Nella presente sezione verranno definiti i criteri utilizzati nella definizione delle qualità nel tempo delle diverse strategie.
Variazione di NPV
Questo criterio viene implementato calcolando la differenza tra il valore attuale dei diversi portafogli sotto i diversi scenari.
Tali NPV sono definiti nel caso delle passività nel seguente modo
f u n c t i o n PV = C F _ P V ( CF , DF ) % C a l c o l o d e l P r e s e n t V a l u e PV d e l p o r t a f o g l i o c o m p o s t o s o l o da CF % I N P U T % CF = p o r t a f o g l i o di f l u s s i di c a s s a % DF = m a t r i c e le c u i c o l o n n e h a n n o i f a t t o r i di s c o n t o di d i v e r s i m e t o d i C F _ M = CF * o n e s (1 , l e n g t h ( DF ( 1 , : ) ) ) ; % CF in f o r m a m a t r i c i a l e PV = s u m ( DF .* CF_M ,1) ’; e n d
mentre nel caso degli swap f u n c t i o n N P V _ s w p = N P V _ S w p _ f u n c ( DF , W , Swap , d e l t a _ i ) % V a l u t a z i o n e d e l l a v a r i a z i o n e di N P V n e l p o r t a f o g l i o d e f i n i t o da W e S w a p % Se W e DF s o n o d e l l e m a t r i c i a l l o r a si c o n s i d e r a o g n i c o l o n n a c o m e se % f o s s e r i f e r i t a ad un a n n o d i v e r s o Y e a r s = l e n g t h ( W (1 ,: ) ); % A n n i da c o n s i d e r a r e BPV = c u m s u m ( DF .*( d e l t a _ i * o n e s (1 , Y e a r s )) ,1); N P V _ s w p _ M a t r i x = W .*( S w a p (1: l e n g t h ( DF ( : , 1 ) ) ) * o n e s (1 , Y e a r s ).* BPV -(1 - DF )); N P V _ s w p = s u m ( N P V _ s w p _ M a t r i x ,1) ’; e n d
Variazione di cassa generata
La variazione è ottenuta dalla differenza di cassa generata nei diversi metodi. La cassa generata dagli swap è la seguente
f u n c t i o n C A S H = C A S H _ G e n e r a t e d ( F o r w a r d _ 6 m , d e lt a6 m , c a p _ f a c t o r , Swap , de lt a _i , DF , W , f l a g _ s t a t i c ) % C a l c o l o d e l l a c a s s a g e n e r a t a d a l p o r t a f o g l i o c o m p o s t o d a i s o l i s w a p % I N P U T % F o r w a r d _ 6 m = v e t t o r e di d u e e l e m e n t i c h e s o n o r i s p e t t i v a m e n t e il t a s s o % s p o t t r a t0 e t0 +6 m e il t a s s o f o r w a r d t r a t0 +6 m e t0 +1 y % c a p _ f a c t o r = f a t t o r e di c a p i t a l i z z a z i o n e t r a t0 +6 m e t0 +1 y % S w a p = t a s s i s w a p d e l m e r c a t o % d e l t a _ i / d e l t a 6 m = f r a z i o n i d ’ a n n o t r a le s c a d e n z e s e m e s t r a l i ed a n n u a l i % DF = c u r v a di s c o n t o b o o t s t r a p p a t a d a i d a t i di m e r c a t o % W = s t r a t e g i a di c o p e r t u r a % f l a g _ s t a t i c = 1 n o n si d e v e c o n s i d e r a r e l ’ a n n u l l a m e n t o d e l N P V d e g l i s w a p % C a l c o l o d e l f l u s s o v a r i a b i l e F l o a t _ C a s h = c a p _ f a c t o r * F o r w a r d _ 6 m ( 1 ) * d e l t a 6 m ( 1 ) + . . . F o r w a r d _ 6 m ( 2 ) * d e l t a 6 m ( 2 ) ; if f l a g _ s t a t i c ==1 n u l l _ N P V _ S w a p =0; e l s e n u l l _ N P V _ S w a p = S w a p .* c u m s u m ( d e l t a _ i .* DF ) -(1 - DF ); e n d % C a l c o l o d e l l a c a s s a C A S H = s u m (( - F l o a t _ C a s h + d e l t a _ i .* Swap - n u l l _ N P V _ S w a p ).* W ); e n d Costi di copertura
