Costruzione delle variabili per l‟elaborazione del codice Matlab

L‟obiettivo di questa sezione è quello di definire le linee guida e le scelte analitiche sulle quali si è costruita un‟applicazione originale del modello di Brennan-Lo e fornire un‟esaustiva descrizione di esso. Inizialmente sono elencate le variabili utilizzate per la definizione analitica del modello, illustrandone le relative caratteristiche e funzioni all‟interno di esso. Successivamente, riportando anche i codici sviluppati in Matlab, si procede con la spiegazione di alcune modifiche di tipo statistico-matematico apportate per ottimizzare la simulazione del modello e delle estensioni operative effettuate per ampliare l‟insieme dei risultati finali e le relative analisi e interpretazioni.

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Variabili utilizzate nel codice Matlab

Le variabili derivanti direttamente dal modello evoluzionistico del cap. 3 e le strutture progettate attraverso il codice Matlab, utilizzate entrambi nelle simulazioni sono le seguenti:

1. 𝑓: è il parametro di maggiore importanza, oggetto di studio del modello2; esso rappresenta la probabilità che gli individui di una generazione scelgano l‟opzione , cioè costruire la propria abitazione a valle: proprio per questo motivo esso determina la proporzione di individui che costruisce a valle. Tale parametro assume un diverso valore per ogni computazione3 dell‟evoluzione della specie. In questa simulazione si considerano i seguenti valori per 𝑓 [0, 0.05, 0.10 ,0.15, 0.20, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40, 0.45, 0.50, 0.55, 0.60, 0.65, 0.70, 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, 0.95, 1], corrispondenti a 21 computazioni, rendendo molto più dettagliata la completa simulazione e l‟analisi del modello rispetto a quella condotta da Brennan e Lo [2012] che hanno utilizzato 5 valori per 𝑓. Il complemento ( 𝑓), rappresenta, per complementarietà ad 1, la probabilità che l‟individuo effettui la scelta , cioè costruire la propria abitazione sull‟altopiano. Si ricorda che la probabilità 𝑓 può essere formalmente sintetizzata attraverso la seguente variabile Bernoulliana:

2 _{𝑟 𝑓} 𝑟 𝑓

2. : rappresenta il numero totali di generazioni della popolazione (o specie) che si riproduce di volta in volta, ossia tutti i periodi di cui si compone l‟evoluzione della specie. Per questioni legate alla potenza del computer (v. infra) utilizzato per condurre le simulazioni, si è deciso un arco temporale di analisi costituito da 35 periodi, 10 in più rispetto al modello descritto nel precedente capitolo.

3. : è il parametro che viene di seguito associato alle generazioni simulate.

2 _{L‟obiettivo del modello, oltre che descrivere un processo evoluzionistico di una specie, è infatti, quello di}

individuare il valore di 𝑓 , fenotipo comportamentale ottimale, che porta al numero maggiore di individui della generazione finale.

3 _{Nel presente capitolo con il termine “computazione” si intende un singolo shot computazionale che viene}

126 4. ( ): è il parametro a cui si attribuisce il numero di individui della popolazione alla generazione 1; esso è inizialmente posto pari a 10 ugualmente al modello Brennan-Lo e successivamente raddoppiato a 20 per capire come si modifica il processo evoluzionistico e come cambia il fenotipo ottimale 𝑓 _{applicando tale} modifica.

5. 𝑟 ( ): è il vettore di zeri che viene predisposto per contenere la numerosità finale di ogni generazione per .

6. : rappresenta il successo riproduttivo dell‟individuo che effettua la scelta (rappresentata dalla lettera corrispondente a valley, valle) quando c‟è il sole (rappresentato dal numero ); in particolare la numerosità della prole è pari a 3, cioè da ogni singolo individuo che costruisce la propria abitazione a valle in presenza di meteo soleggiato se ne generano 3, che costituiscono la numerosità della generazione successiva ( coincide con la variabile del modello di Brennan-Lo).

7. : analogamente a quanto detto rispetto a , esso rappresenta il successo riproduttivo dell‟individuo che effettua la scelta (rappresentata dalla lettera corrispondente a plateau, altopiano) quando c‟è pioggia (rappresentato dal numero ); in particolare la numerosità della prole è pari a 3, cioè da ogni singolo individuo che costruisce la propria abitazione sull‟altopiano in presenza di meteo piovoso se ne generano 3, che costituiscono la numerosità della generazione successiva ( coincide con la variabile del modello di Brennan-Lo).

