Nelle sezioni precedenti si è dedicato ampio spazio al tema della correzione dei raw data in modo tale da limitare o, se possibile, eliminare la presenza di missing value, di dati relativi al 29 febbraio, di dati errati e di discontinuità nella serie storica di riferimento. Esiste, tuttavia, un’altra questione importante meritevole di analisi: lo studio del trend (o shift) con riferimento alla media.
Nell’ambito del weather derivative pricing, i soggetti interessati alla stipula di un derivato atmosferico subiscono il payoff dello strumento in questione in base all’evoluzione futura della variabile atmosferica presa come sottostante. Per poter attribuire un corretto prezzo al derivato, si rende necessario costruire un modello econometrico sull’underlying asset al fine di proiettare nel prossimo futuro una previsione quanto più possibile precisa e affidabile. Vien da sé che tutto il ragionamento appena illustrato si basa sull’ipotesi secondo cui il clima si evolve nel futuro attraverso un comportamento simile a quanto visto nel passato: in altre parole, l’analisi della serie passata suggerisce cosa accadrà nelle settimane o nei mesi a venire.
Nondimeno, l’assunto non è robusto con riferimento ai dati climatici. Quasi tutte le serie storiche relative a variabili atmosferiche, come temperatura, vento o pioggia, non sono stazionarie tout court, bensì stazionarie intorno a un trend. In altri termini, si può osservare nei dati climatici una tendenza al rialzo nel lungo termine: la temperatura media,
con il passare degli anni, tende ad aumentare (da qui il diffuso termine global warming), (JEWSONe BRIX2005, p. 42).
Quali sono le cause di questo fenomeno? Perché vi è evidenza di un trend all’interno delle serie storiche afferenti a variabili climatiche? In JEWSON e BRIX (2005, p. 42) e
ALEXANDRIDIS e ZAPRANIS (2014, p. 43) si forniscono alcune ragioni, presentate di seguito.
Variabilità deterministica nella serie Può nascere una tendenza a seguito di variabilità prevedibile nella serie. In un tale contesto, è bene prendere in considerazione archi temporali più ampi di 5 o 10 anni. In effetti, nello studio di molteplici decenni, è possibile notare oscillazioni sia in positivo sia in negativo: limitare l’analisi agli ultimi anni potrebbe non far emergere questa dualità, bensì enfatizzare esclusivamente la fase positiva o negativa più recente.
Urbanizzazione Essa rappresenta probabilmente la causa più comune dell’insorgenza di tendenze nella serie. Per urbanizzazione si intende l’effetto che subiscono le variabili climatiche in seguito all’energia solare assorbita e riflessa dagli edifici e alle emissioni di veicoli, industrie e sistemi di riscaldamento/climatizzazione. L’incremento di tale casistica si sta particolarmente accentuando negli ultimi anni.
Cambiamento climatico Questa causa deriva dall’intervento massiccio dell’uomo nei confronti dell’intero ecosistema del pianeta Terra. Gli effetti non sono limitati all’incremen- to delle temperature. Si sperimentano, infatti, estremizzazioni nei fenomeni atmosferici: aridità accentuata in zone calde, gelate record nei Paesi vicini ai poli, scioglimento dei ghiacciai e conseguente innalzamento dei mari, intensificazione di fenomeni ventosi, scomparsa delle mezze stagioni e così via.
Non è semplice riuscire a distinguere quali cause hanno generato il trend presente nella serie storica da analizzare. Oltretutto, esse operano contemporaneamente per cui gli effetti si sommano ed è difficile isolarli.9
Ciò premesso si possono trarre le seguenti conclusioni. Normalmente una serie storica è stazionaria intorno ad un trend, il quale quindi esiste e manifesta i suoi effetti. In secondo luogo, per rimuovere tale tendenza, è bene ricorrere a strumenti statistici e non utilizzare metodologie climatiche, le quali agiscono con l’ausilio delle stazioni meteorologiche di backup.
Prima di applicare qualsiasi metodologia di rimozione del trend, è bene chiedersi se sia indifferente o meno la scelta del numero di osservazioni da utilizzare. In altri termini, ci si
9Alcuni autori citano anche la variabilità nell’intensità solare e nelle correlate radiazioni come causa di
domanda se determinare il trend in una serie della temperatura lunga 5 anni sia uguale a compiere lo stesso procedimento in una serie di 50 anni. Effettivamente, il processo non è per niente equivalente.
