Caso di Wilson-Smith Alternativo

Quest’ultimo caso, per costruzione, presenta delle caratteristiche comuni ai due casi precedenti (Bootstrap e Wilson-Smith). Se si considerano delle perturbazioni sui tassi swap

con scadenze superiori o uguali a Tconv, queste non si osservano poichè il tasso forward ha

già raggiunto il tasso asintotico UFR. Tutte le altre perturbazioni invece vengono osservate in modi diversi:

• per perturbazioni sulla parte liquida, queste generano una configurazione uguale al caso del bootstrap,

• per shift sulla parte semi-liquida (tra LLP e Tconv), si hanno delle perturbazioni

che si smorzano a causa della presenza della funzione peso, fino ad azzerarsi, con conseguente convergenza all’UFR.

Quindi il DV01 nel caso di Wilson-Smith Alternativo per le scadenze liquide risulta molto simile alle sensitivity del bootstrap, come si osserva da Figura (3.5). Focalizzando l’attenzione sugli shift sui tassi swap con scadenze semi-liquide, si osserva la combinazione

dei due effetti sopra descritti: nelle scadenze appena successive al t20 si ha da un lato

l’innalzamento del tasso forward e dall’altro la perturbazione del bootstrap si propaga in maniera quasi invariata, generando un salto nel DV01; man mano che ci si allontana da

t20, il tasso forward converge all’UFR e la perturbazione di propaga in maniera sempre

al caso non perturbato, generando uno DV01 con componenti tutte dello stesso segno e per la quasi totalità diverse da zero.

Hedging delle Sensitivity

I modelli di valutazione delle voci del bilancio effettuati Mark-to-Market generano delle Sensitivity dovute alla volatilità degli strumenti quotati sul mercato e di conseguenza, per definizione, non si riesce ad essere immuni all’incertezza del mercato. Al fine di coprirsi da tale rischio è opportuno adottare una strategia di hedging, in modo da evitare di essere totalmente in balìa dei movimenti di mercato.

La definizione di una strategia di copertura comporta una necessaria domanda riguardo quali strumenti utilizzare e quali proprietà essi devono avere. Una caratteristica essenziale deve essere la liquidità in quanto la scelta della quantità degli strumenti da utilizzare per la copertura non è nota a priori e non può essere vincolata a limiti di disponibilità.

Nel caso in esame si vuole definire una copertura per le sensitivity generate dalla valu- tazione Mark-to-Market delle passività (si ricordi che i metodi definiti nel secondo capitolo fanno parte di tale categoria di valutazioni). Attraverso l’ipotesi di run-off, si suppone che la compagnia assicurativa non generi nuovi business e, di conseguenza, che le prestazioni previste restino costanti nel tempo. Inoltre si considera che tali passività siano definite solo dalle prestazioni future e dai costi di gestione associati e siano indipendenti da eventuali flussi di cassa generati da attività possedute dall’assicurazione.

L’approccio classico praticato comunemente sul mercato per la ricerca della strategia di copertura è sintetizzato in [Hagan 2006] pag.125

... si supponga di utilizzare n strumenti nel bootstrap e di volersi hedgiare proprio dagli stessi n movimenti dei tassi. In tal caso è facile osservare che si può costruire un hedging perfetto. Prima di tutto si calcola la matrice quadrata P dove Pij è il cambiamento di prezzo

dello strumento del bootstrap j-esimo sotto l’i-esima curva1_{. Poi si calcola la variazione}

di valore del portafoglio rischioso in esame sotto la curva i-esima in modo da formare un vettore colonna ∆V . La quantità dell’i-esimo strumento del bootstrap richiesta per una replica perfetta è la quantità Qi dove Q è la soluzione del sistema lineare P Q = ∆V .

Assumendo che P sia invertibile, si ricava la soluzione.

1_{Con l’espressione i-esima curva si intende la curva di sconto in cui è stato perturbato il tasso swap}

con scadenza ti.

In questo studio si utilizzano gli swap come strumenti per la copertura, si ricordi che la curva Euribor è stata generata dal bootstrap dei tassi swap, e le passività come portafoglio rischioso da hedgiare.

Naturalmente la scelta della metodologia di Accounting delle passività impatta in ma- niera significativa la gestione del rischio tasso d’interesse e quindi la scelta dell’hedge. Per verificarlo si considerano tre possibili scelte di Accounting

Acc 0 Passività e Swap valutati con la curva Euribor,

Acc 1 Passività e Swap valutati con il metodo di Wilson-Smith,

Acc 2 Passività valutate con la curva Wilson-Smith e Swap con la curva Euribor.

