Confronto tra il metodo block maxima e il modello POT

Come abbiano già detto nei paragrafi precedenti, la teoria dei valori estremi propone due diversi approcci di valutazione, il metodo block maxima e il metodo

peaks - over – threshold.

Il primo suggerisce la suddivisione del periodo temporale in blocchi (sotto periodi temporali) successivi (ad esempio giorni, mesi, trimestri) concentrando lo studio quindi solo sui valori estremi corrispondenti ai massimi (o minimi) relativi di ogni blocco.

Il secondo, invece, si basa su un valore soglia, non automatico ma che occorre preventivamente stabilire per mezzo di opportuni strumenti statistici, oppure con criteri soggettivi che ovviamente dovranno tenere conto delle caratteristiche

finanziarie del titolo in esame. Tra i due, quest'ultimo è ritenuto il più efficiente. I principali problemi che si incontrano qualora si scelga di utilizzare il metodo

block maxima sono i seguenti:

– la scelta dell'ampiezza n dei sub-periodi non è specifica in modo chiaro; – la stima dei parametri varia notevolmente al variare di n;

– considerando solo il massimo di ciascun sub-periodo si hanno a disposizione solo m dati, perciò la perdita di informazioni è molto elevata; – il campione di dati da utilizzare deve essere molto ampio, in particolare se

si hanno a disposizione i dati degli ultimi 30 anni di contrattazione, fissando n = 252 ( un anno ) la stima dei parametri dipende solo dagli

m = 30 dati dei massimi di ciascun sub-periodo a disposizione.

Il modello POT, a differenza del metodo precedente, non richiede nessuna divisione del campione di dati in sub-periodi ma necessita la specificazione di una elevata soglia u. La scelta di u colpisce sia la stima del parametro di forma ξ che quella del parametro di scala β. Tuttavia la letteratura suggerisce di fissare u = 2,5% o u = 2,75% anche se è sempre utile valutare la serie dei rendimenti. Infatti se la variabile di studio è molto volatile potrebbe essere opportuno, ad esempio, fissare u = 10% e comunque è consigliato di mantenere almeno il 5% del campione di dati come valori eccedenti la soglia.

L'uso di questo metodo inoltre non richiede un campione di dati eccessivamente elevato.

In entrambe le sue varianti ( POT e BM ), l' EVT consente dunque di focalizzare l'attenzione sulle code. Si noti, inoltre, che essa consente di analizzare separatamente ognuna delle due code, senza dover necessariamente ricorrere all'ipotesi di simmetria, che risulta sovente irrealistica in finanza.

Conclusione

I rapidi mutamenti delle condizioni di mercato in cui le banche negli ultimi anni si sono trovate ad operare e i recenti dissesti di alcune importanti istituzioni finanziarie, hanno messo in luce aspetti fondamentali della gestione caratteristica della banca, in passato sottovalutati. Ci riferiamo, in modo particolare, al ruolo determinante assunto dalle strategie di valutazione dei rischi di mercato connessi alle fluttuazioni dei tassi di interesse, di cambio e delle quotazioni delle attività finanziarie detenute dagli intermediari. In generale, il processo di risk

management si pone l’obiettivo di valutare la congruità dei rischi assunti in base

alla capacità patrimoniale esistente. Tale scopo viene perseguito attraverso una procedura di individuazione, di misurazione e di gestione dei fattori di rischio rilevanti (di credito, di mercato, operativi). Il fine è determinare il profilo di rischio/rendimento coerente con gli obiettivi del management, delle autorità di vigilanza e del mercato.

L’esigenza di individuare gli strumenti idonei per un corretto svolgimento dell’attività di risk management ha condotto all’identificazione di una metodologia standard di misurazione, il Value at Risk ( VaR ).

Il VaR rappresenta una misura di rischio ampiamente condivisa grazie ad alcuni fattori fondamentali come la facilità di comprensione, la grande flessibilità di adattarsi alle diverse esigenze degli operatori e la capacità di fornire misure omogenee di rischio per attività profondamente diverse.

Tuttavia, ad oggi, un modello VaR che non presenti alcun elemento di criticità non è stato ancora elaborato.

Le tecniche tradizionali presentano il difetto di non essere in grado di cogliere gli eventi estremi, ovvero quei valori negativi che conducono a situazioni particolarmente critiche e con ingenti perdite associate al portafoglio di negoziazione. In particolare, quando ci si avvale del metodo varianze-covarianze assumendo una distribuzione normale dei rendimenti e fissando un certo livello di confidenza, ad esempio del 99%, la stima risultante corrisponde ad un livello

di confidenza minore di quanto dichiarato poiché vi sono eventi che non vengono nemmeno contemplati. Ciò avviene perché la distribuzione effettiva dei rendimenti dei fattori di mercato non segue la forma della distribuzione normale ma presenta code spesse, quindi una maggiore probabilità di eventi che si trovano ai margini e per questo motivo non previsti dal metodo varianze-covarianze in quanto non inclusi all'interno della distribuzione normale. Le tecniche di simulazione, pur non assumendo una distribuzione normale, non permettono di ottenere risultati fedeli poiché implicitamente ipotizzano che la distribuzione storica sia stabile anche se nella realtà i rendimenti sono processi auto-correlati e con volatilità che presenta evidenti cambiamenti strutturali nel tempo.

