Contratti a termine: forward e future

Definizione 1.8. Si definisce forward un contratto privato stipulato tra soggetti, i quali si impegnano ad acquistare (o vendere) una predeterminata quantità del bene sottostante a un prezzo e a una data concordati a priori.

I contratti forward hanno la caratteristica distintiva di essere stipulati nei mercatiOTC. Questo permette alle parti di personalizzare i termini contrattuali, come si è già discusso nella Sottosezione1.1.2.

Normalmente i contratti forward non prevedono lo scambio di flussi di cassa in fase di stipulazione e durante la vita del contratto. L’unico scambio monetario si verifica all’epoca di scadenza, istante temporale in cui avviene il vero e proprio trasferimento del sottostante. Questa caratteristica è coerente con l’assenza della clearing house e del meccanismo del marking to market: a fronte della maggiore libertà in capo ai contraenti, il rischio di credito è un fattore da non trascurare.

Definizione 1.9. Si definisce future un contratto a termine standardizzato negoziato nei mercati regolamentati.

A differenza del contratto forward che rappresenta la piena autonomia delle parti nella fase di stipula e perfezionamento del contratto a termine, il contratto future viene negoziato nei mercati regolamentati. Pertanto, caratteristiche come attività sottostante, dimensione del contratto, unità di misura in cui sono espresse le quotazioni, limiti di prezzo e di posizione, data di consegna, prezzo (detto prezzo future) e modalità di negoziazione sono fissate dal mercato.

Mentre un contratto forward ben si presta al caso specifico dei contraenti ed è unico, il contratto future è standardizzato. Il prezzo non è propriamente frutto della contrattazione

delle due parti, ma riflette l’incontro della domanda e offerta all’interno del mercato. Un eccesso di domanda da parte degli investitori porta ad un aumento del prezzo e viceversa. I contratti future sono regolati quotidianamente ed è possibile scegliere tra diverse date di consegna. Con riferimento a quest’ultimo aspetto, normalmente un future viene chiuso prima che giunga a scadenza con un’operazione di segno opposto.

I principali vantaggi della standardizzazione sono:

• la presenza della clearing house e del meccanismo giornaliero del marking to market riduce notevolmente il rischio di credito;

• la negoziazione in borsa aumenta la liquidità del contratto, il quale può essere disinvestito velocemente e senza costi eccessivi in caso di necessità;

• i termini contrattuali sono sempre specificati in modo dettagliato.

Nuovamente con riferimento al pricing dei due derivati appena presentati, è evidente, anche a livello intuitivo, il forte legame esistente con il prezzo dell’underlying asset. In

HULL(2018, p. 125) si dimostra che, nel momento in cui il tasso risk free è costante ed è il medesimo per tutte le scadenze, il prezzo forward e future di un contratto avente la stessa data di consegna è approssimativamente uguale. Nel proseguo della tesi, si ipotizza sempre valida questa considerazione.

Di seguito si analizza esclusivamente il caso più semplice in cui l’attività sottostante è un titolo azionario che non paga dividendi. Per il pricing di forward e future su sottostanti più complessi come valute e tassi di interesse si rimanda all’abbondante letteratura in materia, qualePIANCA(2017, p. 151),HULL(2018) et similia.

Si definiscano le seguenti grandezze: • T epoca di scadenza del contratto; • t ∈ [0, T ] epoca corrente;

• Stprezzo spot del bene sottostante all’epoca t;

• ST prezzo spot del bene sottostante all’epoca T ;

• Kt,T prezzo di consegna del bene sottostante all’epoca t;

• ft valore di un contratto forward o future in posizione long;

• Ft,T prezzo forward o future all’epoca t;

• r tasso istantaneo di interesse composto.

Teorema 1.1. Per il principio di non arbitraggio, il prezzo equo per un contratto a termine forward

o future deve soddisfare necessariamente la relazione

Dimostrazione. In effetti, si ipotizzi che la Relazione (1.1) non sia soddisfatta:

• se Ft,T > Ster(T −t), un investitore potrebbe godere di un pasto gratuito andando

long sul sottostante e short sul derivato;

• se Ft,T < Ster(T −t), il medesimo investitore, per raggiungere lo stesso obiettivo,

opterebbe per una posizione lunga sul derivato e una posizione corta sul sottostante. Nel primo caso la copertura del pagamento iniziale avviene prendendo a prestito la somma Stal tasso istantaneo r. Al tempo T , l’investitore consegna il sottostante ricevendo

un flusso monetario positivo pari a Ft,T. Con questa somma di denaro, egli può così

saldare il suo debito con il finanziatore e beneficiare senza alcun rischio della differenza positiva Ft,T − Ster(T −t)>0.

Nella seconda casistica il cash flow positivo derivante dalla vendita allo scoperto del sottostante viene investito al medesimo tasso per disporre alla scadenza T dell’importo Ster(T −t). Al tempo T , si chiude la vendita allo scoperto pagando Ft,T: ne consegue un

beneficio pari a Ster(T −t)− Ft,T >0.

Definizione 1.10. In finanza, si definisce payoff quella relazione matematica che riassume gli esiti di una data operazione.

Determinare il payoff di questa tipologia di contratti è relativamente semplice. Si consegue un profitto dall’operazione long se il prezzo spot ST del bene sottostante è

superiore al prezzo Ft,T stabilito contrattualmente. In effetti, questo implica che si ha

l’impegno di acquistare il sottostante al prezzo Ft,T a fronte di un valore di mercato pari a

S_T. Si subisce una perdita nel caso opposto in cui il prezzo spot ST del bene sottostante è

inferiore al prezzo Ft,T: l’acquirente si è impegnato a pagare il sottostante a un prezzo più

elevato rispetto a quello di mercato all’epoca T . Evidentemente, il venditore del contratto a termine sperimenta un payoff invertito rispetto alla controparte: consegue un guadagno (perdita) se ST è minore (maggiore) di Ft,T.

Riassumendo:

• per una long position il payoff è dato dalla relazione

payofflong= ST − Ft,T; (1.2)

• per una short position il payoff è invece

Tabella 1.1: Differenze tra contratti forward e contratti future, (HULL2018, p. 46)

Contratti forward Contratti future

Contratti privati tra due controparti Negoziati in borsa

Contratti non standardizzati Contratti standardizzati

In genere viene specificata una sola data di consegna

In genere è possibile scegliere tra diverse date di consegna

Regolati alla fine del contratto Regolati ogni giorno

In genere si verifica la consegna o il regolamento di un saldo finale

In genere i contratti vengono chiusi prima della scadenza

Comportano un certo rischio di credito Il rischio di credito è quasi assente

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 profit ST Ft,T

(a) Payoff posizione lunga

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 profit ST Ft,T

(b) Payoff posizione corta Figura 1.3: Payoff contratti forward e future

La Figura1.3rappresenta graficamente il payoff appena illustrato dapprima in modo descrittivo e successivamente in modo analitico con le Relazioni (1.2) e (1.3). Si distingue espressamente il payoff della posizione lunga (Figura1.3a) dal payoff della posizione corta (Figura1.3b).

Al termine di questa sezione, si riporta in Tabella1.1una sintesi delle caratteristiche dei contratti appena illustrati.