Dielettrici

cioè il comportamento dei conduttori ideali: in questo caso pur in presenza di correnti nel conduttore il campo elettrico è nullo.

Si rileva sperimentalmente che, per un’ampia classe di conduttori e in un largo campo di temperature, la resistività varia pressoché linearmente, secondo la legge

η = η₀

[

1+ α T − T

(

₀

) ]

^, (2.118)

dove T₀ è la temperatura di riferimento, assunta pari a quell’ambiente T₀ = 20°C, η₀ è la resistività alla temperatura T₀ e α è il cosiddetto coefficiente di temperatura del conduttore. La Tabella III riporta i valori tipici di η₀, γ₀ e α.

Se il materiale conduttore è in moto con velocità V ed è immerso in un campo magnetico (Figura 2.20b), all’azione del campo elettrico bisogna aggiungere l’azione del campo V× B: questo contributo è dovuto al termine della forza di Lorentz dipendente dal campo magnetico. In un conduttore in moto con velocità V, la velocità macroscopica del generico elettrone libero è data dalla somma della velocità dovuta all’azione della forza di Lorentz e della velocità di trascinamento V dovuta al moto del reticolo in cui l’elettrone, pur essendo libero, è obbligato a muoversi. Essendo la velocità dovuta all’azione della forza di Lorentz trascurabile (dell’ordine dei µm /s), resta solo il contributo dovuto alla velocità di “trascinamento” V .

Nelle pile, nelle celle solari o nelle celle a combustibile, oltre al campo elettrico macroscopico, sulle cariche libere presenti nel materiale (che è ovviamente un materiale conduttore) agisce anche un campo, di natura diverso da quello elettrico macroscopico (ad esempio, di natura chimica nelle pile e nelle celle a combustibile, di natura fotovoltaica nelle celle solari), denominato campo elettromotore , che indichiamo con il simbolo E_m, Figura 2.20c.

La relazione costitutiva di un conduttore ohmico in moto in un campo magnetico e in presenza di un campo elettromotore è, allora,

J= γ E + V ×B + E

(

_m

)

, (2.119)

dove V e E_m sono grandezze che possono essere considerate assegnate. Le “sorgenti” del campo elettromagnetico che noi siamo in grado di controllare effettivamente, ad esempio, attraverso

“manopole” o “interruttori”, sono proprio i termini V×B e E_m che compaiono nella (2.119). Le sorgenti elementari del campo elettromagnetico, cioè le cariche e le correnti libere, sono esse stesse incognite del problema: esse non possono essere controllate in modo diretto.

In conclusione la presenza di materiali conduttori non altera la struttura delle equazioni di Maxwell così come è stata descritta nel precedente paragrafo. In realtà, attraverso i conduttori è possibile produrre proprio le cariche e le correnti che compaiono come sorgenti elementari nelle equazioni di Maxwell, solo che queste cariche e queste correnti non sono note ma sono esse stesse incognite del problema. Le sole grandezze note sono, ad esempio, le velocità con cui ruotano i rotori nelle dinamo e negli alternatori e i campi elettromotori che agiscono nelle pile, nelle celle a combustibile o nelle celle solari.

38

siano presenti intensi campi elettrici in grado di rompere i forti legami tra i portatori di carica come, ad esempio, si verifica nelle scariche elettriche).

In condizioni di equilibrio, in assenza di cause che influiscano sulla distribuzione delle cariche macroscopiche, il campo elettrico macroscopico prodotto da un dielettrico è uguale a zero, poiché i contributi delle distribuzioni di carica opposte si bilanciano tra loro. Se il corpo viene immerso in un campo elettrico, i portatori positivi sono sollecitati da forze dirette nel senso del campo, quelli negativi da forze dirette in senso opposto. Gli spostamenti risultanti sono piccoli, dell’ordine delle dimensioni atomiche o molecolari, ma la distribuzione di carica viene alterata rispetto a quella di equilibrio, contribuendo così a modificare in modo apprezzabile il campo elettrico che l’ha generata. In queste condizioni, il dielettrico si dice polarizzato elettricamente.