Nella presente sezione viene calcolata l’evoluzione dei costi nel tempo ed anche il loro valore attuale. f u n c t i o n [ Cost , D i s c o u n t e d C o s t ]= C o s t _ f u n c ( DF , W , d e l t a _ i ) % C a l c o l o d e l c o s t o d e l l a c o p e r t u r a W % O U T P U T % C o s t = v e t t o r e r i g a d e i c o s t i d e l l e s t r a t e g i e W da o g g i in f u t u r o % D i s c o u n t e d C o s t = c o s t o o d i e r n o d e l l e s t r a t e g i e W % I N P U T % DF = m a t r i c e le c u i c o l o n n e s o n o i f a t t o r i di s c o n t o da o g g i ( c o l o n n a 1) % a d a t a f u t u r a % W = m a t r i c e d e i p e s i le c u i c o l o n n e s o n o i P e s i n e i d i v e r s i a n n i % d e l t a _ i = v e t t o r e d e l l e f r a z i o n i a n n o in 3 0 / 3 6 0 % c o n s i d e r o u n a d i f f e r e n z a t r a b i d ed a s k p a r i a 1 bp
b i d _ a s k =1 e -4; Y e a r s = l e n g t h ( W (1 ,:)) -1; % A n n i da c o n s i d e r a r e BPV = c u m s u m ( DF .*( d e l t a _ i * o n e s (1 , Y e a r s + 1 ) ) , 1 ) ; d e l t a _ W y = z e r o s ( s i z e ( W )); % v a r i a z i o n e d e i p e s i in a n n i s u c c e s s i v i d e l t a _ W y (: ,1)= W (: ,1); if Years >0 % ho d e i p e s i n o n s o l o a l l a d a t a o d i e r n a d e l t a _ W y (: ,2: e n d )= W (: ,2: e n d ) - W (: ,1: end - 1 ) ; % v a r i a z i o n e di p e s i t r a d u e a n n i c o n s e c u t i v i e n d C o s t = s u m ( a b s ( d e l t a _ W y ).* b i d _ a s k .* BPV , 1 ) ; D i s c o u n t e d C o s t = C o s t ( 1 ) ; if Years >0 D i s c o u n t e d C o s t = D i s c o u n t e d C o s t + s u m ( DF (1: Years , 1 ) . * C o s t (2: e n d ) ’); e n d e n d
Notazioni
t0 data attuale di riferimento in cui si effettua la valutazione, scelta uguale al 31/12/2013
tn anno di riferimento ad una distanza di n anni dalla data attuale t0
δi frazione d’anno tra le date ti−1 e ti con la convenzione 30/360
Sn tasso swap quotato sul mercato in t0 = 0 con scadenza tn, tale notazione equivale a
Sn(t0)
LLP ultimo anno di liquidità degli swap nel modello di Wilson-Smith (Last Liquid Point),
scelto pari a 20 anni
U F R tasso forward asintotico pari a 4.2%
Tconv scadenza in cui si impone che il tasso forward sia ad una distanza inferiore a 3bp
dallo UFR, fissato uguale a 70 anni
CF vettore le cui componenti rappresentano le passività della compagnia assicuratrice nei
diversi anni
NCF dimensione del vettore CF , pari a 80
Nswp numero di swap presenti nel bucket a disposizione
Fs,e(t) tasso forward in t, calcolato tra ts e te. Nel caso in cui ts = ti−1 e te = ti, con ti
scadenze annuali si utilizza la notazione Fi(t)
Ft tasso forward in t0, calcolato tra t − 1 e t, t è espresso in anni
FBoot
t tasso forward in t0, calcolato tra t − 1 e t, t è espresso in anni, con il fattore di sconto
calcolato tramite il bootstrap della curva swap
FW S
t tasso forward in t0, calcolato tra t − 1 e t, t è espresso in anni, con il fattore di sconto
definito tramite il metodo di Wilson-Smith
FtW S−A tasso forward in t0, calcolato tra t − 1 e t, t è espresso in anni, con il fattore di
sconto definito tramite il metodo di Wilson-Smith Alternativo
P (tn) fattore di sconto calcolato tra t0 e tn
P (t0, ti, ti+1) fattore di sconto forward in t0 calcolato tra ti e ti+1
P0(t
n, ti) fattore di sconto tra tn e ti sotto lo scenario in cui i tassi realizzati sono uguali
ai tassi forward in t0
Pi(t
n) fattore di sconto da t0 a tn calcolato perturbando il tasso swap con scadenza ti di
uno shift positivo pari a 1bp
P±(tn, ti) fattore di sconto riferito tra tn e ti sotto lo scenario in cui i tassi realizzati sono
uguali ai tassi forward in t0, shiftati parallelamente di +1% o -1%
DV 01CF vettore le cui componenti rappresentano la variazione di Present Value delle
