Materiali magnetici

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scarica nel dielettrico, cioè un violento fenomeno di conduzione. Ricordiamo che un dielettrico (ideale) è un isolante perfetto. Quando ciò accade si parla di “rottura” del dielettrico, e il valore

Emax del campo elettrico, al di sopra del quale si ha la rottura del dielettrico, prende il nome di rigidità dielettrica.

Tabella V Rigidità dielettrica.

Materiale E_max

(

V/ m

)

Aria (1atm) 3×10⁶

Nylon 5÷ 20 ×10⁶

Olio per trasformatori 5÷ 30 ×10⁶ Vetro e mica 40÷60 ×10⁶

I A m ˆh

I

A B

C≠ 0 ˆh

I

A B

C=0 ˆh

(a) (b) (c) Figura 2.30

Il dipolo magnetico elementare può essere rappresentato attraverso una spira filiforme elementare piana, di forma circolare, percorsa da corrente. Esso è caratterizzato dall’intensità di corrente I che attraversa la spira, dall’area della spira A e dal versore h ^ˆ normale alla superficie della spira, orientato concordemente con il verso di riferimento per l’intensità di corrente, secondo la “regola della mano destra”, Figura 2.30a. Il momento m del dipolo magnetico elementare è definito come

m= IAˆ h . (2.147)

La dimensione fisica del momento di dipolo magnetico nel Sistema Internazionale è

“ampere⋅ metro²” ( A/m²).

Cosa accade a un dipolo magnetico elementare quando interagisce con un campo magnetico uniforme (Figura 8.20b) ? Come nell’interazione di un dipolo elettrico con un campo elettrico uniforme, la risultante delle forze che agiscono sul dipolo magnetico è uguale a zero. Pur essendo il risultante del sistema di forze che agiscono sul dipolo uguale a zero, il momento di questo sistema di forze è diverso da zero, Figura 2.30b. La coppia del momento del sistema di forze che agiscono sul dipolo è data da,

C= m × B. (2.148)

Dunque, il dipolo magnetico immerso in un campo magnetico uniforme non si sposta ma ruota, se libero da ulteriori vincoli, fino ad allinearsi con il campo magnetico, Figura 2.30c. Come per i dipoli elettrici in un campo elettrico, esistono due configurazioni di equilibrio con coppia nulla:

una con m ed B equiversi (paralleli) e una con m ed B in verso opposto (antiparalleli). Solo la prima posizione di equilibrio è stabile, l’altra è instabile.

Anche dal punto di vista magnetico le sostanze possono essere distinte in polari e non polari.

Nel primo caso (ad esempio, ) ciascuna molecola o atomo costituisce un dipolo magnetico

“permanente” indipendentemente da azioni esterne. Nel secondo caso, invece, la caratteristica dipolare magnetica dell’atomo o della molecola insorge come effetto, appunto, di una sollecitazione applicata da un campo magnetico esterno (è il caso, ad esempio, della mica, della paraffina, dell’idrogeno, dei gas nobili).

Un elemento di volume fisicamente infinitesimo di materiale magnetico contiene un elevatissimo numero di atomi o di molecole. Questo volume può essere polarizzato utilizzando due diversi meccanismi. Supponiamo, dapprima, che gli atomi o le molecole siano magneticamente apolari. Con un campo magnetico esterno è possibile indurre in ciascun atomo o molecola un momento di dipolo elementare parallelo e di verso opposto al campo inducente, attraverso il meccanismo fisico che prende il nome di precessione di Larmor. E’ evidente, allora, che se il campo applicato è uniforme nell’elemento di volume in esame tutti i dipoli elementari indotti risulteranno praticamente allineati tra loro, dando così luogo a un momento di dipolo netto diverso da zero, parallelo e con verso opposto al campo inducente. Questo meccanismo di

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polarizzazione prende il nome di polarizzazione diamagnetica. I materiali in cui questo meccanismo di magnetizzazione è prevalente sono detti diamagnetici.