Tra gli aggregati di cariche elementari particolarmente importante è il dipolo elettrico costituito da due portatori di carica con carica elettrica, rispettivamente, +q e −q, posti a distanza h l’una dall’altra, Figura 2.21a. Diremo che il dipolo è elementare quando la distanza h è molto piccola, non solo in relazione alla scala macroscopica, ma anche rispetto alle distanze dagli altri dipoli.

+ q

− q

d p E

qE

−qE

(a) (b) (c)

C E

C= 0

Figura 2.21 Dipolo elettrico

Un dipolo elettrico è caratterizzato dal suo momento: il vettore p di modulo qd, la cui direzione coincide con quella del segmento di lunghezza d che congiunge le due cariche e il cui verso va dalla carica negativa alla carica positiva,

p= qd. (2.120)

Nel Sistema Internazionale il momento di dipolo elettrico ha le dimensioni fisiche di

“coulomb⋅ metro” (C⋅ m).

Cosa accade a un dipolo elettrico elementare quando interagisce con un campo elettrico uniforme (Figura 2.21b) ? La risultante delle forze che agiscono sul dipolo elettrico è uguale a zero, perché la forza che agisce sulla carica positiva è uguale in modulo e ha verso opposto alla forza che agisce sulla carica negativa ¹⁹. Pur essendo il risultante del sistema di forze che agiscono sul dipolo uguale a zero, il momento di questo sistema di forze è diverso da zero, Figura 2.21b. La coppia del momento del sistema di forze che agiscono sul dipolo è data da

C= p ×E. (2.121)

Dunque, il dipolo elettrico immerso in un campo elettrico uniforme non si sposta ma ruota, se libero da ulteriori vincoli, fino ad allinearsi con il campo elettrico: quando il momento di dipolo è allineato con il campo elettrico la coppia è uguale a zero, Figura 2.21c. Esistono due configurazioni di equilibrio con coppia nulla: una con p ed E equiversi (paralleli) e una con p ed E in verso opposto (antiparalleli). Solo la prima posizione di equilibrio è stabile: se infatti si

19La forza risultante su un dipolo elettrico elementare in un campo elettrico non uniforme è diversa da zero: infatti, a causa della non uniformità del campo la forza che agisce sulla carica positiva è diversa sia in modulo che in direzione da quella che agisce sulla carica negativa.

sposta, con una piccola frazione, il dipolo dalla sua posizione di equilibrio, è facile vedere che nel primo caso tende a tornare nella posizione iniziale, mentre nel secondo tende ad allontanarsene.

− −

−

− − −

− −

+8e

− −−

+1e− − −

− +1e−

××

baricentro cariche positive baricentro

cariche negative

p₀

− −

−

− − −

− −

+8e − −

−

− − −

− −

× +8e baricentro delle cariche positive e negative

(a) (b)

Figura 2.22 (a) Una molecola di ossigeno con momento di dipolo uguale a zero; (b) una molecola d’acqua con momento di dipolo permanente p₀.

Le sostanze sono, come suol dirsi, a comportamento polare o non polare, Figura 2.22. Nel primo caso (ad esempio, l’ammoniaca, l’acqua, l’acido cloridrico) ciascuna molecola costituisce un dipolo elettrico “permanente” indipendentemente da azioni esterne, Figura 2.22b. Nel secondo caso (Figura 2.22a), invece, la caratteristica dipolare dell’atomo o della molecola insorge come effetto, appunto, di una sollecitazione applicata dall’esterno come, ad esempio, attraverso un campo elettrico (è il caso, ad esempio, della molecola di ossigeno, della mica, della paraffina, dell’idrogeno, dei gas nobili). L’ordine di grandezza del momento dei dipoli permanenti corrisponde al prodotto della carica dell’elettrone per una frazione del “raggio”

atomico (10⁻¹⁰m) .

Un elemento di volume fisicamente infinitesimo di dielettrico contiene un elevatissimo numero di atomi o di molecole. Questo volume può essere polarizzato utilizzando due diversi meccanismi.

− +1e−

E= 0 −

−

E≠ 0

Figura 2.23 Atomo apolare: un campo elettrico induce un momento di dipolo elettrico.

