Per introdurre l’anomalia di gravità, si riporta la formula di Bruns che lega il potenziale di disturbo T all’ondulazione N del geoide:
(2.1)
dove N = ondulazione del geoide, T = potenziale di disturbo e = accelerazione di gravità normale. Il geoide contiene anomalie locali che sono legate alle strutture della crosta quando sono piccole (un centinaio di km) mentre quando sono anomalie di maggior lunghezza d’onda sembrano esser collegate maggiormente al mantello (Dauteuil 2009). L’altimetria satellitare misura il livello marino e ciò consente di ricavare l’anomalia di gravità e le deviazioni dalla verticale. Nell’immagine seguente è riportata l’approssimazione del geoide (anomalia di altezza) in Africa nord-occidentale sviluppata nell’intervallo di ordine e grado 11-2159 e computato con una risoluzione di 0.01°x0.01° mediante il programma EGM08_Synthesis_1.0.
35 Geoide in Africa nord-occidentale
Fig. 2.3.2 Geoide EGM08 (d/o 720) e CAMP. La descrizione delle lettere è riportata nel testo. Sono
riportati a tratteggio i lineamenti tettonici di Neev (1982).
Nella figura 2.3.2 è rappresentato il geoide con sovrapposti gli affioramenti della CAMP secondo Milesi et al. 2013, De Min et al. 2003 ed El Hachimi (2010). Sono tratteggiati alcuni lineamenti tettonici secondo Neev (1982b). Il geoide in Africa nord-occidentale ha delle ondulazioni che rientrano in un intervallo da ca. -5 m a ca. +49 m. Le anomalie positive indicano un eccesso di massa. Le ondulazioni del geoide sembrano parallele allo sciame di fratture trans-africane descritte da Neev (1982). Sono riconoscibili le anomalie positive delle Canarie, Madeira e le seguenti. NI) Monti Nimba; FT) Complesso igneo stratificato presso Free Town; FD) Fouta Djalon; K) Mount Kakoulima; H) Hoggar; LF) Lago Faguibine; G) aulacogeno di Gourma. A nord si riscontra la forte anomalia positiva degli Atlas. WS indica l’anomalia positiva del geoide nel Sahara occidentale. Nella zona, Neev et al. (1982) ed altri autori hanno indicato dei dicchi che non risultano ascritti come CAMP. La cosiddetta “NW African plate” (Neev et al., 1982a) è caratterizzata da un’ampia anomalia negativa. In essa, la principale anomalia negativa è nel bacino Taoudenni (TB).
Le dimensioni orizzontali delle anomalie WS, FT, K, FD e NI sono relativamente piccole e pertanto sembrano essere collegate a sorgenti crostali. Le ampie anomalie positive negli Atlas e negative nella porzione di litosfera orientata NE-SW centrata nel bacino di Taoudenni (una “slice” identificata da Neev et al., 1982) sembrano avere origine profonda nel mantello. FD e
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NI, siti della CAMP, sembrerebbero corrispondere alle posizioni delle rocce vulcaniche durante la transizione Precambriano-Cambriano di Doblas (2002). La vicinanza a rocce vulcaniche molto più antiche ha indotto chi scrive ad approfondire altre aree, lontante da possibili rocce magmatiche di età diversa da quella ricercata.
Anomalia di gravità
L’anomalia di gravità è la grandezza fisica che esprime l’entità della variazione (surplus o deficit) di massa rispetto alla massa di un ellissoide di rotazione omogeneo e teorico di riferimento. Essa è definita come la differenza tra l’accelerazione di gravità misurata sul geoide (valore misurato indirettamente) rispetto a quella calcolata sull’ellissoide (valore normale o teorico di riferimento). L’unità di misura delle anomalie di gravità è il milliGal (mGal), millesima parte del Gal ovvero la g.u. (Gravity unit,1 gu = 10-6 m/s2= 0.1 mGal).
Fig.2.3.3. L’anomalia di gravità è la differenza tra gP e . La lettera N indica lo scarto tra il geoide e l’ellissoide (detto ondulazione del geoide).
n’ è la normale all’ellissoide ed n è la normale al geoide. gP e sono efinite nel testo. (da Russian, 2009).