Anche se la prassi si sta muovendo verso la terza possibilità di Accounting, analizzare in dettaglio le prime due consente di comprendere le conseguenze della scelta dell’hedge per un’adeguata copertura dal rischio tasso d’interesse.

Nel presente capitolo si calcolano le coperture alla data di valutazione t0 e si ipotizza di

aver a disposizione tutti gli swap necessari al fine di generare l’hedging, ipotizzando che essi siano tutti disponibili sul mercato. Mentre nei prossimi capitoli si analizzerà l’evoluzione dei diversi hedging nel futuro e il caso in cui si costruisca una copertura solo con gli swap che sono realmente presenti sul mercato. Nelle seguenti sezioni, inoltre, si osserverà come le anomalie riscontrate nel calcolo delle sensitivity delle passività con la curva Wilson-Smith si riversano nella strategia di copertura generata con l’approccio comunemente utilizzato e come si necessiti di definire una nuova regola di hedging al fine di generare delle strategie che risultino più stabili negli anni. Infatti, avendo a disposizione delle passività su un orizzonte temporale che giunge fino a 80 anni, occorre trovare una strategia di copertura che non necessiti di esser modificata completamente nel corso degli anni.

4.1

Accounting 0

La valutazione delle passività attraverso la curva Euribor, come osservato nel precedente capitolo, comporta una sensitivity a tutti gli shift attuati sui tassi swap. Valutando anche gli swap con tale curva di sconto, in un modello single-curve, si definisce il DV01 per uno

swap con scadenza tn rispetto ad una perturbazione sul tasso swap con scadenza ti

DV 01swp(i, n) = Sn·Pnk=1δkPi(tk) − (1 − Pi(tn)) − (Sn·Pnk=1δkP (tk) − (1 − P (tn))) =

Sn·Pnk=1δk(Pi(tk) − P (tk)) + Pi(tn) − P (tn) (4.1)

dove, dall’annullamento del valore attuale netto dello swap, risulta

DV 01swp(i, n) = Sn· n

X

k=1

Poichè si risente di tutte le perturbazioni sugli swap, si considerano un numero di swap

Nswp pari a quello dei flussi di cassa NCF. Utilizzando tali swap, definendo le quantità

B =       P1(t1) − P (t1) P1(t2) − P (t2) · · · P1(tNswp) − P (tNswp) P2_(t 1) − P (t1) P2(t2) − P (t2) · · · P2(tNswp) − P (tNswp) .. . ... . .. ... PNswp_(t 1) − P (t1) PNswp(t2) − P (t2) · · · PNswp(tNswp) − P (tNswp)      

che è una matrice triangolare superiore, dato che il fattore di sconto ad una data non è influenzato da perturbazioni avvenute in date successive, e

S =       1 + δ1S1 δ1S2 · · · δ1SNswp 0 1 + δ2S2 · · · δ2SNswp .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1 + δNswpSNswp      

che è una matrice fortemente diagonale (differenza di 2 ordini di grandezza tra gli elementi diagonali ed extra-diagonali).

Si può scrivere (4.1) in forma matriciale

DV 01swp= B · S

Utilizzando la definizione di B e considerando che si è nell’Accounting 0, si scrive in forma

matriciale anche DV 01CF:

DV 01CF = B · CF

Nell’ottica di generare una copertura W tale da annullare la sentivity del portafoglio delle passività, si procede come indicato in [Hagan 2006], risolvendo il sistema lineare

DV 01swp· W + DV 01CF = 0

che corrisponde a

B · S · W + B · CF = 0

dall’invertibilità di B si ottiene

S · W + CF = 0 (4.2)

quindi la strategia di copertura nel caso in cui sia gli swap che le passività siano valutate allo stesso modo è indipendente dalla curva di sconto utilizzata. Tale indipendenza deriva dal considerare un approccio mono-curva per la valutazione degli swap con la curva Euribor. Attraverso tale ipotesi tutti i flussi della gamba variabile dello swap sono scomposti in due flussi deterministici come illustrato di seguito

quindi la strategia di copertura si genera dall’annullamento anno per anno di tutti i flussi di cassa sia delle passività che degli swap, partendo dall’ultimo flusso, e procedendo a ritroso fino al primo, ma tale procedura equivale proprio all’algoritmo per la risoluzione di sistemi lineari triangolari superiori applicato a (4.2).

La strategia generata (vedi Figura (4.1)), per costruzione, è statica, in quanto anche negli anni futuri si dovrà risolvere un sistema lineare triangolare superiore ed inoltre, approssimativamente, le componenti di tale copertura sono proporzionali alle rispettive passività. Queste due proprietà rendono tale strategia un benchmark per qualsiasi altra copertura.