Supponiamo, dapprima, che gli atomi o le molecole siano apolari, Figura 2.23. Con un campo elettrico esterno è possibile indurre in ciascun atomo o molecola un momento di dipolo elementare deformando l’atomo o la molecola. E’ evidente, allora, che se il campo applicato è uniforme nell’elemento di volume in esame tutti i dipoli elementari indotti risulteranno praticamente allineati tra loro, dando così luogo a un momento di dipolo netto diverso da zero, Figura 2.23. Questo meccanismo di polarizzazione prende il nome di polarizzazione per deformazione.

Consideriamo, ora, il caso di molecole o atomi polari. In assenza di cause esterne che influiscano sulla orientazione dei singoli dipoli, il momento di dipolo netto nel volume elementare è mediamente uguale a zero a causa dell’agitazione termica dovuta alla temperatura (assoluta) diversa da zero del materiale. Solo in presenza di un’agente “esterno” come, ad esempio, un campo elettrico è possibile fare assumere ai singoli dipoli permanenti una stessa direzione e, quindi, avere un momento di dipolo netto per l’elemento di volume diverso da zero, Figura 2.24. Questo meccanismo di polarizzazione prende il nome di polarizzazione per orientazione.

40

E= 0 E≠ 0

p_i

p

Figura 2.24

Si assuma che nell’elemento di volume siano presenti dN atomi o molecole con momenti di dipolo p₁,p₂,...,p_dN(Figura 2.25a) al generico istante t. Si definisce il valor medio del momento di dipolo nel punto P come

p = 1 dN p_i

i=1

∑

dN ^{. (2.122)}

+ q

− q d p p

p₁ p₂

(a) (b) (c) Figura 2.25

Il momento di dipolo medio è uguale a zero se i singoli dipoli, che si trovano nella regione elementare, sono orientati in modo casuale. Il modello macroscopico del fenomeno della polarizzazione di un dielettrico consiste nel rappresentare il dielettrico attraverso un continuo di dipoli elettrici elementari eguali, di momento p , Figura 2.25b, distribuiti con densità numerica

c =dN

dV . (2.123)

Posto

d =1

q p , (2.124)

il momento di dipolo medio p è il momento del dipolo elettrico equivalente composto dalle due cariche elettriche +q e −q, poste a distanza d lungo la retta orientata secondo la direzione e il verso di d , Figura 2.25c.

Il continuo di dipoli elementari con densità numerica c e momento elementare p può essere descritto attraverso il vettore di polarizzazione P (detto anche intensità di polarizzazione), definito come momento di dipolo elettrico per unità di volume. Si consideri una regione fisicamente infinitesima centrata nel punto P di volume dV. La polarizzazione nel punto P all’istante t è, per definizione, il rapporto tra il momento di dipolo risultante della regione elementare all’istante t e il volume dV,

P= dN

dV p . (2.125)

ovvero

P= c p . (2.126) Il fenomeno della polarizzazione elettrica è caratterizzato dal campo di intensità di polarizzazione elettrica P, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo elettrico per unità di volume risultante dall’azione del campo elettromagnetico complessivo sul materiale. Nel Sistema Internazionale le dimensioni della polarizzazione sono

“coulomb/metro²” (C /m²).

ˆn Σ Ω

P

Figura 2.26

L’importanza fisica della polarizzazione sta in una notevole proprietà che ora brevemente illustreremo. Si assuma che sia nota la distribuzione della polarizzazione nel dielettrico. La carica elettrica netta contenuta all’interno di una generica regione Ω racchiusa dalla superficie chiusa Σ, orientata con la normale verso l’esterno, è uguale al flusso attraverso Σ della polarizzazione, cambiato di segno (Figura 2.26),

Q_Ω^{( )pol} = − P ⋅ ˆ n dS

∫∫

Σ ^. (2.127)

A questa carica elettrica legata si dà il nome di carica elettrica di polarizzazione, per distinguerla dalle cariche libere presenti nei conduttori. Essa contribuisce al flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa Σ allo stesso modo della carica elettrica libera.