Consideriamo, ora, il caso di molecole o atomi che hanno un momento di dipolo magnetico permanente. Abbiamo già accennato al fatto che il momento magnetico permanente di un atomo o di una molecola ha due possibili origini (molto diverse tra loro): il moto orbitale degli elettroni legati attorno ai nuclei atomici; il momento magnetico intrinseco degli elettroni. Nel primo caso parliamo di dipolo magnetico “orbitale”, nel secondo di dipolo magnetico di “spin”. In assenza di forze che contrastino il disordine prodotto dall’agitazione termica, il momento di dipolo netto nel volume elementare è mediamente uguale a zero a causa dell’agitazione termica dovuta alla temperatura (assoluta) diversa da zero del materiale, analogamente a quanto accade nei dielettrici composti da sostanze polari. Solo in presenza di una particolare costituzione fisica della materia e/o di un’agente “esterno” come, ad esempio, un campo magnetico è possibile fare assumere ai singoli dipoli permanenti una stessa direzione e, quindi, avere un momento di dipolo netto per l’elemento di volume diverso da zero. Questo meccanismo di polarizzazione prende il nome di polarizzazione per orientazione.

Esistono due meccanismi di polarizzazione per orientazione. I dipoli magnetici di tipo orbitale possono essere costretti ad allinearsi tra loro, contro l’azione disorientatrice dell’agitazione termica, solo attraverso la coppia che nasce dall’interazione con un campo magnetico esterno.

Tuttavia, a differenza di quanto si osserva nei dielettrici, la percentuale di dipoli che si riesce in questo modo ad allineare è relativamente bassa, a meno che non si abbiano a disposizione campi magnetici intensissimi, praticamente impossibili da realizzare. Questo è il meccanismo della polarizzazione paramagnetica. I materiali in cui è prevalente il fenomeno della polarizzazione paramagnetica sono detti paramagnetici.

Invece, sui dipoli magnetici di spin agisce, oltre alla coppia dovuta all’interazione con un eventuale campo magnetico esterno, un’altra forza, molto intensa, di natura quantistica, che tende a far allineare i dipoli, contrastando, così, l’azione disorientatrice dell’agitazione termica.

Questa forza è talmente intensa, da poter dar luogo in regioni macroscopiche a una magnetizzazione “spontanea”, cioè a un momento di dipolo magnetico netto diverso da zero anche in assenza di un campo magnetico esterno (se la temperatura del materiale è al di sotto di un valore caratteristico, che prende il nome di temperatura di Curie). Le calamite sono un esempio di magnetizzazione spontanea. Questo è il meccanismo della polarizzazione ferromagnetica. I materiali in cui, invece, è prevalente il fenomeno della polarizzazione ferromagnetica sono detti ferromagnetici.

Si assuma che nell’elemento di volume siano presenti dN atomi o molecole con momenti di dipolo magnetico (sia indotti che permanenti) m₁,m₂,...,m_dN al generico istante t. Si definisce il valor medio del momento di dipolo magnetico nel punto P come

m = 1 dN m_i

i=1

∑

dN ^. (2.149)

Il momento di dipolo magnetico medio è uguale a zero se i singoli dipoli che si trovano nella regione elementare sono orientati in modo casuale.

Come per i dielettrici, un modello macroscopico del fenomeno della magnetizzazione di un materiale magnetico consiste nel rappresentare il materiale attraverso un continuo di dipoli magnetici elementari eguali, di momento m , distribuiti con densità numerica

c =dN

dV . (2.150)

Posto

A ˆ h =1

I m , (2.151)

il momento di dipolo medio m è il momento del dipolo magnetico equivalente costituito da una spira piana di corrente, di intensità I, di area A e di normale ˆ h ; ˆ h è un vettore unitario.

Il continuo di dipoli magnetici elementari con densità numerica c e momento elementare m può essere descritto attraverso il vettore di magnetizzazione M (detto anche intensità di magnetizzazione), definito come momento di dipolo magnetico per unità di volume. Si consideri una regione fisicamente infinitesima centrata nel punto P di volume dV. La magnetizzazione nel punto P all’istante t è, per definizione, il rapporto tra il momento di dipolo magnetico risultante della regione elementare all’istante t e il volume,

M= dN

dV m . (2.152)

ovvero

M= c m . (2.153)

Il fenomeno della polarizzazione magnetica è caratterizzato dal campo di intensità di magnetizzazione M, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo magnetico per unità di volume risultante dall’azione del campo elettromagnetico complessivo.

