Il circuito equivalente di una macchina a induzione riportato in figura 2.2 è una variante di quello riportato nelle normative [3]. Alcuni dei parametri in esso rappresentati possono essere considerati costanti altri sono fortemente dipendenti dal punto di lavoro. Ai fini di questo studio è possibile raggruppare tali parametri in quattro categorie che dipendono dall’approccio utilizzato per calcolarli.
Fig. 2.2: Circuito equivalente a parametri concentrati in configurazione a T, in evidenza in rosso i parametri non lineari che
dipendono dallo scorrimento e dalla corrente e in blu i parametri costanti calcolati analiticamente.
Parametri calcolati analiticamente: I parametri calcolati analiticamente sono di seguito elencati:
Rs
Resistenza degli avvolgimenti di fase della macchina a induzione:
Questa grandezza è funzione della temperatura di funzionamento della macchina. È stata calcolata con l’ausilio di formule che valutano precisamente l’estensione della bobina dell’avvolgimento statorico.
Xσs_end
Reattanza di dispersione delle testate degli avvolgimenti del circuito statorico:
Per valutare questa grandezza correttamente è necessaria un’analisi FE 3D. Si è quindi scelto di stimare tale grandezza tramite formula analitica empirica. Si osserva che questo parametro non è variante sensibilmente in funzione della corrente e della frequenza di scorrimento. Si è quindi ipotizzato che il suo andamento rimanga costante al variare del punto di funzionamento e che non sia interessato da fenomeni di saturazione.
Rr_ring
Resistenza dell’anello di cortocircuito della gabbia rotorica riportata a statore:
Per la stima di questo parametro si è trascurata la sua dipendenza dalla frequenza di scorrimento che è prevalentemente presente nelle fasi iniziali dell’avviamento, in queste condizioni la corrente che circola nel circuito rotorico ha la medesima frequenza di quella di alimentazione (rotore bloccato). Nelle condizioni descritte l’effetto pelle e la relativa distribuzione della corrente dipendono, oltre che dalla frequenza di scorrimento, anche della vicinanza dell’anello di cortocircuito al circuito magnetico rotorico. Questo fenomeno è valutabile precisamente
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esclusivamente con un analisi FE 3D e con una rappresentazione dettagliata del modello geometrico. L’effetto pelle è preponderate e non è trascurabile nella porzione di gabbia (le barre) immersa nel materiale ferromagnetico rotorico.
Parametri calcolati attraverso analisi magnetostatiche FE 2D: Alcuni dei parametri del circuito sono stati calcolati con analisi effettuate su una sezione centrale della macchina a induzione. Questi parametri non sono influenzati sensibilmente da effetti di bordo.
Xm
Reattanza di magnetizzazione:
Questa grandezza è fortemente dipendente dal flusso concatenato di macchina e quindi è funzione della corrente magnetizzante. Questo parametro è soggetto al fenomeno della saturazione magnetica il cui andamento è definito intrinsecamente dal materiale di cui è costituito il circuito magnetico di statore e rotore.
Xσs_stack
Reattanza di dispersione del circuito statorico escluse le testate:
Anche questa grandezza è stata calcolata tramite analisi FE magnetostatiche. Questo parametro dipende dal flusso disperso definito come il flusso che si concatena esclusivamente con l’avvolgimento statorico e non con il circuito di rotore.
Parametri calcolati attraverso analisi tempo-armonico FE 2D: Questi parametri dipendono fortemente dalle correnti indotte nella gabbia rotorica, che generalmente è costituita da materiale massiccio, al variare della frequenza di scorrimento. Attraverso simulazioni magnetostatiche non è possibile valutare il fenomeno dell’addensamento si è quindi analizzato queste grandezze riproducendo delle prove a rotore bloccato per diversi valori di frequenza di scorrimento attraverso delle analisi tempo armonico FE 2D su una sezione centrale della macchina. Di seguito vengo elencate tali grandezze:
Xσr_stack
Reattanza di dispersione del circuito rotorico escluso l’anello di cortocircuito rotorico:
Questo parametro dipende dalle corrente di alimentazione e quindi dalla saturazione del circuito magnetico e dalla frequenza di scorrimento.
Rr
Resistenza di rotore associata alle barre riportata a statore:
Questa grandezza dipende prevalentemente dalla frequenza di scorrimento e dalla temperatura a cui si portano le barre nelle varie fasi di funzionamento.