L'impiego dell' Extreme Value Theory nello studio delle variabili finanziarie rappresenta una possibile soluzione ai problemi legati ai metodi appena annunciati. Concentrandosi solo sullo studio dei massimi è possibile esplicitare solo la forma funzionale delle code della distribuzione, e quindi riuscire a cogliere quei valori che sfuggirebbero alle tradizionali valutazioni.

L'intuizione racchiusa nell' Extreme Value Theory è la seguente: per cogliere i valori estremi e valutare il rischio non serve descrivere l'intera distribuzione ma basta riuscire ad esplicitare solo la forma delle code della distribuzione di densità della variabile casuale presa in considerazione. Questo assume ancora più importanza quando il livello di confidenza scelto è molto elevato. Infatti quando il livello di confidenza è del 95% o del 97% il metodo varianze – covarianze e le tecniche di simulazione restituiscono risultati molto vicini alla realtà, ma se si opta per un livello di confidenza del 99% o del 99,9% l'uso dell' EVT diventa necessario.

Questa teoria, come abbiamo già visto nel capitolo precedente, propone due diversi metodi, il metodo block – maxima e il metodo POT i quali, anche se restituiscono stime più accurate, non sono comunque privi di problemi dal punto di vista applicativo. Il primo metodo, infatti, richiede l'uso di campioni di dati particolarmente elevati e non vi è una chiara indicazione sulla scelta del valore n, ovvero l'ampiezza del blocco M_n secondo il quale suddividere i dati. Dall'altro

lato, anche se il metodo POT richiede un campione minore di dati le stime prodotte sono molto più sensibili al variare della soglia scelta. Tale scelta viene effettuata in base a delle linee guida ma la sua quantificazione avviene anche in base a valutazioni soggettive, come ad esempio l'avversione al rischio dell'istituzione.

L’EVT è un approccio con solide fondamenta teoriche e soddisfacente dal punto di vista empirico, tuttavia, presenta alcuni limiti ovvero:

– stima solo la coda della distribuzione;

– gli stimatori di massima verosimiglianza non si ottengono in forma chiusa; – non esistono criteri pienamente convincenti per la scelta della soglia u; – l'estensione al caso multivariato è piuttosto complicata perché comporta

calcoli particolarmente complessi e necessita di disporre di un software sofisticato.

Infine è bene ricordare che tutti i modelli qui esposti non producono valori da considerare esatti e fedeli a ciò che potrebbe accadere nella realtà ma essi devono essere valutati in base all'esperienza, alla congettura economica e alle importanti informazioni che provengono dal mercato.

Il perfezionamento di queste tecniche di misurazione e controllo dei rischi è molto importante e tutti gli organismi che si avvalgono di queste misure dovrebbero dare il loro contributo.

Elenco figure e tabelle

Figura 1: Stadi evolutivi del risk management

Figura 2: Media mobile a 23 giorni dei rendimenti dell'indice S&P500 Figura 3: Deviazioni standard mobili su campioni di diversa lunghezza Figura 4: Problema dell'effetto eco

Figura 5: Esempio di stima della volatilità con media mobile esponenziale

Figura 6: Confronto delle densità di probabilità della GPD con u = 0, β = 1 e diversi valori di ξ ≥ 0

Figura 7: Confronto delle densità di probabilità delle GPD con u = 0, β = 1 e diversi valori di ξ < 0

Tabella 1: il VaR come misura interna ed esterna

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L'indice di Curtosi,http://www.traderpedia.it

Ringraziamenti

Pisa è una città che mi ha dato e trasmesso tanto grazie a persone fantastiche come Monica, Roberta, Alessia, Alessandra, Sergio, Lorenzo, Alessandro, Francesco, Beatrice, Giorgio, Jacopo, Mario e molti altri ancora, che mi hanno accompagnato lungo questo meraviglioso percorso. Ho trascorso tre anni straordinari, difficili da dimenticare, che mi hanno arricchito personalmente e moralmente.

Pisa, come dicono tutti, è una città di passaggio, però una cosa è certa, le emozioni, le sensazioni e le esperienze (positive e negative) che lascia sono uniche.

Il ringraziamento più grande va ai miei genitori che, nonostante la loro non totale approvazione, mi hanno dato la possibilità di intraprendere questo percorso. Se sono arrivata fin qui è soprattutto merito loro, che hanno avuto sempre fiducia in me e in tutti questi anni non mi hanno fatto mancare nulla. «Grazie di cuore per il vostro incrollabile sostegno, morale ed economico, e soprattutto per i vostri sacrifici. Spero, almeno in piccola parte, di averli ripagati».