Contratti d’opzione

Definizione 1.11. Si definisce option un contratto in base al quale si acquista (o si vende) il diritto di comprare (o vendere) una data attività sottostante ad un dato prezzo (definito strike price) rispettando una scadenza prefissata.

Definizione 1.12. Si definisce call un contratto di opzione in base al quale si acquista (o si vende) il diritto di comprare una data attività sottostante ad un dato prezzo strike rispettando una scadenza prefissata.

Definizione 1.13. Si definisce put un contratto di opzione in base al quale si acquista (o si vende) il diritto di vendere una data attività sottostante ad un dato prezzo strike rispettando una scadenza prefissata.

In base alle Definizioni1.11,1.12e1.13, è possibile comporre i seguenti abbinamenti: • chi ritiene che il prezzo dell’underlying asset sia destinato a crescere entro la scadenza

è indirizzato verso una long call;

• chi ritiene che il prezzo dell’underlying asset sia destinato a scendere entro la scadenza è indirizzato verso una long put;

• chi ritiene che il prezzo dell’underlying asset sia destinato a non scendere entro la scadenza è indirizzato verso una short put;

• chi ritiene che il prezzo dell’underlying asset sia destinato a non crescere entro la scadenza è indirizzato verso una short call.

Ad una prima lettura sbrigativa, potrebbe sembrare eccessivamente rigorosa e ridon- dante la specificazione dei punti 3 e 4 in quanto simile rispettivamente al punto 1 e al punto 2. In realtà, la precisazione è molto importante. Acquistando una call option, il guadagno si realizza esclusivamente in caso di rialzo del prezzo del sottostante; vendendo una put, invece, il payoff è favorevole non solo in caso di rialzo del prezzo del sottostante, bensì anche se esso rimane invariato. Parimenti, acquistando una put option, il guadagno si realizza esclusivamente in caso di discesa del prezzo del sottostante; vendendo una call, invece, il payoff è favorevole non solo in caso di discesa del prezzo del sottostante, bensì anche se esso rimane invariato. In altri termini, la posizione corta permette di sfruttare anche le fasi di lateralità del mercato.

Quest’ultimo aspetto è di importanza centrale nell’ambito del trading con le opzioni. Dato che quest’ultime hanno normalmente una scadenza relativamente breve, sfruttare le fasi di lateralità del mercato spesso si rivela una strategia premiante rispetto al classico ap- proccio con il quale si tenta di anticipare un futuro trend rialzista o ribassista, (DALL’OLIO

2018).

Si definiscano le seguenti grandezze:

• X prezzo di esercizio (strike) dell’opzione considerata; • T epoca di scadenza del contratto;

• t ∈ [0, T ] epoca di stipula del contratto di opzione;

• t0 ∈ [t, T ] generico istante temporale compreso tra l’epoca di stipula t e scadenza T ;

• St0 prezzo spot del bene sottostante all’epoca t0;

• ST prezzo spot del bene sottostante all’epoca T ;

• c premio pagato dall’acquirente per l’acquisto di una call; • p premio pagato dall’acquirente per l’acquisto di una put.

L’acquirente di un contratto di opzione acquisisce il diritto di compiere una data operazione, non un dovere.9

Esempio 1.3. L’acquirente di una call non è obbligato ad acquistare il sottostante al prezzo strike: se, a scadenza, il sottostante ha un prezzo inferiore a quest’ultimo, l’acquirente (ammesso voglia ancora effettuare l’operazione) avrà tutto l’interesse a non esercitare il diritto e a procedere attraverso altre modalità come un semplice ordine di acquisto al meglio sul book di negoziazione.

Chiaramente, per beneficiare del diritto, l’acquirente di una opzione deve riconoscere un premio al venditore (c.d. upfront).

Il payoff di una call per l’acquirente, considerando anche il premio, è espresso dalla seguente relazione: payoff_call=    −c se ST 6 X, S_T − X − c se ST > X. (1.4) In altri termini, a fronte di una perdita massima data dal premio c, il soggetto beneficia di un guadagno potenzialmente illimitato. Al contrario, il venditore, instasca il premio c con il rischio di subire una perdita potenzialmente illimitata.

Il payoff dell’acquirente di una put, considerando anche il premio, è:

payoffput =    −p se ST > X, S_T− X − c se ST < X. (1.5)

Per le put è replicabile la medesima considerazione riportata con riferimento alle call, con l’unica differenza data dal fatto che la perdita (guadagno) per il venditore (compratore) è limitata (limitato): il prezzo del sottostante non può assumere valori negativi; in altri termini ST ∈ [0, +∞). Le Figure1.4be1.4devidenziano chiaramente questo limite.

