statiche
In questo paragrafo si confrontano le capacit`a di carico dei cuscinetti ottenute dalle precedenti prove (magnete superiore in rotazione) con le prove statiche (magnete superiore fermo).
0 50 100 150 200 250 300 350 −200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200 250 Angolo ° Carico radiale [N]
Andamento del carico radiale per il magnete MPN 15−45 per e=2mm e g=0.1mm
Carico rad.1 Carico rad.2 Carico rad.ris
Figura 3.35: Carico radiale del cuscinetto MPN 15-45 per e = 2,gap = 0.1mm 0 50 100 150 200 250 300 350 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Angolo ° Carico assiale [N]
Andamento del carico assiale statico
Figura 3.36: Carico assiale del cuscinetto MPN 15-45 per e = 2,gap = 0.1mm
0 50 100 150 200 250 300 350 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 Angolo ° Carico radiale [N]
Andamento del carico radiale per il magnete MPN 15−45 per e=0mm Carico rad.1 Carico rad.2 Carico rad.ris
Figura 3.37: Carico radiale del cuscinetto MPN 15-45 per e = 0,gap = 0.1mm 0 50 100 150 200 250 300 350 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Angolo ° Carico assiale [N]
Andamento del carico assiale statico
Figura 3.38: Carico assiale del cuscinetto MPN 15-45 per e = 0,gap = 0.1mm
0 50 100 150 200 250 300 350 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 Angolo ° Carico radiale [N]
Andamento del carico radiale per il magnete MPN 10−40 per e=0mm e gap=0.1mm Carico rad.1 Carico rad.2 Carico rad.ris
Figura 3.39: Carico radiale del cuscinetto MPN 10-40 per e = 0,gap = 0.1mm 0 50 100 150 200 250 300 350 0 200 400 600 800 1000 1200 Angolo ° Carico assiale [N]
Figura 3.40: Carico assiale del cuscinetto MPN 10-40 per e = 0,gap = 0.1mm
0 2 4 6 8 10 12 0 100 200 300 400 500 600 700 800 gap [mm] Carico assiale [N]
Confronto carico assiale per e=0mm
0giri/min 500giri/min 1000giri/min 2000giri/min 3000giri/min
Figura 3.41: Confronto del carico assiale tra prove statiche ed in rotazione (MPN 10-40, e = 0)
I valori dei carichi relativi alla condizione statica sono ottenuti ruotan- do manualmente il magnete superiore, da 0◦ a 360◦ con incrementi di
45◦ e calcolando il valor medio delle otto posizioni angolari per ogni
valore del gap e dell’eccentricit`a tra i magneti (figure 3.35 − 3.40). An- che per le prove in rotazione si considerer`a il valor medio del segale. Si `e visto infatti che i disturbi sono assimilabili a sinusoidi.
Nelle figure 3.41-3.49 si riportano i confronti dei carichi assiali e ra- diali in funzione del gap e del numero di giri del magnete superiore ad eccentricit`a tra i magneti fissata.
Dai grafici emerge subito un aspetto importante:
confrontando i valori dei carichi assiali a diversi giri si nota la coinci- denza delle curve carico-gap per i diversi numeri di giri del magnete superiore (500 giri/min, 1500 giri/min e 3000 giri/min); da questo fatto possiamo asserire immediatamente che sono esclusi gli effetti delle correnti parassite (riscaldamento dei magneti) sul valore delle forze. Infatti se fossero presenti questi dovrebbero aumentare all’aumentare del numero di giri, le correnti indotte infatti sono date dall’equazione
~
J = σ( ~E + ~v × ~B), dove v = ω ∗ R ´e la velocit`a circonferenziale del
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 640 660 680 700 720 740 760 gap [mm] Carico assiale [N]
Confronto carico assiale per e=0mm
0giri/min 500giri/min 1000giri/min 2000giri/min 3000giri/min
Figura 3.42: Zoom della figura 3.41 (MPN 10-40, e = 0)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 30 40 50 60 70 80 gap [mm] Carico radiale [N]
Confronto carico radiale 10−40 per e=0mm
0giri/min 500giri/min 1500giri/min 3000giri/min
Figura 3.43: Confronto del carico radiale risultante tra prove statiche ed in rotazione (MPN 10-40, e = 0)
0 2 4 6 8 10 12 0 100 200 300 400 500 600 700 gap [mm] Carico assiale [N]
Confronto carico assiale per e=2mm
0giri/min 500giri/min 1000giri/min 2000giri/min 3000giri/min
Figura 3.44: Confronto del carico assiale tra prove statiche ed in rotazione (MPN 10-40, e = 2mm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 gap [mm] Carico radiale [N]
Confronto carico radiale 10−40 per e=2mm
0giri/min 3000giri/min 1500giri/min 500giri/min
Figura 3.45: Confronto del carico radiale risultante tra prove statiche ed in rotazione (MPN 10-40, e = 2mm)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 gap [mm] Carico assiale [N]
Confronto carico assiale per e=2mm per il cuscinetto MPN 15−45 0giri/min 500giri/min 1000giri/min 2000giri/min 3000giri/min
Figura 3.46: Confronto del carico assiale tra prove statiche ed in rotazione (MPN 15-45, e = 2mm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 50 100 150 200 250 gap [mm] Carico radiale [N]
Confronto carico radiale 15−45 per e=2mm
0giri/min 500giri/min 1500giri/min 3000giri/min
Figura 3.47: Confronto del carico radiale risultante tra prove statiche ed in rotazione (MPN 15-45, e = 2mm)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 200 400 600 800 1000 1200 gap [mm] Carico assiale [N]
Confronto carico assiale per e=0mm per il cuscinetto MPN 15−45 0giri/min 500giri/min 1000giri/min 2000giri/min 3000giri/min
Figura 3.48: Confronto del carico assiale tra prove statiche ed in rotazione (MPN 15-45, e = 0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 gap [mm] Carico radiale [N]
Confronto carico radiale 15−45 per e=0mm
0giri/min 500giri/min 1500giri/min 3000giri/min
Figura 3.49: Confronto del carico radiale risultante tra prove statiche ed in rotazione (MPN 15-45, e = 0)
aspettare una variazione del carico assiale all’aumentare del numero di giri del magnete superiore.