Parametri definibili attraverso formule analitiche ma che sono stati trascurati nella fase iniziale del progetto relativa alla validazione del metodo: Nella prima parte dell’analisi essi sono stati trascurati perché influenzano marginalmente l’identificazione dei parametri principali del circuito equivalente della macchina elettrica come dimostrato dai risultati ottenuti. Tuttavia sono stati reintrodotti nella seconda fase, relativa allo sviluppo dell’algoritmo per la stima prestazionale della macchina, al fine di valutarne il rendimento e massimizzare la generalizzazione del metodo proposto:
Rfe
Resistenza fittizia per il computo complessivo delle perdite del circuito magnetico di statore:
Questa grandezza è stata introdotta per valutare esclusivamente le perdite associate al circuito magnetico statorico mentre quelle del circuito
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magnetico di rotore sono state trascurate. Questo approssimazione è tanto migliore quanto minore è lo scorrimento e quindi la frequenza di scorrimento.
Rmech
Resistenza fittizia per il computo complessivo delle perdite meccaniche: Le perdite meccaniche sono dovute prevalentemente all’attrito meccanico dei cuscinetti, alle perdite per ventilazione e all’ attrito viscoso dell’aria sulle superfici rotoriche. L’impatto di quest’ultima componente sul computo complessivo delle perdite varia sensibilmente al variare della velocità di rotazione. Si spazia da valori quasi del tutto trascurabili per macchine lente ad alta polarità fino a valori estremamente elevati per macchine superveloci1 rendendola la principale fonte di perdite per queste ultime.
Xσr_end
Reattanza di dispersione dell’anello di cortocircuito rotorico:
Per valutare precisamente questa grandezza, che influenza marginalmente le prestazioni della macchina elettrica, sarebbe necessaria una analisi FE 3D. Si è quindi deciso di stimarla analiticamente utilizzando una formula empirica.
Il metodo di calcolo per le resistenze fittizie Rfe e Rmech utilizzato nel proseguo della trattazione viene di seguito esposto. Per Rfe è fondamentale definire le perdite nel ferro, tali perdite sono calcolabili facilmente utilizzando la cifra di perdita fornita dai fornitori di lamierini ferromagnetici tuttavia utilizzando questo approccio la stima delle perdite ad alte frequenze e per valori elevati di induzione non è soddisfacente. Al fine di definire tali valori si è scelto di utilizzare la formula di Bertotti modificata esposta in [4] [5] e di seguito riportata.
C%& = • , V + •s+ •#,?€ · , V + •k,s.kVs.k (2.1)
Dove B e f sono rispettivamente l’induzione puntuale e la frequenza di alimentazione mentre a1, a2, a3, a4, a5 sono dei coefficienti ricavabili attraverso regressione polinomiale disponendo della caratterizzazione completa della perdite del materiale ferromagnetico per diversi valori di frequenza e induzione. Un esempio di tali caratteristiche è riportato in figura 2.3.
Si sottolinea che pur avendo caratterizzato in modo soddisfacente l’andamento delle perdite nel ferro attraverso 2.1 la loro ampiezza è fortemente soggetta alle lavorazioni industriali che vengono eseguite in officina per la costruzione della macchina. La tranciatura dei lamierini, l’impaccaggio, il fissaggio del pacco all’interno della carcassa sono tutte lavorazioni il cui effetto è quello di amplificare le perdite nel ferro. Si è reso quindi necessario utilizzare un coefficiente di lavorazione che comunemente viene adottato nel calcolo industriale delle macchine elettriche il cui valore può variare tipicamente in un intervallo da 1.5 a 2 in funzione del grado di usura dei punzoni e della qualità delle lavorazioni compiute.
Per la definizione delle perdite meccaniche (PMECH) associate alla ventola e ai cuscinetti si sono utilizzate le perdite fornite dai costruttori che sono facilmente reperibili sui cataloghi. Mentre per quanto riguarda le perdite per attrito si è fatta una stima sulla base della esperienza pregressa e sui dati disponibili da sala prove per macchine con polarità simile a quelle analizzate.
1
Vengono definite macchine elettriche superveloci quelle macchine elettriche la cui velocità di rotazione è superiore ai 3000 rpm.
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Fig. 2.3: Caratterizzazione delle perdite di un lamierino magnetico di spessore 0.65 mm per diversi valori di frequenza e induzione. Immagine
tratta dal catalogo ArcelorMittal.
In seguito alle definizione delle perdite i parametri che le identificano sono facilmente definibili attraverso le relazioni 2.2 e 2.3
)V• =3 ·C%&∗ (2.2)
)6•Kℎ =C^&*3 · ∗ (2.3)
Dove V* è la tensione hai capi del ramo trasversale del circuito equivalente. Si riassume per comodità quanto esposto finora in tabella 2.1
Tab. 2.1: Definizione dei parametri del circuito equivalente.
Parametri calcolati analiticamente Valutati Rs Rr_ring Xσs_end Trascurati nella definizione del metodo di calcolo.
Valutati nell’implementazione dell’algoritmo per la definizione delle prestazioni
Rfe Rmech Xσr_end
Parametri calcolati con Analisi FE 2D
Magnetostatiche Xm
Xσs_stack
Tempo armonico Rr
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2.3 Macchina elettrica utilizzata per la validazione del metodo di calcolo