8. : rappresenta l‟insuccesso riproduttivo dell‟individuo che effettua la scelta (rappresentata dalla lettera corrispondente a valley, valle) quando c‟è pioggia (rappresentato dal numero ); ogni singolo individuo che costruisce la propria abitazione a valle in presenza di meteo piovoso non sopravvive e si estingue senza riprodursi in alcun ulteriore individuo.

9. : analogamente a quanto detto rispetto , esso rappresenta l‟insuccesso riproduttivo dell‟individuo che effettua la scelta (rappresentata dalla lettera corrispondente a plateau, altopiano) quando c‟è il sole (rappresentato dal numero ); ogni singolo individuo che costruisce la propria

127 abitazione sull‟altopiano in presenza di meteo soleggiato non sopravvive e si estingue senza riprodursi in alcun ulteriore individuo.

In queste applicazioni si suppone che variabili casuali siano: - identicamente e indipendentemente distribuite (IID) da una generazione all‟altra; - identicamente ed indipendentemente distribuite (IID) tra gli individui

appartenenti alla stessa generazione ;

- indipendenti dalle altre variabili casuali 𝑓 (probabilità che gli individui costruiscano a valle) e (indica il tempo meteorologico).

A differenza dall‟applicazione di Brennan e Lo (in cui la scelta degli individui,

all’interno della stessa generazione, era dipendente da quella altrui), la seconda

condizione implica che ogni singolo individuo decide dove costruire la propria abitazione, indipendentemente dalla scelta di tutti gli altri ma in modo identicamente distribuito.

10. : è il valore fisso associato alla probabilità che si verifichi un giorno soleggiato (nel 75% dei casi ci sarà il sole).

11. 𝑟 𝑟 ( ): è il vettore di zeri costruito per generare il tempo meteorologico sole o pioggia per i periodi.

12. 𝑟( ) 𝑟 ( ): dato , esso rappresenta il vettore colonna che descrive il tempo meteorologico per tutti i periodi, simulato attraverso una variabile binomiale4 randomizzata e la probabilità di sole del 75% (per approfondimenti v. infra).

13. 𝑟 ( ( ) ): è il vettore di zeri utilizzato per simulare il numero di individui in base a dove costruiscono la propria abitazione.

4 _{Una variabile casuale X può avere una distribuzione binomiale ( ) caratterizzata dai seguenti}

parametri:

- : rappresenta il numero delle “prove” indipendenti fra esse effettuate; - : la probabilità di successo della prova ( );

- dato , si definisce anche , come probabilità di fallimento della prova.

Dati questi parametri, la funzione di distribuzione di una variabile binomiale può formalizzarsi come:

( ) 𝑓( ) { ( ) ( )( ) 𝑟 𝑟 e ∑ ( ) ( )( ) .

128 14. ( ) 𝑟 ( 𝑓): è il vettore colonna che rappresenta tutte le generazioni (infatti si assume che ( ) con ) in base a dove costruisce la popolazione, simulato attraverso una variabile binomiale randomizzata e la probabilità di scegliere di costruire a valle 𝑓 che assume molteplici valori determinati dall‟autrice all‟inizio di ogni computazione (per approfondimenti v. infra).

15. ( ): è il vettore outcome della sommatoria che calcola la numerosità della generazione successiva ( ) a quella che si riproduce e decide dove costruire ( ). Nel codice Matlab esso è calcolato per mezzo della seguente espressione in cui: ( ) ed il suo complemento ( ( )) indicano, rispettivamente, dove costruiscono gli individui della popolazione; e rappresentano i due successi riproduttivi; 𝑟( ) ed il suo complemento ( 𝑟( )) indicano il tempo meteorologico che si verifica:

( ) { ( ) 𝑟( ) [( ( )) ( (𝑟( ))]} ( ) rappresenta l‟implementazione, modificata attraverso le estensioni analitiche (variabili e vettori) proposte in questa sede, dell‟equazione del modello generalizzato di Brennan-Lo (v. espressione ( ) cap. 3):

(𝑓) ∑ [ ( ) ]

( )

( )