Costruzione di configurazione a carica

In SU(2) nella gauge regolare un istantone di raggio ρ pu`o essere scritto nella forma seguente Areg µ (x) = x2 x2_{+ ρ}2 g −1_(x)∂ µg(x), (3.24) dove g(x) = x4 1 + ix√ kσk x2

e le σk sono le usuali matrici di Pauli. Una qualunque matrice di SU (2) pu`o

essere scritta nella forma

a · s, a2 _{= 1,} dove s sono le matrici della base

sk= −s+_k = iσk per k = 1, 2, 3, e s4 = s+4 = 1. In questa base la (3.24) risulta

Areg µ (x) = 1 x2_{+ ρ}2 {(x · s) +_s µ− xµ}, dove g(x) = x · s√ x2 , (3.25) cio`e Areg_µ (x) = 1 x2_{+ ρ}2 (yµ)k iσk, (3.26) con y1(x) = (x4, x3, −x2), y2(x) = (−x3, x4, x1), y3(x) = (x2, −x1, x4), y4(x) = (−x1, −x2, −x3).

La discretizzazione viene fatta nella gauge regolare e solo dopo si fa la trasfor- mazione nella gauge singolare. Su un reticolo di lato N passi (con N pari) si pone il centro nel punto

cµ=

N + 1 2

e si generano le configurazioni di coordinate nµ, numerate da 0 a N + 1,

usando la (3.26) e la (3.25), con xµ = nµ− cµ. Il raggio ρ viene espresso in

unit`a del passo reticolare a. In ogni punto nµ la matrice di link `e

Uµ(n) = expn1 2 ¡ Aµ(n) + Aµ(n + µ) ¢o ,

tenendo conto che in SU(2) l’esponenziazione `e data da exp(i akσk) = cos a + i

aksin a

a σk. Si fa poi la trasformazione nella gauge singolare con la

Uµ(n) → g(n)Uµ(n)g+(n + µ)

e si impongono le condizioni al bordo.

Una configurazione in SU(3) a carica 1 pu`o essere ottenuta da questa in SU (2) tramite l’embedding canonico.

C.

Programma

Il programma decade calcola la carica topologica ca di una configurazione conf assegnata (fornita come input o generata random a partire da un seme dato) e per ogni istantone determina il tempo di decadimento. Il vettore intero t contiene i tempi di decadimento. Il programma utilizza i seguenti sottoprogrammi:

- genera(conf) subroutine che genera una configurazione iniziale (letta come input o random),

- sf(conf) function che calcola la carica topologica della configurazione conf

- trova(conf,k,n,errore) subroutine che determina il tempo n di decadi- mento del k-esimo istantone della configurazione conf. L’algoritmo utilizzato si compone di due fasi: una prima fase in avanti, in cui si genera una sequenza di configurazioni applicando ogni volta un numero costante (p=256) di passi di raffreddamento, allo scopo di determinare

un intervallo [n,n+p] tale che le configurazioni al tempo n e al tempo n+p abbiano un diverso numero di intersezioni, e una seconda fase di bisezione, in cui il passo di generazione delle configurazioni con il raf- freddamento viene progressivamente dimezzato. Il parametro in uscita errore viene posto a true se si `e verificata una risalita della carica topologica. La subroutine trova utilizza la subroutine passo.

- passo(conf,k,p,n,errore,trovato) subroutine che determina se ap- plicando p passi di cooling alla configurazione conf si ottiene una nuo- va configurazione che ha perso una o pi`u intersezioni. In caso affer- mativo il parametro trovato viene posto a true, altrimenti la nuova configurazione viene sostituita alla precedente. Il parametro in uscita errore viene posto a true se si `e verificata una risalita della carica. La subroutine passo utilizza le subroutine cooling e copy.

- cooling(conf,p,conf1) subroutine che applica p passi di cooling alla configurazione conf producendo la nuova configurazione conf1. - copy(confin,confou) subroutine che copia la configurazione confin

nella configurazione confou.

Viene qui dato un listato semplificato del programma decade e dei sotto- programmi trova e passo. I sottoprogrammi genera, copy e cooling sono stati forniti dal Prof. Alles, il sottoprogramma sf `e stato fornito dal Dr. Pica.

* --- PROGRAM decade

INTEGER ca,n,i,k INTEGER t(5)

BOOLEAN errore CALL genera(conf) ca=sf(conf) n=0 IF c_iniz /= 0 THEN DO i=1,c_iniz k=c_iniz-i+1 CALL trova(conf,k,n,errore) t(i)=n END DO END IF STOP END * --- SUBROUTINE trova(conf,k,n,errore) PARAMETER p_max=256 INTEGER k,n,p,j BOOLEAN errore,trovato p=p_max errore=false trovato=false j=0

WHILE (j<8) && (not errore) && (not trovato) j=j+1

CALL passo(conf,k,p,n,errore,trovato) END WHILE

WHILE (j<8) && (not errore) j=j+1 p=p/2 CALL passo(conf,k,p,n,errore,trovato) END WHILE RETURN END * --- SUBROUTINE passo(conf,k,p,n,errore,trovato) INTEGER k,n,p,m BOOLEAN errore,trovato CALL cooling(conf,p,conf1) m=sf(conf1) IF m>k THEN errore=true ELSE IF m=k THEN n=n+p CALL copy(conf1,conf) ELSE trovato=true END IF END IF RETURN END * ---

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