Nel Sistema Internazionale le dimensioni della polarizzazione sono “ampere /metro” (A /m).

S ˆn

Γ

Figura 2.31

L’importanza fisica della magnetizzazione sta in una notevole proprietà, analoga a quella della polarizzazione, che ora brevemente illustreremo. Si assuma che sia nota la distribuzione della magnetizzazione M. L’intensità della corrente elettrica di origine “molecolare” che attraversa una generica superficie aperta S, orientata attraverso il verso della normale n ˆ , è uguale alla circuitazione della magnetizzazione M lungo la sua frontiera Γ , orientata concordemente con il verso della normale n ˆ secondo la regola della mano destra (Figura 2.31),

i_S^(mag)= M ⋅ˆ t dl

∫

Γ ^. (2.154)

A questa corrente elettrica legata si dà il nome di corrente di magnetizzazione, per distinguerla dalle correnti elettriche libere presenti nei conduttori e di polarizzazione presenti nei dielettrici.

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Essa contribuisce alla circuitazione del campo magnetico allo stesso modo delle correnti libere e di quelle di polarizzazione.

La (2.154) può essere così spiegata allo stesso modo dell’analoga relazione per la carica di polarizzazione.

Ciascun dipolo elementare può essere rappresentato attraverso una spira piana circolare di corrente, ortogonale alla direzione del momento. Di conseguenza, all’intensità di corrente di magnetizzazione attraverso S contribuiscono solo i dipoli magnetici elementari che si concatenano con il bordo Γ di S: per tutte le altre spire, “tagliate” da S, la corrente associata è nulla perché somma di due contributi eguali in modulo e di segno opposto (in corrispondenza dei due punti in cui la spira è tagliata).

ˆt

dl A ˆh

Γ P

Figura 2.32

Si consideri, ora, un generico punto P di Γ e una linea elementaredl centrata in P appartenente a Γ ; sia ˆ t il versore tangente a Γ in P diretta concordemente con il verso della normale n ˆ a S. Si costruisca il cilindro obliquo, centrato in P, con superficie di base A orientata concordemente con il versore ˆ h , superficie laterale di direttrice parallela a ˆ t e lunghezza dl, Figura 2.32. E’ evidente che tutti le spire di corrente elementari, il cui centro si trova in questo cilindro obliquo, si concatenano con il tratto dl di Γ . Se ˆ h ⋅ ˆ t > 0 il verso di riferimento dell’intensità di corrente della spira è concorde con la normale n ˆ e il volume del cilindro è uguale a ˆ

( )

h A ^{⋅ ˆ t dl}

^{( )}

; invece, se ˆ h ⋅ ˆ t < 0 il verso di riferimento dell’intensità di corrente della spira è discorde con la normale n ^ˆ e il volume del cilindro è uguale a

− ˆ

( )

h A ^{⋅ ˆ}

^{( )}

^{t dl} . Si consideri il caso in cui ˆ h ⋅ ˆ t > 0. Il contributo all’intensità di corrente di magnetizzazione dell’elemento di linea dl è uguale, in questo caso, al prodotto tra il numero di dipoli elementari, dN_C, situati nel cilindro e l’intensità di corrente I,

di_S^(mag)= IdN_C. (2.155)

Il numero di dipoli elementari situati nel cilindro è uguale al prodotto tra la densità numerica di dipoli elementari e il volume del cilindro obliquo,

dN_C = c ˆ

( )

h A ^{⋅ ˆ}

^{( )}

^{t dl . (2.156)} Sostituendo la (2.156) nella (2.155), si ottiene

di_S^(mag)= c I ˆ

(

h A

)

^{⋅ ˆ t dl}

^{( )}

^{, (2.157)}

quindi

di_S^(mag)= M ⋅ ˆ t dl . (2.158)

E’ immediato verificare che nel caso ˆ h ⋅ ˆ t < 0 si ottiene la stessa espressione. La relazione (2.158) dà il contributo del tratto elementare dl di Γ all’intensità di corrente di magnetizzazione attraverso la superficie S che ha come bordo la linea chiusa Γ . Allora, l’intensità di corrente di magnetizzazione attraverso l’intera superficie S è data dalla circuitazione della magnetizzazione

M lungo la curva Γ .