La non influenza delle correnti parassite sulla temperatura `e stata con- fermata per via sperimentale misurando la temperatura dei magneti, mediante l’utilizzo di termocoppie, durante le prove. Si `e visto, che la temperatura dei magneti era sostanzialmente uguale alla temperatura ambiente.
Una spiegazione del fatto che i carichi assiali col magnete superiore in rotazione sono leggermente inferiori a quelli statici `e che nel mo- mento in cui viene posto in rotazione il mandrino la distanza effettiva tra i magneti (gap) aumenta leggermente (diminuizione della forza di repulsione) a causa di uno spostamento verso l’alto dell’albero a cui `e vincolato il magnete superiore.
Questa ipotesi `e stata confermata misurando mediante un sensore laser la distanza tra i magneti (gap) prima e dopo che il magnete superiore viene posto in rotazione. Si `e visto infatti che il sensore laser d`a un segnale non nullo nel momento in cui viene posto in rotazione il ma- gnete superiore.
Per quanto riguarda i carichi radiali dinamici essi sono fortemente influenzati dalla presenza di giochi meccanici e vibrazioni (assiali e ra- diali del mandrino).
Confrontando i carichi radiali a vari numeri di giri del mandrino con quelli statici (fig. 3.43, 3.45, 3.47 e 3.49) si nota che essi aumentano leggermente all’aumentare del numero di giri e che i carichi dinamici sono sempre superiori a quelli statici. Per spiegare questo fatto occorre tenere conto delle inerzie del mandrino e dell’anello superiore quando quest’ultimi vengono posti in rotazione.
Come `e noto dalla dinamica dei rotori se si pone in rotazione un albero avente un disco calettato all’estremit`a si incontrano con l’aumentare del numero di giri delle condizioni di funzionamento anormali, con l’apparizione di un inflessione dell’elemento e di vibrazioni pi`u o meno rilevanti. Ci`o `e dovuto al fatto che a causa della realizzazione tecno- logica e del montaggio, il baricentro di un sistema ruotante (nel nostro caso mandrino e magnete) non pu`o mai trovarsi esattamente sull’asse di rotazione. Perci`o quando la velocit`a di rotazione aumenta, la forza centrifuga agente nel baricentro tende ad inflettere l’albero in maniera progressiva. Pi`u l’albero si inflette, pi`u grande diventa l’eccentricit`a e pi`u grande diventa la forza centifuga.
Con riferimento alla figura 3.50 si supponga di avere un albero verticale con un disco molto sottile di massa m calettato alla sua mezzeria.
Figura 3.50: Configurazioni assunte dl sistema per ω = 0 e per ω < ωc
Tutta l’elasticit`a flessionale sia concentrata sull’albero, la cui mas- sa tuttavia risulti trascurabile. I supporti inoltre siano assimilabili a cerniere rigide. Si supponga ancora che il baricentro del sistema disti di una quantit`a e dall’asse di rotazione. Se si fa ruotare l’albero con ω crescenti, questi assumer`a una configurazione definita dalla condizione di equilibrio fra la forza centrifuga e la forza di richiamo elastica (fig. 3.50 b). La relazione che esprime tale equilibrio risulta:
m ∗ ω2∗ (e + y) = c ∗ y (3.1)
dove c rappresenta la rigidezza flessionale dell’albero. Ricavando il rapporto y/e, si ottiene:
y/e = 1
(ωc/ω)2− 1 (3.2)
avendo posto ω2
c = c/m.
Graficando la relazione 3.2 in funzione del rapporto (ω/ωc) si ottiene
la curva di figura 3.51 sulla quale si possono effettuare importanti considerazioni.