L’anomalia di gravità è un vettore definito come in cui è l’accelerazione di gravità nel punto P posto sul geoide e è l’accelerazione di gravità calcolata nel punto Q sull’ellissoide di riferimento. Nella simbologia seguente, P è un punto sul geoide e Q è un punto sull’ellissoide. Detta formula può anche essere scritta nel seguente modo:
(2.2)
L’equazione fondamentale della geodesia fisica mette in relazione l’anomalia di gravità con il potenziale di disturbo T, l’altezza ellissoidica h e la gravità normale .
(2.3)
Prima dell’avvento del GPS poteva esser definita solamente g. Nell’equazione fondamentale
il potenziale di disturbo è in relazione con le anomalie di gravità che sono osservabili direttamente. Se si sostituisce il gradiente verticale di gravità con l’approssimazione per una Terra sferica, si ottiene: . Quest’ultima può essere differenziata e, dopo l’integrazione, si ottiene:
(2.4)
Quindi l’anomalia di gravità può essere espressa dalla:
(2.5)
L’anomalia di gravità può anche esser approssimata dallo sviluppo in armoniche sferiche del potenziale di disturbo:
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(2.6)
dove n è il grado dello sviluppo, r = distanza del punto di computazione dal centro di massa, sono i coefficienti armonici ovvero coefficienti di Stokes; a = raggio equatoriale; n = ordine ed = grado dello sviluppo; = Polinomi associati di Legendre; M = Massa della Terra e G = costante gravitazionale; infine sono rispettivamente il raggio fino al punto di computazione, colatitudine e longitudine. Per calcolare la lunghezza d’onda minima risolvibile di tale funzione, viene solitamente usata la seguente procedura. Il diametro equatoriale viene diviso per il numero di onde dello sviluppo, λmin ≈ 40000 km/N = 2πR/N modificato da Barthelmes et al. (2009) che esprime lo stesso risultato in termini di mezza lunghezza d’onda.
λ (lungh. min.) N = grado
19 km 2159
55 km 720
110 km 360
160 km 250
330 km 120
Le anomalie di gravità della Terra sono comprese in un intervallo da -120 mGal a +120 mGal (Garland, 1965) a seconda del punto di misura ed in relazione alla densità del terreno sottostante la stazione. Ad esempio, nel Mediterraneo orientale vi è una forte anomalia negativa mentre nei rilievi delle Ande si rileva un’importante anomalia positiva.
Gradiente di gravità
L’oggetto delle misure dei satelliti gravimetrici di nuova generazione è la misurazione del gradiente del campo gravitazionale. Il gradiente di gravità è noto anche come tensore gradiente ovvero tensore Marussi o tensore Eötvös. I gradienti di gravità si correlano meglio rispetto all’anomalia di gravità con le caratteristiche geologiche quali rift, fold belts, depositi magmatici ed intrusioni. Essi sono uno strumento ideale per seguire le unità geologiche (come il basamento) al di sotto di formazioni stratificate come i sedimenti (Braitenberg et al., 2011a).
Il tensore Marussi è utile per valutare le variazioni dell’accelerazione nello spazio ed è costituito dalle nove derivate parziali seconde del potenziale gravitazionale. In un sistema cartesiano viene indicato con una delle seguenti notazioni.
(2.7)
In un sistema di coordinate sferiche, il gradiente di disturbo è definito dalla:
(2.8)
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Le componenti sono espresse in termini di derivate seconde del potenziale, in funzione della latitudine e della longitudine e del raggio. Di seguito si riporta la definizione della sola componente TZZ come esempio più significativo, essendo ritenuta lo strumento più utile nella definizione dei limiti delle unità geologiche.
(2.9)
Il gradiente di gravità è detto anche gradiente di disturbo T ed è un tensore simmetrico costituito da 9 componenti. Essendo simmetrico, solo sei delle nove componenti sono linearmente indipendenti. Inoltre fuori dalla sorgente viene soddisfatta l’equazione di Laplace
( ) cosicché di questi sei, solo cinque sono indipendenti. Tre di essi giacciono fuori
dalla diagonale mentre due appartengono alla diagonale. Come già detto, il gradiente di gravità si misura in Eötvös (E ovvero E.U., Eötvös Unit) e l’unità di misura del gradiente prende il nome dal fisico ungherese Loránd Eötvös (1848 – 1919) ed è la seguente.
1 E.U. = 1 E = 10-9 s-2= 10-9 m/s2/m=10-7 Gal/m = 0.1 mgal/km
In Italia, il nome del gradiente è dedicato al matematico triestino Antonio Marussi (1908 – 1984) noto per aver sviluppato una moderna teoria basata sul calcolo tensoriale.