La (2.127) può essere così spiegata. Alla carica di polarizzazione contenuta nel volume Ω contribuiscono solo i dipoli elementari “tagliati in due parti” dalla superficie chiusa Σ che delimita Ω: i dipoli interni a Ω, non tagliati da Σ, contribuiscono con una carica netta identicamente nulla.

Si consideri, ora, un generico punto P di Σ e una superficie elementaredS centrata in P appartenente a Σ; sia n ˆ la normale a Σ in P diretta verso l’esterno. Si costruisca il cilindro obliquo, centrato in P, con superfici di base dS₋ e dS₊ di area uguale all’area dS, superficie laterale di direttrice parallela a d e lunghezza d , Figura 2.27. E’ evidente che tutti i dipoli elementari il cui centro si trova in questo cilindro sono tagliati dalla superficie elementare dS. Se d ⋅ ˆ n > 0 i portatori di carica negativa si trovano in Ω e il volume del cilindro è uguale a d ⋅ ˆ n dS ; invece, se d ⋅ ˆ n < 0 i portatori di carica positiva si trovano in Ω e il volume del cilindro è uguale a − d ⋅ ˆ n dS . Si consideri il caso in cui d ⋅ ˆ n > 0 . Il contributo alla carica di polarizzazione dell’elemento di superficie dS è uguale, in questo caso, al prodotto tra il numero di dipoli elementari, dN_C, situati nel cilindro e la carica −q,

dQ_Ω^{( )pol} = −qdN_C. (2.128)

42 d ˆn

dS P

dS₊

dS₋ Figura 2.27

Il numero di dipoli elementari situati nel cilindro è uguale al prodotto tra la densità numerica di dipoli elementari e il volume del cilindro obliquo,

dN_C = c d ⋅ ˆ n dS . (2.129)

Sostituendo la (2.129) nella (2.128), si ottiene

dQ_Ω^{( )pol} = −qn d ⋅ ˆ n dS , (2.130)

quindi

dQ_Ω^{( )pol} = −P ⋅ ˆ n dS . (2.131)

E’ immediato verificare che nel caso d ⋅ ˆ n < 0 si ottiene la stessa espressione. La relazione (2.131) dà il contributo della superficie elementare dS alla carica elettrica di polarizzazione contenuta in Ω. Allora, la carica elettrica di polarizzazione contenuta nella regione Ω delimitata dalla superficie chiusa Σ è data dal flusso della polarizzazione P attraverso Σ, con il segno cambiato.

Se applichiamo la (2.126) a una superficie chiusa Σ₀ che racchiude il dielettrico si ha Q_Σ^{( )pol}₀ = 0, perché all’esterno del dielettrico la polarizzazione è uguale a zero, Figura 2.28a. Ciò è in accordo con il fatto che la carica elettrica netta associata a una qualsiasi distribuzione di dipoli è sempre uguale a zero.

Σ ˆn

Ω dielettrico

Σ

Σ

Σ (a) (b) (c) (d)

Figura 2.28

Si consideri, ora, una distribuzione uniforme di polarizzazione all’interno della regione di spazio Ω. E’ evidente che il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa che si trova completamente in Ω è uguale a zero ²⁰, Figura 2.28b. Invece, la carica netta di polarizzazione all’interno di qualsiasi superficie chiusa che si trova a cavallo della frontiera di Ω può essere diversa da zero, Figura 2.28c. In corrispondenza della superficie del dielettrico c’è una distribuzione con densità superficiale di carica di polarizzazione.

