elettrica è “1/ ohm⋅ metro

( )

^{” (Ω−1⋅ m−1}). Nel Sistema Internazionale

“1/ohm= siemens” (Ω⁻¹=S): il “siemens” è l’unità di misura della conduttanza elettrica.

17 Ciascuna carica positiva è composta da un nucleo atomico e dagli elettroni legati al nucleo. La carica netta risultante è positiva perché mancano alla struttura atomica alcuni elettroni, che sono proprio quelli in grado di muoversi su dimensioni macroscopiche all’interno del reticolo.

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Studiando il moto degli elettroni liberi sotto l’azione della forze di Lorentz e degli urti anelastici si ottiene l’espressione della conducibilità elettrica in funzione delle caratteristiche fisiche del materiale,

γ = e² n_el

m_e τ, (2.117)

dove e il valore della carica dell’elettrone (in valore assoluto), m_e è la massa dell’elettrone, n_el è la densità di elettroni liberi nel conduttore e τ il tempo medio tra due urti successivi di un elettrone libero con le cariche positive fisse del reticolo del conduttore. Il tempo caratteristico τ descrive, appunto, l’effetto degli urti anelastici con il reticolo. Gli urti sono sostanzialmente dovuti al moto disordinato, quindi τ diminuisce al crescere della velocità termica. Essendo la velocità termica direttamente proporzionale alla radice quadrata della temperatura, si ha che la conducibilità elettrica di un conduttore metallico diminuisce al crescere della temperatura del conduttore.

Tabella III Resistività, conducibilità e coefficiente di temperatura di alcuni materiali.

Materiale Resistività µΩ ⋅ m

( )

Conducibilità

Ω^{− 1}⋅ m⁻¹

( )

Coefficiente

di temperatura a 20 °C 1/°C

( )

Argento 0,0159÷0,017 5,9÷6,3 ×10⁷ 3,8×10⁻³

Rame 0,0170÷0,0178 5,6÷5,9×10⁷ 3,9×10⁻³

Alluminio 0,028÷0,03 3,3÷3,6×10⁷ 3,7×10⁻³

Zinco 0,063 1,6×10⁷ 3,7×10⁻³

Ottone 0,07÷0,09 1,1÷1,4×10⁷ 1,5×10⁻³

Ferro 0,09÷0,15 0,67÷1,1×10⁷ 4,5×10⁻⁴

Leghe per resistori Rame-nichel-manganese

(nichelina, manganina, costantana) 0,43÷0,5 2,2×10⁶ -0,05÷0,1×10⁻³

Nichel - cromo 1,1 0,8×10⁶ 0,02×10⁻³

Carbone per lampade ad arco 60÷80 1,70×10⁴ -0,2÷0,8×10⁻³

Acqua di mare _0.33×10⁶ 3 -

Acqua dolce 10⁸ 10⁻² -

Acqua distillata 1÷4×10¹⁰ 0,2÷1×10⁻⁴ -

Terreni 10⁸÷10¹⁰ 10⁻⁴÷10⁻² -

La (2.116) è una relazione lineare ed isotropa¹⁸ tra il campo elettrico e il campo di densità di corrente. Essa prende il nome di legge di Ohm (in forma locale) e vale anche per conduttori diversi da quelli metallici (gas ionizzati, liquidi, …), sotto opportune condizioni. I conduttori descritti dalla relazione (2.116) prendono il nome di conduttori ohmici. La (2.116) è la relazione costitutiva dei conduttori di tipo ohmico.

Il limite γ → 0 descrive il comportamento di un materiale isolante, come il dielettrico ideale:

in questi materiali non circola corrente pur in presenza di un campo elettrico. Invece, il limite γ → ∞, ovvero η → 0 descrive il comportamento di materiali con elevatissima conducibilità,

18Il campo di densità di corrente e il campo elettrico sono paralleli.

cioè il comportamento dei conduttori ideali: in questo caso pur in presenza di correnti nel conduttore il campo elettrico è nullo.

Si rileva sperimentalmente che, per un’ampia classe di conduttori e in un largo campo di temperature, la resistività varia pressoché linearmente, secondo la legge

η = η₀

[

1+ α T − T

(

₀

) ]

^, (2.118)

dove T₀ è la temperatura di riferimento, assunta pari a quell’ambiente T₀ = 20°C, η₀ è la resistività alla temperatura T₀ e α è il cosiddetto coefficiente di temperatura del conduttore. La Tabella III riporta i valori tipici di η₀, γ₀ e α.

Se il materiale conduttore è in moto con velocità V ed è immerso in un campo magnetico (Figura 2.20b), all’azione del campo elettrico bisogna aggiungere l’azione del campo V× B: questo contributo è dovuto al termine della forza di Lorentz dipendente dal campo magnetico. In un conduttore in moto con velocità V, la velocità macroscopica del generico elettrone libero è data dalla somma della velocità dovuta all’azione della forza di Lorentz e della velocità di trascinamento V dovuta al moto del reticolo in cui l’elettrone, pur essendo libero, è obbligato a muoversi. Essendo la velocità dovuta all’azione della forza di Lorentz trascurabile (dell’ordine dei µm /s), resta solo il contributo dovuto alla velocità di “trascinamento” V .

Nelle pile, nelle celle solari o nelle celle a combustibile, oltre al campo elettrico macroscopico, sulle cariche libere presenti nel materiale (che è ovviamente un materiale conduttore) agisce anche un campo, di natura diverso da quello elettrico macroscopico (ad esempio, di natura chimica nelle pile e nelle celle a combustibile, di natura fotovoltaica nelle celle solari), denominato campo elettromotore , che indichiamo con il simbolo E_m, Figura 2.20c.

La relazione costitutiva di un conduttore ohmico in moto in un campo magnetico e in presenza di un campo elettromotore è, allora,

J= γ E + V ×B + E

(

_m

)

, (2.119)

dove V e E_m sono grandezze che possono essere considerate assegnate. Le “sorgenti” del campo elettromagnetico che noi siamo in grado di controllare effettivamente, ad esempio, attraverso

“manopole” o “interruttori”, sono proprio i termini V×B e E_m che compaiono nella (2.119). Le sorgenti elementari del campo elettromagnetico, cioè le cariche e le correnti libere, sono esse stesse incognite del problema: esse non possono essere controllate in modo diretto.

In conclusione la presenza di materiali conduttori non altera la struttura delle equazioni di Maxwell così come è stata descritta nel precedente paragrafo. In realtà, attraverso i conduttori è possibile produrre proprio le cariche e le correnti che compaiono come sorgenti elementari nelle equazioni di Maxwell, solo che queste cariche e queste correnti non sono note ma sono esse stesse incognite del problema. Le sole grandezze note sono, ad esempio, le velocità con cui ruotano i rotori nelle dinamo e negli alternatori e i campi elettromotori che agiscono nelle pile, nelle celle a combustibile o nelle celle solari.

Nel documento E QUAZIONI DI M AXWELL (pagine 34-37)