passività tra il caso in cui sia stato perturbato un tasso swap e il caso non perturbato, nel caso in cui si utilizzi la curva Euribor
DV 01W S
CF vettore le cui componenti rappresentano la variazione di Present Value delle
passività tra il caso in cui sia stato perturbato un tasso swap e il caso non perturbato, nel caso in cui si utilizzi la curva Wilson-Smith
DV 01swp matrice le cui componenti sono la variazione di NPV dello swap in esame tra il
caso perturbato e quello perturbato, utilizzando la curva Euribor
DV 01W S
swp matrice le cui componenti sono la variazione di NPV dello swap in esame tra il
caso perturbato e quello perturbato, utilizzando la curva Wilson-Smith \
DV 01CF vettore le cui componenti rappresentano la variazione di Present Value delle
passività tra il caso in cui sia stato perturbato triangolarmente un tasso swap e il caso non perturbato, utilizzando la curva Euribor
\
DV 01W S
CF vettore le cui componenti rappresentano la variazione di Present Value delle
passività tra il caso in cui sia stato perturbato triangolarmente un tasso swap e il caso non perturbato, utilizzando la curva Wilson-Smith
\
DV 01swp matrice le cui componenti sono la variazione di NPV dello swap in esame tra il
caso perturbato triangolarmente e quello perturbato, utilizzando la curva Euribor
W strategia di copertura nel caso si valutino sia le passività che gli swap con la curva Euribor
Wn strategia di copertura nel caso in cui le passività abbiano solo un flusso di cassa in t n
e si valutino sia tali passività che gli swap con la curva Euribor
Wstd strategia di copertura nel caso si valutino gli swap con la curva Euribor e le passività
con la curva Wilson-Smith, con l’approccio standard
WA
std strategia di copertura nel caso si valutino gli swap con la curva Euribor e le passività
con con il metodo di Wilson-Smith Alternativo, con l’approccio standard
WN std strategia di copertura nel caso si valutino gli swap con la curva Euribor e le passività
con la curva Wilson-Smith, con l’approccio non standard
c
W strategia di copertura nel caso si valutino sia le passività che gli swap con la curva
Euribor, con perturbazioni triangolari
\
WW S strategia di copertura nel caso si valutino sia le passività che gli swap con la curva
Wilson-Smith, con perturbazioni triangolari
d
Wstd strategia di copertura nel caso si valutino gli swap con la curva Euribor e le pas-
sività con la curva Wilson-Smith, con l’approccio standard e perturbazioni di tipo triangolare
\
WN std strategia di copertura nel caso si valutino gli swap con la curva Euribor e le passività
con la curva Wilson-Smith, con l’approccio non standard e perturbazioni di tipo triangolare
COST (tn) costo in tn di generazione/aggiustamento della strategia di copertura consi-
derando il tasso MID degli swap e una variazione tra BID/ASK e MID pari a 1bp
∆CASH±(tn) variazione di cassa in tngenerata dal portafoglio composto dagli swap e CF
tra lo scenario in cui il tasso forward calcolato in t0 sia shiftato di ±1% e quello non
shiftato, con l’utilizzo della strategia dinamica e l’annullamento del valore attuale netto degli swap
∆N P VCF± (tn) variazione di NPV in tn del portafoglio composto dai CF tra lo scenario in
cui il tasso forward calcolato in t0 sia shiftato di ±1% e quello non shiftato
∆N P Vswp± (tn) variazione di NPV in tn del portafoglio composto dagli swap tra lo scenario
in cui il tasso forward calcolato in t0 sia shiftato di ±1% e quello non shiftato, con
[Baviera 2006] Baviera R., Bond Market Model, International Journal of Theoretical and Applied Finance 9, 2006, 577-596.