Si consideri, infine, in Ω una distribuzione di polarizzazione non uniforme, Figura 2.28d. In queste situazioni, la carica di polarizzazione all’interno di una generica superficie chiusa situata completamente in Ω può essere diversa da zero.Come abbiamo già anticipato, le cariche di polarizzazione non possono che contribuire allo stesso modo delle cariche libere al flusso del campo elettrico attraverso una generica superficie chiusa. Di conseguenza, in presenza di materiali dielettrici la legge di Gauss (per il campo elettrico) diventa:

( )

ε₀E ^{⋅ ˆ n dS=}

∫∫

Σ ^{QΩ( )lib + QΩ( )pol ,} (2.132)

dove Q_Ω^{( )lib} e Q_Ω^{( )pol} sono, rispettivamente, la carica libera netta e la carica di polarizzazione netta contenute nella regione Ω delimitata dalla superficie Σ. Sostituendo nella (2.132) l’espressione di Q_Σ^{( )pol} data dalla (2.126) si ha

( )

ε₀E ^{⋅ ˆ n dS=}

∫∫

Σ ^{QΩ( )lib − P ⋅ ˆ n dS}

∫∫

Σ ^. (2.133)

E’ utile riscrivere questa relazione raggruppando i due termini espressi attraverso flussi. Così facendo si ottiene la seguente equazione,

(

ε₀E+ P

)

^{⋅ ˆ n dS=}

∫∫

Σ ^{QΩ( )lib .} (2.134)

Introducendo, allora, il campo di spostamento elettrico D, così definito

D≡ ε₀E+ P, (2.135)

la legge di Gauss (per il campo elettrico) assume la forma, più generale,

D⋅ˆ n dS=

∫∫

Σ ^{QΩ( )lib .} (2.136)

In assenza di dielettrici si ha P= 0, quindi D= ε₀E e la (2.136) si riduce alla legge di Gauss per il vuoto (2.37). Nel Sistema Internazionale le dimensioni fisiche del campo di spostamento elettrico sono il “coulomb/metro²” (C /m²).

Così come la carica elettrica libera, anche la carica elettrica legata deve verificare la legge della conservazione della carica. Ciò implica che, se la carica di polarizzazione netta contenuta all’interno di una data regione Ω varia nel tempo, deve esserci una corrente elettrica di

20Il flusso attraverso una superficie chiusa di un campo vettoriale uniforme è sempre uguale a zero.

44

polarizzazione che attraversa la frontiera Σ di Ω. Il campo di densità di corrente di polarizzazione J_pol è dato da ²¹

J_pol =∂P

∂t . (2.137)

E’ immediato verificare che il campo J_pol dato dalla (2.137) verifica l’equazione di conservazione della carica di polarizzazione,

J_pol ⋅ ˆ n dS = −dQ_Ω^{( )pol}

Σ dt

∫∫

^{. (2.138)}

Infatti, sostituendo la (2.126) nella (2.137) si ottiene (Σ è invariabile nel tempo)

J_pol ⋅ ˆ n dS = d

Σ dt

∫∫

^{P⋅ ˆ n dS = ∂P}_∂t ^{⋅ ˆ n dS}

∫∫

Σ

∫∫

Σ ^{. (2.139)}

Le correnti elettriche di polarizzazione non possono che contribuire allo stesso modo delle correnti elettriche libere alla circuitazione del campo magnetico nella legge di Ampere-Maxwell (2.63). Di conseguenza, in presenza di materiali dielettrici la legge di Ampere-Maxwell diventa:

B µ₀ ⋅ˆ t dl

Γ

∫

^{= µ0}

[

^{iS( )lib}

^{( )}

^{t + iS( )pol}

^{( )}

^t

]

⁺ _∂t^∂

^{( )}

^{ε0E ⋅ ˆ n dS}

∫∫

S ^{, (2.140)}

dove i_S^{( )lib} e i_S^{( )pol} sono, rispettivamente, l’intensità di corrente elettrica libera e l’intensità di corrente elettrica di polarizzazione che attraversano la superficie aperta S delimitata dalla linea chiusa Γ. Essendo

i_S^{( )pol} = J_pol⋅ ˆ n dS

∫∫

S ^, (2.141)

dalla (2.137) si ha

i_S^{( )pol} = ∂P

∂t ⋅ ˆ n dS

∫∫

S ^{. (2.142)}

Sostituendo la (2.142) nella (2.140) si ottiene finalmente la legge di Ampere-Maxwell in presenza di dielettrici,