(a) (b) (c) ˆn Γ

Γ ˆn

ˆn Γ

Figura 2.33

Se applichiamo la (2.154) a una superficie chiusa si ottiene che l’intensità di corrente di magnetizzazione è identicamente nulla. Ciò concorda con il fatto che, in questo caso, tutte le spire elementari sono tagliate due volte dalla superficie chiusa e, quindi, il contributo netto di ciascuna spira è sempre zero.

Si consideri, ora, una distribuzione uniforme di magnetizzazione all’interno della regione di spazio Ω, Figura 2.33a. E’ evidente che la circuitazione della magnetizzazione lungo qualsiasi linea chiusa all’interno di Ω è sempre uguale a zero ²², quindi l’intensità di corrente di magnetizzazione attraverso qualsiasi superficie aperta che ha come orlo una linea chiusa che si trova interamente in Ω è uguale a zero. Invece, l’intensità di corrente attraverso un nastrino che si trova a cavallo della frontiera di Ω può essere diversa da zero, Figura 2.33b. In corrispondenza della superficie del materiale magnetico c’è una distribuzione con densità superficiale di corrente di magnetizzazione.

Si consideri, infine, in Ω una distribuzione di polarizzazione non uniforme, Figura 2.33c. In queste situazioni, la circuitazione della magnetizzazione lungo qualsiasi linea chiusa che si svolge in Ω può essere diversa da zero.

Come abbiamo già anticipato, le correnti di magnetizzazione non possono che contribuire allo stesso modo delle correnti libere e di polarizzazione alla circuitazione del campo magnetico nella legge di Maxwell. Di conseguenza, in presenza di materiali dielettrici la legge Ampere-Maxwell (2.143) diventa:

B µ₀ ⋅ˆ t dl

Γ

∫

^{= i}

[

^{S( )lib}

^{( )}

^{t + iS(mag)}

^{( )}

^t

]

^{+ ∂D}_∂t ^{⋅ ˆ n dS}

∫∫

S ^{, (2.159)}

dove i_S^{( )lib} e i_S^{( )mag} sono, rispettivamente, l’intensità di corrente elettrica libera e l’intensità di corrente di magnetizzazione che attraversano la superficie aperta S delimitata dalla linea chiusa

Γ. Sostituendo nella (2.159) l’espressione di i_S^{( )mag} data dalla nella (2.154) si ha

22La circuitazione di un campo vettoriale uniforme è sempre uguale a zero.

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B µ₀ ⋅ˆ t dl

Γ

∫

^{= iS( )lib}

^{( )}

^t + M ⋅ˆ t dl

Γ

∫

^{+ ∂D}_∂t ^{⋅ ˆ n dS}

∫∫

S ^{. (2.160)}

E’ utile riscrivere questa relazione raggruppando i due termini espressi attraverso la circuitazione. Così facendo si ottiene la seguente equazione,

B µ₀ −M



  

  ⋅ˆ t dl

Γ

∫

^{= iS( )lib}

^{( )}

^{t + ∂D}_∂t ^{⋅ ˆ n dS}

∫∫

S ^{. (2.161)}

Introducendo, allora, il campo intensità campo magnetica H, così definito H≡ B

µ₀ −M, (2.162)

la legge di Ampere-Maxwell assume la forma, più generale,

H⋅ˆ t dl

Γ

∫

^{= iS( )lib}

^{( )}

^{t + ∂D}_∂t ^{⋅ ˆ n dS}

∫∫

S ^{. (2.163)}

In assenza di materiali magnetici si ha M= 0, quindi H= B /µ₀ e la (2.163) si riduce alla legge di Ampere-Maxwell per il vuoto. Nel Sistema Internazionale le dimensioni fisiche del campo di intensità magnetica sono il “ampere /metro” (A /m).