Le Relazioni (1.4) e (1.5) trovano rappresentazione grafica nella Figura1.4.

A seconda dell’epoca in cui è possibile esercitare il diritto di opzione, si distingue lo stile europeo dallo stile americano.

9_{Questa è una importante differenza tra le option e i contratti analizzati nella Sottosezione1.2.1. Nei}

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 profit ST X

(a) Payoff long call

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 profit ST X

(b) Payoff long put

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 profit ST X

(c) Payoff short call

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 profit ST X

(d) Payoff short put Figura 1.4: Payoff contratti d’opzione

Definizione 1.14. Si definisce opzione europea il contratto di opzione esercitabile esclusiva- mente all’epoca di scadenza T .

Definizione 1.15. Si definisce opzione americana il contratto di opzione esercitabile in qualsiasi istante t0della sua vita.

A seconda dell’andamento del prezzo dell’underlying asset rispetto allo strike price, si individuano tre casistiche.

Definizione 1.16. Si definisce opzione in the money al tempo t0 il contratto di opzione

attraverso cui, in caso di esercizio immediato dello stesso, l’acquirente consegue un flusso di cassa positivo.

Definizione 1.17. Si definisce opzione at the money al tempo t0 il contratto di opzione

attraverso cui, in caso di esercizio immediato dello stesso, l’acquirente consegue un flusso di cassa nullo.

Definizione 1.18. Si definisce opzione out of the money al tempo t0il contratto di opzione

attraverso cui, in caso di esercizio immediato dello stesso, l’acquirente consegue un flusso di cassa negativo.

La condizione di Definizione1.16si verifica se in t0il prezzo dell’attività sottostante:

• è maggiore rispetto allo strike price, con riferimento alle call option; • è minore rispetto allo strike price, con riferimento alle put option.

La condizione di Definizione1.17si verifica se in t0il prezzo dell’attività sottostante è

uguale allo strike price. Questa condizione è valida sia per le call, sia per le put.

La condizione di Definizione1.18si verifica se in t0il prezzo dell’attività sottostante:

• è minore rispetto allo strike price, con riferimento alle call option; • è maggiore rispetto allo strike price, con riferimento alle put option.

Alla luce delle Relazioni (1.4) e (1.5), è evidente che il titolare del diritto di opzione avrà interesse a esercitare quest’ultimo solo se l’opzione è in the money. Nel caso in cui essa fosse at the money vi sarebbe indifferenza in quanto è possibile acquistare direttamente sul mercato il bene sottostante al medesimo prezzo ottenibile nel caso il diritto fosse esercitato. Infine, se l’opzione fosse out of the money, il diritto non verrebbe esercitato in quanto acquistare il sottostante sul mercato sarebbe meno oneroso.

Con riferimento al pricing di questi strumenti derivati, il modello Black-Scholes-Merton è considerato il punto di riferimento della letteratura: gli autori vennero insigniti10del premio Nobel per l’economia nel 1997.

In realtà, i tre autori appena citati non lavorarono congiuntamente, bensì in due gruppi di lavoro distinti: essi raggiunsero la soluzione al problema contemporaneamente, ragion per cui oggi tutti e tre vengono considerati i padri del c.d. option pricing. Come precisato in

HULL(2018, p. 337), l’approccio utilizzato daMERTON(1973) è più generale in quanto non

si basa sulCAPM, modello teorico invece di cui si sono servitiBLACKe SCHOLES(1973). Un metodo alternativo di prezzaggio delle opzioni è dato dal metodo binomiale. Per approfondimenti in materia si consigliaPIANCA(2017, p. 249) eHULL(2018, p. 287).

L’option pricing è un argomento estremamente interessante, specialmente perché esso ha valenza che si estende ben oltre la semplice valutazione di un derivato al variare del sottostante o di altre variabili contrattuali. L’option pricing permette di studiare qualsiasi fenomeno avente il tipico payoff di un contratto d’opzione. Un esempio estremamente importante, rimanendo all’interno della finanza, è dato dal modello diMERTON(1974), il quale dimostrò la natura opzionale dell’Equity. Questo spunto teorico pose le basi per lo

10_{Purtroppo Myron Scholes non poté ricevere il giusto riconoscimento a causa della scomparsa avvenuta}

sviluppo del credit risk moderno: fu possibile costruire un approccio robusto per la stima dellaPD(Probabily of Default) di società quotate in mercati regolamentati. Si può dunque

affermare che la soluzione alla questione della valutazione delle opzioni ha permesso di giungere al concetto di rating odierno per come è inteso dal Comitato di Basilea.

L’approfondimento di questi aspetti esula dagli scopi di questo elaborato per cui si rimanda all’abbondante letteratura in materia e al paper originale, citato poc’anzi.