Al termine dell’analisi si deve essere in grado di rappresentare il trend sotto forma di un’equazione. Dato che la stima dei parametri è effettuata sulla base del metodo dei minimi quadrati (OLS), utilizzare un maggior numero di osservazioni permette di
migliorare la precisione della stima. Tuttavia, dall’altro lato, è difficile che un trend rimanga costante per un elevato numero di anni. Esiste, pertanto, un trade-off tra precisione nella stima dei parametri del modello e significatività in senso climatico del risultato, (JEWSONe BRIX2005, p. 53).
Stimare un’equazione del trend facendo riferimento a 200 anni di osservazione po- trebbe essere sicuramente interessante e utile in alcuni specifici contesti. Tuttavia, dato che lo scopo del presente elaborato consiste nell’attribuire il giusto prezzo a uno speci- fico derivato che espleta i suoi effetti nel prossimo futuro, risulta molto più importante evidenziare la tendenza degli ultimi trent’anni piuttosto che degli ultimi secoli. In effetti, qualunque soggetto razionale si attende un incremento del trend rialzista nelle tempera- ture in corrispondenza dell’industrializzazione avvenuta a livello mondiale negli ultimi decenni.
Si procede di seguito a introdurre le funzioni più note che si utilizzano per catturare la tendenza di una variabile atmosferica. Non esiste un modo migliore di un altro: ogni approccio va testato empiricamente in quanto, come si è già visto precedentemente, il meteo è estremamente localizzato, per cui diverse location, anche se vicine, possono gradire specificazioni differenti.
Il modo più semplice per rimuovere il trend dalla serie storica è interpretarlo come polinomio lineare.
T rendt = α0+ α1ψ (3.5)
dove:
• α0è l’intercetta;
• α1è il coefficiente angolare della retta interpolante;
• ψ è un numero progressivo che inizia da 0 in corrispondenza della prima osserva- zione e finisce a N − 1 all’ultima osservazione della serie a disposizione.
Sebbene il trend interpretato come funzione lineare sia il metodo più semplice per realizzare il c.d. detrending, esso è comunque il più comune approccio utilizzato.10
Aumentando il numero di variabili esplicative è possibile incrementare la complessità del modello alla ricerca di un miglior fitting.
T rendt = α0+ α1ψ + α2ψ2 (3.6) L’Equazione (3.6) costituisce un’estensione del modello di Equazione (3.5): si aggiunge la componente ψ2in modo da verificare la presenza di un trend quadratico.
In generale, le due funzioni costituiscono un’applicazione specifica del detrending polinomiale. T rendt = α0+ α1ψ + α2ψ2+· · · + αnψn = n X j=0 αjψj (3.7)
Al variare di n, il trend polinomiale si riduce: • a una costante α0se n = 0;
• a un trend lineare se n = 1; • a un trend quadratico se n = 2.
Se il trend polinomiale di secondo ordine è a volte utilizzato, è raro l’impiego di polinomi più complessi.
Il modello polinomiale può essere arricchito dall’inserimento di una variabile esplicati- va esponenziale eψoppure dall’utilizzo di una soglia che diversifica la specificazione.
T rendt = α0+ α1ψ se ψ 6 ψ(0) β0+ β1ψ + β2ψ2 se ψ > ψ(0). (3.8)
Ad esempio, la Relazione (3.8) identifica un trend lineare per la serie antecedente all’osservazione ψ(0) compresa, mentre un trend quadratico è stimato successivamente.
Al di là del metodo polinomiale, esistono altri approcci che la letteratura ha sperimen- tato negli anni.
L’approccio della media mobile (MAmoving average) costituisce un metodo alternativo non parametrico a quanto visto finora. Mentre, tuttavia, con il detrending polinomiale, il ricercatore aveva lo scopo di identificare la funzione associata al trend per procedere successivamente alla sua eliminazione, la media mobile si configura come smoothing method nel senso che il trend viene solamente smussato e non individuato.
Lo strumento della media mobile è estremamente noto nel contesto dell’analisi tecnica in qualità di indicatore di tendenza con il quale si cerca, per l’appunto, di individuare la presenza di un trend rialzista o ribassista nella serie dei prezzi di un asset finanziario: a
seconda di come si intersecano il prezzo del titolo e la propria media mobile (è diffuso anche il cross tra medie mobili a diverso numero di termini), il trader è incentivato ad assumere specifiche posizioni nel book di negoziazione, (GALLOe PACINI2005, p. 141-145). A livello analitico, la media mobile di ordine K all’osservazione t è definita dall’E- quazione (3.9). Per non complicare inutilmente la notazione, si tralascia, senza perdita di generalità, la componente i riferita all’anno.