Il vantaggio nell’introdurre l’intensità del campo magnetico H come un’ulteriore variabile è analogo a quello che si ha nell’introdurre il campo di spostamento elettrico D: sta proprio nel fatto che nella legge di Ampere-Maxwell (2.163) compare come “sorgente” solo l’intensità di corrente elettrica libera, cioè le correnti che possiamo “controllare” attraverso conduttori: il contributo delle correnti di magnetizzazione situate nel materiale magnetico è portato in conto dalla presenza dell’intensità del campo magnetico.

Sotto ipotesi non affatto molto restrittive il campo magnetico B (in un materiale magnetico) può essere espresso in funzione dell’intensità del campo magnetico H che agisce nel materiale, attraverso una relazione che dipende solo dalla costituzione fisico-chimica del materiale magnetico. Alla relazione tra il campo B e il campo H in un materiale magnetico si dà il nome di relazione costitutiva del materiale magnetico.

I materiali diamagnetici e paramagnetici sono, sostanzialmente, materiali senza memoria, lineari e isotropi, quindi si ha

B=µH. (2.164)

Il coefficiente µ prende il nome di permeabilità magnetica del materiale. Per i materiali diamagnetici si ha 0< µ < µ₀ in accordo con le considerazioni precedentemente svolte, invece per i materiali diamagnetici si ha µ > µ₀. E’ immediato verificare che tra la magnetizzazione M e l’intensità del campo magnetico H, in questi casi, esiste la relazione

M= µ₀χ_mH; (2.165)

il coefficiente χ_m, detto suscettività magnetica, è dato da χ = µ_r − 1, dove µ_r = µ /µ₀ è la permeabilità magnetica relativa.

Per i materiali diamagnetici la suscettività magnetica è negativa ed è molto piccola in valore assoluto, dell’ordine di 10⁻⁵ nella maggior parte dei casi; ad esempio, per il rame si ha

χ_m= −0.9 ×10⁻⁵. Fa eccezione il bismuto per il quale si ha χ_m= −1.6 ×10⁻⁴.

Per i materiali diamagnetici la suscettività magnetica è positiva ed è circa 100 volte maggiore di quella dei materiali diamagnetici (in valore assoluto). I materiali paramagnetici sono tutti quegli atomi, ioni e molecole che hanno gusci elettronici incompleti, il che si verifica per la massima parte delle sostanze. Un ulteriore contributo alla magnetizzazione nei metalli paramagnetici può venire dal momento magnetico intrinseco degli elettroni liberi come, ad esempio, nel sodio, platino, alluminio, tungsteno, metalli alcalini e alcalino-terrosi.

x B= Bˆx

H= Hˆx

Figura 2.34

∆B = µ₀∆H

H_M H_C

B_max B

H B_r

0

A

Figura 2.35 Ciclo di isteresi di un materiale ferromagnetico

I materiali ferromagnetici, invece, hanno memoria e il loro comportamento è fortemente non lineare a causa del fenomeno di isteresi magnetica. Si consideri un provino cilindrico di materiale ferromagnetico, molto lungo e sottile, e si assuma che sia inizialmente smagnetizzato, cioè al suo interno sia M= 0. Si applichi una intensità di campo magnetico H lungo l’asse del provino e si misuri la componente del campo magnetico, B, indotta lungo la stessa direzione, Figura 2.34. Si riporti su di un piano il grafico dell’andamento del campo magnetico B in funzione dell’intensità H. In Figura 2.35 è riportata una vicenda tipica di magnetizzazione: si distinguono una curva di prima magnetizzazione (tratto OA) e, a partire dal punto A, un processo ciclico che, come si vede, può non richiudersi esattamente. Se l’intensità del campo magnetico viene invertito tra i valori ±H_M, l’evoluzione si assesta su cicli simmetrici di isteresi. Al variare

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di H_M varia l’ampiezza e, quindi, l’area dei cicli. Il raggiungimento della saturazione è evidenziato dal fatto che, per campi sufficientemente intensi, l’incremento ∆B corrispondente ad un incremento ∆H è lo stesso che si avrebbe nel vuoto e cioè ∆B = µ₀∆H : in queste condizioni tutti i dipoli elementari sono allineati parallelamente al campo magnetico. Il ciclo di isteresi che viene assunto come termine di paragone è quello descritto a partire dalla saturazione.