Si vede cos`ı che con l’aumentare della velocit`a angolare, il rappor- to y/e aumenta sino ad assumere un valore tendente all’infinito per (ω/ωc) = 1. Superato tale valore, con l’ulteriore aumento di ω, il
Figura 3.51: Curva di risonanza del rotante ideale
Figura 3.52: Schematizzazione del mandrino come mensola
rapporto y/e tende ad uno, mostrando come il sistema tende ad auto- centrarsi, cio`e tenda ad annullare l’eccentricit`a del baricentro rispet- to all’asse di rotazione. Il valore ωc `e chiamato velocit`a critica del rotante.
Assumendo di ritenere valida la teoria del rotante ideale per il nos- tro caso, considerando sia la massa del magnete che quella dell’albero ed assumendo che i supporti dove `e vincolato l’albero siano perfetta- mente rigidi (questa `e un’approssimazione), la flessibilit`a del mandrino `e espressa da c = P/ymax; dove ymax`e la freccia statica dell’albero con- siderato come una mensola incastrata ad un estremo e soggetta a una forza verticale in corrispondenza dell’estremo libero (fig.3.52).
La freccia statica, trascurando il contributo del peso dell’albero alla freccia, `e pari a ymax = P L3/3EI ne segue che la velocit`a critica
ωc= s k malbero+ mmagnete = s 3EI L3(malbero+ mmagnete) (3.3)
Sostituendo tutte le grandezze che compaiono nella relazione prece- dente si ricava una velocit`a critica flessionale pari a ωc pari a 2590
rad/sec che corrispondono a 24752 giri/min.
Come risulta evidente il valore ricavato `e molto al di sopra delle veloc- it`a del magnete superiore; da ci`o discende che il nostro albero si trova a lavorare nei punti del grafico di figura 3.51 dove (ω/ωc) < 1. Dalla
curva di risonanza del rotante ideale risulta evidente che all’aumentare del numero di giri del mandrino il valore della freccia y aumenta, di conseguenza se i magneti sono nella condizione e = 0, all’aumentare del numero di giri del mandrino il magnete superiore si trova ad aumentare l’eccentricit`a. Nella condizione e 6= 0 all’aumentare del numero di giri il magnete superiore a seconda della posizione del baricentro del si- stema magnete-mandrino pu`o ridurre o aumentare l’ecentricit`a. Nel nostro caso poich`e i carichi radiali crescono sempre all’aumentare del numero di giri si deduce immediatamente che l’eccentricit`a tra i ma- gneti tende sempre ad aumentare in entrambe le situazioni (e = 0 e
e 6= 0).
L’ultimo aspetto da considerare per quanto riguarda i carichi radiali dinamici sono le ampiezze delle oscillazioni di questi ultimi al variare del numero di giri del magnete superiore. Nella figura 3.53 si riportano i carichi radiali a confronto per i tre diversi numeri di giri considerati nella condizione e = 0 e gap = 0.1mm.
Risulta ben evidente sia l’aspetto precedente (carico radiale aumen- ta all’aumentare del numero di giri), sia il fatto che i carichi radiali presentano delle evidenti oscillazioni che si riducono drasticamente al- l’aumentare del numero di giri. Questo fenomeno nei carichi radiali `e presente per ogni valore del gap e dell’eccentricit`a tra i magneti. L’unica spiegazione di questo fenomeno potrebbe essere che quando il magnete ruota in prossimit`a dei 500 giri/min si trova vicino ad una delle frequenza critiche di risonanza di qualche componente facente parte dell’attrezzatura di prova.
Fissando l’attenzione sul mandrino esso `e vincolato al motore dell’ale- satrice mediante dei cuscinetti, il moto viene trasmesso a quest’ultimo tramite una cinghia dentata che ingrana su una ruota. Sembra abbas- tanza improbabile che questi componenti (cinghia dentata e cuscinetti meccanici) possano avere una influenza sulla frequenza propia di vi-
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 10 20 30 40 50 60 70 tempo [s] Carico radiale[N]
Confronto del carico radiale a diversi numeri di giri (MPN 15−45,gap=0.1mm,e=0)
carico radiale 500 giri/min carico radiale 1500 giri/min carico radiale 3000 giri/min
Figura 3.53: Confronto dell’andamento del carico radiale risultante per il cuscinetto MPN 15-45 nella condizione e = 0 e gap = 0.1mm
brazione dell’albero. L’unico componente invece che potrebbe avere una frequenza propia di vibrazione in prossimit`a dei 500 giri/min `e la piastra al quale `e vincolato il magnete inferiore. Quest’ultima, in- fatti `e vincolata unicamente alle celle di carico radiali e poggia su 3 sfere di acciaio che le consentono degli spostamenti nel propio piano a causa delle forze radiali sviluppate dai magneti in repulsione. A 3000
giri/min i carichi radiali si tendono a stabilizzare evidenziando il fat-
to che ci troviamo lontani da una delle frequenze propie di vibrazione della piastra.