MA(K)t= 1 K K−1X k=0 Tt−k (3.9) dove:
• Ttè l’osservazione della temperatura al tempo t;
• Tt−1è il dato precedente;
• Tt−kè il dato di k giorni prima.
La media mobile si configura quindi come una rolling window che si aggiorna per scorrimento:11 il risultato sarà una nuova serie più smussata rispetto all’originaria. Più elevato è l’ordine della media mobile K, più forte sarà il "lisciamento".
Nel caso si volesse effettuare una media mobile ponderata in cui far pesare maggior- mente i dati più recenti, la letteratura ha definito la media mobile esponenziale (XMA
Exponential Moving Average) in cui i pesi di ponderazione decrescono esponenzialmente.
XMAt= 1 − α XMAt−1+ αTt " = 1 − α " 1 − α XMAt−2+ αTt−1 # + αTt = 1 − αtT0+ α t−1 X υ=0 1 − αυTt−υ (3.10) dove: • 0 6 α 6 1;
• T0è la prima osservazione disponibile della serie della temperatura;
• XMA0= T0in qualità di condizione iniziale.
11Da qui si evince la motivazione per cui si rende necessario l’inserimento del deponente a MA(K)
Si accenna di seguito a un altro approccio più complesso che si può utilizzare per la pratica del detrending di una serie storica: si tratta dei c.d. metodi Loess e Lowess sviluppati inCLEVELAND(1979) eCLEVELANDe DEVLIN(1988).
Sono metodi non parametrici che cercano di smussare la serie punto per punto alla ricerca della componente deterministica nella variazione dei dati, (ALEXANDRIDIS e
ZAPRANIS2014, p. 45).
La Figura 3.2, disponibile in ALEXANDRIDIS e ZAPRANIS (2014, p. 46), evidenzia graficamente il comportamento di tutti gli approcci presentati in questo paragrafo: l’ap- plicazione pratica è svolta sulla serie storica 1950 − 2007 del CAT index della stazione
meteorologica dell’aeroporto Schiphol di Amsterdam.
Infine, è sicuramente meritevole di menzione il c.d. trend stocastico. Sebbene in questa tesi, come si vedrà nel capitolo successivo, non si incontrerà alcuna serie avente una radice unitaria, è bene dedicarne uno spazio.
Definizione 3.1. Il processo stocastico xt, definito da
xt = αxt−1+ εt εt ∼ WN0, σ2ε
(3.11) con α = 1, si denomina processo random walk (RW).
Fissato arbitrariamente il valore iniziale x0 =0 e operando iterativamente, è possibile
riscrivere l’equazione precedente nel seguente modo:
xt = t−1
X
j=0
εt−j. (3.12)
Quest’ultima componente è anche chiamata trend stocastico poiché indirizza la traiet- toria della serie storica verso direzioni imprevedibili, (HILLet al. 2013, p. 529).
Il processoRWnon è stazionario in quanto contiene un trend stocastico. Per renderlo stazionario, è necessario operare in differenza prima.
∆xt = εt εt ∼ WN0, σ2ε (3.13) con
∆xt = xt− xt−1.
Pertanto:
xt∼ I(1) ∆xt ∼ I(0).
Con riferimento al case study sulla temperatura media rilevata dalla stazione meteoro- logica di Venezia/Tessera, si utilizza, come procedura per l’individuazione e successiva
(a) IndiceCATAmsterdam 1950-2007 (b) Trend lineare
(c) Trend quadratico (d) Media mobile di ordine 5
(e) Loess (f) Lowess
Figura 3.2: Serie dell’indiceCATdi Amsterdam Schiphol e i diversi metodi per individuare la presenza di trend, (ALEXANDRIDISe ZAPRANIS2014, p. 46)
rimozione del trend, l’approccio parametrico lineare. Tale scelta è originata dal fatto che, come già accennato all’inizio di questo paragrafo, il metodo lineare, nonostante la sua semplice specificazione, rappresenta la modalità più seguita dai ricercatori in letteratura. La procedura concreta di determinazione e rimozione del trend lineare viene illustrata in dettaglio nel capitolo successivo.