Tabella V Caratteristiche dei materiali ferromagnetici

Materiali “dolci” µ_r^{(i )} µ_r^(max) B_max

( )

T ^Br

( )

T ^Hc

(

A/m

)

Cobalto 10 175 1.79 0.31 10

Nichel 400 1100 0.61 0.33 1.3

Ferro puro 10⁴ 2⋅10⁵ 2.16 1.2 4 ⋅10⁻²

Ferro commerciale 200 5000 2.16 1.2 0.8

Ghisa 70 600 2.1 1.4 5

Ferro-Silicio (4%) 500 7000 2.14 0.8 0.4

Permalloy

(Ni-Fe 22%) 10⁴ 5⋅10⁵ 1.08 0.6 4 ⋅10⁻²

Superpermalloy

(Ni-Fe 15%, Mo 5%, Mn 0,5%) 10⁵ 3⋅10⁵ 0.78 0.6 4 ⋅10⁻³ Mumetal

(Ni-Cu 5%-Cr 2%) 2.5⋅10⁴ 1.5⋅10⁵ 0.75 0.6 1.2 ⋅10⁻²

Isoperm

(Fe-Ni 40%-Cu 10%) 50 50 1.0 4 ⋅10⁻² 4⋅10⁻²

Materiali “duri” BH max

J/m³

B_r

( )

T H_c

(

A/m

)

Acciaio al tungsteno - - 2640 1.05 5600

Alnico V

(Fe, Al 8%, Ni 14%, Co 24%, CU 3%) - - 42400 1.25 50000

I principali parametri usualmente considerati per la caratterizzazione dei legami B− H sono:

- le permeabilità relative differenziali valutate lungo la curva di prima magnetizzazione secondo la µ_{r d( )}= 1

µ₀ dB

dH, in particolare quella iniziale B

(

= 0,H = 0

)

e quella massima;

- il valore della magnetizzazione di saturazione M_s = B_max /µ₀;

- il campo magnetico residuo che si ha quando l’intensità del campo magnetico è portata a zero;

- il campo coercitivo H_C che è necessario applicare nel verso opposto a x ˆ per ridurre a zero il campo magnetico residuo;

- l’area del ciclo massimo che è uguale al lavoro elettrico che bisogna spendere per dar luogo al ciclo, lavoro che è tutto dissipato in calore; oppure il valore massimo del prodotto

BH valutato lungo il ciclo, di particolare interesse nelle applicazioni che sfruttano il magnetismo permanente.

Le varietà dei comportamenti, sensibilissimi alle variazioni delle composizioni e dei trattamenti, è tale da rendere impossibile la presentazione di un quadro esauriente. In Tabella V vengono riportati i parametri caratteristici dei materiali più comuni nelle applicazioni.

Vengono elencati anzitutto i tre elementi che allo stato puro sono ferromagnetici; li affianchiamo con alcune leghe. Indice di qualità di queste materiali sono gli elevati valori della permeabilità e il basso valore del campo coercitivo, cui si collega il basso valore dell’area del ciclo. Questi materiali ferromagnetici sono detti dolci e vengono impiegati in tutte quelle applicazioni in cui interessa limitare al massimo le correnti necessarie per produrre e controllare il flusso del campo magnetico necessari per l’applicazione specifica (nuclei di elettromagneti in continua o in alternata, rotori e statori di macchine elettriche rotanti, nuclei dei trasformatori e di induttori con alto coefficiente di autoinduzione, …), ovvero per canalizzarli e distribuirli in modo particolare (schermi magnetici, magneti di deflessione per particelle cariche, …).

Un secondo gruppo è costituito da materiali che hanno un elevato campo coercitivo e un elevato prodotto BH . Questi materiali ferromagnetici, detti duri, vengono impiegati per realizzare flussi magnetici costanti nel tempo (magneti permanenti, calamite, …).

Nel documento E QUAZIONI DI M AXWELL (pagine 46-55)