Misure ottenute con SF

Per ognuna delle 500 configurazioni generate si misura con SF la carica ini- ziale. Sia C0 tale carica. Se C0 6= 0, si procede a raffreddare la configu- razione. Sappiamo che, continuando a raffreddare la configurazione, otter- remo di azzerare la carica, visto che la configurazione di minima energia `e

quella con tutti i link uguali a 1, che ha carica nulla. Quindi ad ogni passo p di raffreddamento corrisponde una carica Cp della configurazione ottenu-

ta, che pu`o essere misurata con SF. Ci aspettiamo che la funzione Cp, che

chiameremo “storia di SF”, abbia un andamento decrescente a gradini. Un gradino si presenta quando si perde un’intersezione. Scopo di questa pri- ma parte della sperimentazione `e proprio quello di individuare a quale passo si verificano i diversi gradini, fino all’ultimo in cui la carica si annulla. In particolare, se la carica iniziale `e ±1, questa si annulla al primo gradino.

Dato l’elevato costo dell’applicazione di SF, si `e utilizzato il seguente procedimento che si applica a una situazione standard in cui la funzione Cp

ha un andamento decrescente. In tal caso esiste un ¯p tale che Cp¯= C0− 1 e da quel punto in poi Cp ≤ C0− 1. Per determinare il valore ¯p, si `e utilizzato

un metodo articolato in due parti: prima si determina un valore ˆp di p tale che Cpˆ< C0 incrementando p con passi costanti (256 passi di cooling). Poi, si applica un procedimento di bisezione all’intervallo [0, ˆp] per trovare ¯p. Si procede in modo analogo per la determinazione dei gradini successivi fino ad ottenere quello che individua la perdita completa della carica. In Appendice C si trova un listato dell’algoritmo che implementa il procedimento sopra descritto.

Si possono prevedere comunque due situazioni non standard:

(a) il gradino ha un’altezza di 2, in quanto si perdono 2 intersezioni nello stesso passo. Questa situazione non crea problemi, e comunque nella nostra sperimentazione si `e verificata solo all’ultimo gradino;

(b) la funzione Cp non `e decrescente e l’algorimo non la gestisce.

Poich´e alla perdita di un’intersezione pu`o corrispondere la perdita di un istantone, useremo il termine vita di un istantone per indicare il numero di passi di cooling necessari per eliminare l’istantone.

La tabella 3.1 indica per i diversi β quante configurazioni sono state trovate aventi carica Q, con −4 ≤ Q ≤ 4.

Q = −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

β = 5.9 20 25 60 107 98 84 56 36 14

β = 6 16 53 104 130 122 61 12 2

β = 6.1 1 4 53 128 164 98 46 6

β = 6.2 1 1 53 106 153 109 67 10

Tabella 3.1: Numero di configurazioni con carica Q (metodo SF).

Si esaminano in dettaglio le configurazioni ottenute per il caso β = 6. Si parte con quelle a carica Q = ±1. La fig. 3.5 riporta l’istogramma del passo ¯p1 di cooling in cui si perde la carica. Risulta evidente che vi sono due

100 200 300 400 500

10 20 30 40

Figura 3.5: Istogramma dei passi ¯p1 delle configurazioni a carica Q = ±1.

situazioni nettamente separate.

- Un primo gruppo C1 di 54 configurazioni per cui si ha ¯p ≤ 62. Un esame dettagliato dei casi di questo gruppo rivela che per molte configurazioni iniziali vi `e un’unica intersezione spostata a destra nell’intervallo [0, 2] di m. Come accennato, queste configurazioni si ritengono associate a

raggi ρ ≈ a, e quindi a istantoni piccoli, ci`o che spiegherebbe come mai pochi passi di cooling bastino per perdere la carica. In [22] si osserva che intersezioni di questo tipo dovrebbero essere rare, ma le nostre misure mostrano che non lo sono per i valori pi`u bassi di β.

- Un secondo gruppo C2 di 172 configurazioni per cui si ha ¯p ≥ ¯pmin = 156. In questi casi, invece, le intersezioni sono abbastanza vicine ad un valore di picco m1 ∼ 0.8 e sono associate a istantoni.

Le configurazioni di C2 rappresentano quindi il 76% di tutte quelle a carica ±1. Considerando solo queste configurazioni si ottiene la fig. 3.6, che mostra l’istogramma della vita degli istantoni delle configurazioni con carica Q = ±1. Per questo secondo gruppo la vita media `e ¯pµ= 372 e la deviazione

standard `e σ = 61. 200 300 400 500 5 10 15 20 25

Figura 3.6: Vita degli istantoni delle configurazioni a carica Q = ±1.

Si passa poi a considerare le configurazioni con carica iniziale ±2. In 12 casi la carica passa da 2 a 0 nello stesso passo. Dalla figura 3.7 risulta evidente che anche nel caso di carica ±2 vi sono alcuni istantoni piccoli. Inoltre, a parte questi, vi `e una situazione meno piccata del caso precedente.