[BIS 1988] Bank for International Settlements, International Convergence of Capital
Measurement and Capital Standards, Basel Committee on Banking Supervision, 1988.
[BIS 2005] Bank for International Settlements, International Convergence of Capital Mea-
surement and Capital Standards - A revised Framework, Basel Committee on Banking
Supervision, 2005.
[BIS 2011] Bank for International Settlements, Basel III: A global regulatory framework for
more resilient banks and banking systems, Basel Committee on Banking Supervision,
2011.
[Björk 2009] Björk T., Arbitrage theory in continuous time, Oxford University Press, 2009. [Brigo 2001] Brigo D., Mercurio F., Interest Rate Models: Theory and Practice, Springer
Finance, Heidelberg, 2001.
[CEIOPS 2009] Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervi- sors, CEIOPS’ Advice for Levell 2 Implementing Measures on Sollvency II: System of
Governance consultation paper, 2009.
[Cod Civ] Codice Civile, Articolo 1882, Libro IV, Titolo III, Capo XX, Sezione I, 2014. [EC 2002a] European Commission, Directive 2002/83/EC of the European Parliament and
of the Council of 5 November 2002 concerning life assurance, Official Journal of the
European Communities, 2002.
[EC 2002b] European Commission, Directive 2002/13/EC of the European Parliament and
of the Council of 5 March 2002 amending Council Directive 73/239/EEC as regards the solvency margin requirements for non-life insurance undertakings, Official Journal
of the European Communities, 2002.
[EC 2009] European Commission, Directive 2009/138/EC of the European Parliament and
of the Council of 25 November 2009 on the taking-up and pursuit of the business of Insurance and Reinsurance (Solvency II), Official Journal of the European Union, 2009.
[EEC 1973] European Economic Community, First Council Directive 73/239/EEC of 24
July 1973 on the coordination of laws, regulations and administrative provisions relating to the taking up and pursuit of the business of direct insurance other than life assurance,
Official Journal of the European Communities, 1973.
[EEC 1979] European Economic Community, First Council Directive 79/267/EEC of 5
March 1979 on the coordination of laws, regulations and administrative provisions rela- ting to the taking-up and pursuit of the business of direct life assurance, Official Journal
of the European Communities, 1979.
[Embrechts 2005] Embrechts P., Frey R., McNeil A. J., Quantitative Risk Management:
Concepts, Techniques and Tools, Princeton University Press, 2005.
[Hagan 2006] Hagan P. S., West G., Interpolation Methods for Curve Construction, Routledge, Applied Mathematical Finance, 13, 2006, 89-129.
[Ito 2012] Ito K., Functional Analysis and Optimization, North Carolina State University, monografia, 2012.
[Jamshidian 1989] Jamshidian F., An Exact Bond Option Formula, The Journal of Finance 44, 1989, 205-209.
[Kocken 2012] Kocken T., Oldenkamp B., Potters J., Dangerous design flaws in the Ul-
timate Forward Rate: The impact on risk, stakeholders and hedging costs, Cardano
working paper, 2012.
[KPMG 2002] KPMG, Study into the Methodologies to Assess the Overall Financial Po-
sition of an Insurance Undertaking from the Perspective of Prudential Supervision,
Contract ETD/2000/BS-3001/C/45, 2002.
[Lamfalussy 2001] The Committee of Wise Men, Final Report of the Committee of Wise
Men on the Regulation of European Securities Markets, final report, 2001.
[Lord 2012] Lord R., The Ultimate Forward Rate - Background, Issues and Impact, TopQuants Autumn Event 2012, Amsterdam, 2012.
[Müller 1997] Müller H., Solvency of Insurance Undertakings, Conference of the European Union Member States, report, 1997.
[QIS5 2010a] Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors,
[QIS5 2010b] Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors,
Quantitative Impact Study 5: Risk-free interest rates - Extrapolation method, working
document, 2010.
[Sandstörm 2006] Sandstörm A., Solvency: Models, Assessment and Regulation, Chapman & Hall/CRC, 2006.
[Sharma 2002] Conference of Insurance Supervisory Services of the Member States of the European Union, Prudential Supervision of Insurance Undertakings, report, 2002. [Smith 2000] Smith A., Wilson T., Fitting yield curves with long term constraints, Bacon