B µ₀ ⋅ˆ t dl

Γ

∫

^{= iS( )lib}

^{( )}

^{t + ∂D}_∂t ^{⋅ ˆ n dS}

∫∫

S ^{. (2.143)}

Il vantaggio nell’introdurre il campo di spostamento elettrico D come un’ulteriore variabile sta proprio nel fatto che nella legge di Gauss (2.136) compare come “sorgente” solo la carica

21 La quantità di carica elettrica di polarizzazione netta che nell’intervallo di tempo t ,t + dt( ) attraversa la superficie elementare dS, contando con il proprio segno le cariche che l’attraversano nel verso definito da ˆ n e con il segno cambiato le cariche che l’attraversano nel verso opposto è data da

[

(∂P /∂t)dt

]

^{⋅ ˆ n dS.}

elettrica libera, e nella legge di Ampere-Maxwell compare solo l’intensità di corrente elettrica libera, cioè le sorgenti che possiamo “controllare” attraverso i conduttori: il contributo delle cariche e delle correnti di polarizzazione è portato in conto, in entrambe le leggi, dal campo di spostamento elettrico.

Sotto ipotesi non affatto molto restrittive il campo di spostamento elettrico D (in un dielettrico) può essere espresso in funzione del campo elettrico E che agisce nel dielettrico, attraverso una relazione che dipende solo dalla costituzione fisico-chimica del dielettrico e non, ad esempio, dalla sua forma. A questa relazione si dà il nome di relazione costitutiva del dielettrico.

Nei materiali dielettrici più comuni il campo D in un generico punto del dielettrico e in un generico istante dipende solo dal valore del campo elettrico E in quel punto e in quell’istante (non dipende ne dai valori del campo elettrico negli altri punti, ne dalla storia passata). Allora, D è una funzione non lineare di E,

D = D E

( )

. (2.144)

Tabella IV Costante dielettrica relativa di alcuni dielettrici lineari.

Materiale ε/ε₀

Nylon 3.7÷5.5

Carta 2÷2.5

Porcellana 5÷7

Aria 1.00059

Vetro ordinario 5÷7.6

Mica 5.7÷6.5

Olio per trasformatori 2.2 Acqua distillata 80.1

Per i dielettrici lineari e isotropi esiste una relazione lineare tra il campo E e il campo D

D= εE. (2.145)

Il coefficiente ε prende il nome di costante dielettrica e si ha in ogni caso ε ≥ ε₀. Nella Tabella IV sono riportati i valori della costante dielettrica relativa ε_r ≡ ε /ε₀, per alcuni materiali di uso comune. E’ immediato verificare che tra la polarizzazione P e il campo elettrico, in questi casi, esiste la relazione

P = ε⁰χE, (2.146)

dove il coefficiente _χ, detto suscettività dielettrica, è data da _{χ = εr} −1; in qualsiasi condizioni è χ ≥1.

In realtà, un materiale non può essere considerato lineare per ogni valore del campo elettrico applicato: generalmente, una relazione lineare tra polarizzazione e campo elettrico applicato sussiste per campi di intensità non troppe elevate.

Nei dielettrici non lineari e isotropi, la polarizzazione è sempre parallela al campo elettrico, ma satura a un valore caratteristico del materiale per valori elevati del campo elettrico. I dielettrici non lineari hanno, dal punto di vista applicativo, importanza minore di quella dei dielettrici lineari.

Per tutti i dielettrici si ha un valore (in genere assai elevato) del campo elettrico (caratteristico del materiale e dipendente dalle condizioni fisiche in cui si trova) raggiunto il quale avviene la

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scarica nel dielettrico, cioè un violento fenomeno di conduzione. Ricordiamo che un dielettrico (ideale) è un isolante perfetto. Quando ciò accade si parla di “rottura” del dielettrico, e il valore

Emax del campo elettrico, al di sopra del quale si ha la rottura del dielettrico, prende il nome di rigidità dielettrica.

Tabella V Rigidità dielettrica.

Materiale E_max

(

V/ m

)

Aria (1atm) 3×10⁶

Nylon 5÷ 20 ×10⁶

Olio per trasformatori 5÷ 30 ×10⁶ Vetro e mica 40÷60 ×10⁶

Nel documento E QUAZIONI DI M AXWELL (pagine 37-46)