200 400 600 800 1000 1200 5 10 15 20 25

Figura 3.7: Istogramma dei passi ¯p1 delle configurazioni a carica Q = ±2.

250 500 750 1000 1250 1500 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

Figura 3.8: Vita degli istantoni delle configurazioni a carica Q = ±2.

Si esaminano ora le situazioni non standard in cui la funzione Cp non

`e risultata decrescente, che per β = 6 si `e verificata in 42 delle 500 confi- gurazioni generate, vale a dire nel 8.4% dei casi. Di questi, 12 riguardano configurazioni con carica iniziale ±1, 20 con carica iniziale ±2 e 10 con ca- rica iniziale ±3 (in quest’ultimo caso pi`u di un terzo delle configurazioni con questa carica iniziale). Nella maggior parte dei casi si nota la presenza di un’intersezione nella met`a destra dell’intervallo [0, 2] di m. Due sono le tipiche situazioni riscontrate:

- Nella configurazione iniziale vi sono ad esempio tre intersezioni del tipo [+], [+], [−] che danno carica 1. A seguito del progressivo raffredda- mento si ha lo spostamento a destra della terza intersezione. Se questa gi`a inizialmente `e vicina al margine destro dell’intervallo, `e possibile che scompaia. Quindi restano le prime due intersezioni [+], [+] che danno carica 2.

- Nella configurazione iniziale vi sono ad esempio due intersezioni. Dopo un certo numero di passi una delle due scompare, ma riappare dopo un elevato numero di passi molto spostata verso il margine destro dell’intervallo.

La fig. 3.9 mostra la distribuzione delle intersezioni individuate da SF per le configurazioni iniziali in funzione di m. Il valore m1 a partire dal quale si

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 50 100 150 200 250 300 350

Figura 3.9: Distribuzione delle intersezioni individuate da SF per le configurazioni iniziali in funzione di m.

verificano le intersezioni `e 0.79. Il 75% delle intersezioni avviene per m ≤ 1 e meno del 10% avviene per m > 1.5. La maggior parte delle situazioni non standard verrebbe evitata se l’intervallo in cui si considerano le intersezioni fosse ridotto sulla destra.

c p¯µ σ p¯min m1 mµ mσ % ≤ 1 % ≤ 1.5

β = 5.9 65% 452 205 210 0.84 1.1 0.28 54% 88%

β = 6. 76% 372 61 156 0.79 0.99 0.27 74% 91%

β = 6.1 92% 333 54 136 0.76 0.86 0.20 90% 96%

β = 6.2 95% 320 55 122 0.73 0.79 0.13 97% 99% Tabella 3.2: Metodo SF: caratteristiche delle configurazioni di C2.

La tabella 3.2 mostra i risultati ottenuti per le configurazioni di C2 e per i diversi β. La prima colonna d`a la percentuale c del numero di configurazioni di C2 rispetto al numero totale di configurazioni a carica ±1, le altre colonne danno la vita media ¯pµ degli istantoni, la varianza σ, la vita minima ¯pmin,

l’intersezione minima m1, la media mµ delle intersezioni e la varianza mσ,

e le percentuali del numero di intersezioni negli intervalli [m1, 1] e [m1, 1.5] rispetto al totale delle intersezioni.

L’ultima misura `e stata fatta sull’insieme C2 delle configurazioni. Si `e considerata la funzione vp = Np/N, in cui Np `e il numero di configurazioni

che hanno ancora carica ±1 al p-esimo passo di cooling e N `e il numero iniziale di configurazioni di C2. Per β = 6 la funzione vp ha il grafico (in

nero) riportato in figura 3.10.

La funzione vp `e normalizzata rispetto ad N e non mostra sperimen-

talmente grosse differenze rispetto a quanto si vedrebbe se si cambiasse il numero N di configurazioni su cui si effettuano le misure, purch´e N sia suf- ficientemente grande. I dati disponibili sono sufficienti per ottenere un fit di vp. La funzione scelta per il fit `e della forma

v(x) = c1

c1− 1 + exp(−c2x) ,

ai minimi quadrati sono c1 ∼ 63300 e c2 ∼ 0.03. La figura 3.10 mostra la sovrapposizione di v(x) (in rosso) ai dati.

100 200 300 400 500 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 3.10: Grafico della funzione vp per le configurazioni di C2 e relativo fit (in rosso).

Il fit ai minimi quadrati della funzione v(x) per gli altri valori di β fornisce per c2 il valore 0.02 per β = 5.9 e sempre il valore 0.03 per β ≥ 6. Il valore per c1 cambia in quanto il valore del punto in cui la vp inizia a decrescere

si sposta a sinistra al crescere di β. Si ottiene per esempio c1 ∼ 32175 per β = 6.2.