Dinamica di un solido con un punto fisso O

Prendendo come terna solidale Oe⁰₁e⁰₂e⁰₃ una principale di inerzia diagonalizzo Y (O) in (38):

Y (O) =



 A

B C



 (62)

Chiaramente e⁰_i ruotano rispetto alla terna fissa, e valgono le formule di Poisson _dt^de⁰_i = ω ×e⁰_i. Indichiamo, come Eulero, con A, B, C i momenti principali corrispondenti e con p, q, r le componenti di ω in {e⁰_i}; sono quindi le componenti nel riferimento solidale della velocit´a angolare rispetto al riferimento fisso. Risulta di conseguenza

ω = pe⁰₁+ qe⁰₂+ re⁰₃ (63)

L_O = Ape⁰₁+ Bqe⁰₂+ Cre⁰₃ (64)

T = 1

2(Ap²+ Bq²+ Cr²) (65)

L˙_O = A ˙pe⁰₁+ B ˙qe⁰₂+ C ˙re⁰₃+ ω × L_O (66) e la IIECD (2) diventa il sistema delle equazioni di Eulero

A ˙p − (B − C)qr = M_O^(e)0x = M_O^(v)0x+ M_O^(a)0x

B ˙q − (C − A)rp = M_O^(e)0y = M_O^(v)0y + M_O^(a)0y (67) C ˙r − (A − B)pq = M_O^(e)0z = M_O^(v)0z+ M_O^(a)0z;

queste ultime sono tre equazioni del primo ordine nelle nove incognite p, q, r, ϕ, ϑ, ψ, (M^(a)_O pu´o dipendere in generale da tutte e sei) e le 3 componenti di M^(v)_O . Per pareggiare nu-mero di equazioni e di incognite bisogna aggiungere tre relazioni che diano conto dell’effetto dell’attrito e le tre relazioni, puramente cinematiche, che collegano p, q, r a ˙ϕ, ˙ϑ, ˙ψ. Le prime tre sono note (e semplicissime) solo nel caso di punto fisso liscio: M^(v)_O = 0. Le seconde sono

p = ˙ϕ sin ϑ sin ψ + ˙ϑ cos ψ

q = ˙ϕ sin ϑ cos ψ − ˙ϑ sin ψ (68) r = ˙ϕ cos ϑ + ˙ψ

Esse si possono ricavare sostituendo e⁰_j =

3

P

h=1

A^h_j(t)e_h, ˙e⁰_j =

3

P

h=1

A˙^h_j(t)e_h, ({e_h} `e la terna fissa) con la matrice A espressa in termini di angoli di Eulero ϕ, ϑ, ψ, nella formula (del teorema di Poisson) ω := ¹₂

3

P

j=1

e⁰_j× ˙e⁰_j. Solo quando M^(e)_O non dipende da ϕ, ϑ, ψ (in particolare, quando

`e nullo) allora le (67) sono disaccoppiate dalle (68) e possono essere risolte separatamente.

1.9.1 Moti di Poinsot

Quando M^(e)_O = 0 il moto di rotazione `e libero (moto di “Poinsot”) e le equazioni possono essere integrate esattamente. Ci´o accade per esempio se il punto fisso `e liscio e non ci sono forze attive. Innanzitutto cerchiamo soluzioni delle equazioni di Eulero del tipo: p, q, r = cost,

p(t) = p₀, q(t) = q₀, r(t) = r₀. (69) Le equazioni di Eulero diventano

(B − C)q₀r₀ = 0, (C − A)r₀p₀ = 0, (A − B)p₀q₀ = 0. (70) Ammesso che ne esistano, esse corriponderanno a rotazioni uniformi attorno ad asse invari-abili (rotazioni permanenti). Infatti per le formule di Poisson si avr´a

˙

ω = p₀˙e⁰₁+ q₀˙e⁰₂+ r₀˙e⁰₃ = ω × (p₀e⁰₁+ q₀e⁰₂+ r₀e⁰₃) = ω × ω = 0

che implica che ω = cost (cio `e le sue componenti sono costanti anche rispetto ala terna fissa), e quindi l’asse di rotazione At k ω ha direzione costante, ma dovendo passare per O sar´a invariante e la velocit´a angolare ˙ϕ = cost. Mostriamo ora effettivamente l’esistenza di questo tipo di soluzioni distinguendo i tre casi possibili.

1. Se A, B, C sono tutti differenti le (70) ammettono soluzioni costanti con due delle tre costanti p₀, q₀, r₀ uguali a zero. Queste tre soluzioni corrispondono a moti di rotazione uniforme attorno ai tre (soli) assi principali. Se A < B < C, si pu´o mostrare che le rotazioni attorno al primo e al terzo asse sono stabili, quelle attorno al secondo sono instabili.

2. Supponiamo ora che l’ellissoide d’inerzia sia rotondo, e perci´o due dei momenti princi-pali di inerzia sono uguali, ad es. A = B. Le (70) saranno soddisfatte se

p₀ = q₀ = 0, r₀ arbitrario; oppure r₀ = 0, p₀, q₀ arbitrari.

La prima dar´a la rotazione uniforme attorno all’asse principale di inerzia di direzione e⁰₃, la seconda dar´a la rotazione uniforme attorno a un asse giacente nel piano e⁰₁, e⁰₂, che anche sar´a principale di inerzia, perch´e l’ellissoide d’inerzia `e rotondo attorno a e⁰₃. Analoghi risultati si troveranno se B = C oppure A = C.

3. Se A = B = C (ellissoide E_Osferico) le (70) sono automaticamente soddisfatte qualunque siano p0, q0, r0. Anzi da (67) e M^(e)_O = 0 segue che tutte le soluzioni delle equazioni di Eulero sono di questo tipo. `E possibile quindi il moto di rotazione uniforme attorno ad un asse arbitrario (che ricordiamo in questo caso `e sempre principale di inerzia).

Possiamo riassumere i tre casi dicendo che le rotazioni permanenti sono possibili solo attorno ad assi principali d’inerzia.

Restano da determinare le soluzioni differenti da queste nei casi 1,2. Si possono integrare esprimendo due tra le p, q, r in funzione della terza e delle costanti del moto

T = 1

2(Ap²+ Bq²+ Cr²), L²_O = A²p²+ B²q²+ C²r², (71) e sostituendole nell’equazione di Eulero dove `e derivata la terza. Questa si presenter´a come un’equazione del primo ordine in forma normale, che si potr´a integrare per quadratura.

Se A, B, C sono tutti differenti la soluzione si esprime tramite funzioni ellittiche (ottenute invertendo integrali ellittici di prima specie). Essa andr´a sostituita nelle (68), che andranno anch’esse integrate.

Se due momenti di inerzia sono uguali (giroscopio), la soluzione si esprime con funzioni trigonometriche. Se per fissare le idee A = B, la terza eq. ha soluzione r(t) = r0. Sostituen-dola nelle prime due, e derivando la prima rispetto a t otteniamo

A¨p⁽⁶⁷⁾= (A − C) ˙¹ qr₀ ⁽⁶⁷⁾= r² ₀²(C − A)

 1 − C

A



p ⇒ ¨p + µ²p = 0 avendo posto

µ =

 1 −C

A



r₀. (72)

Le soluzioni sono del tipo p(t) = c sin(µt+ϕ), che implica q = µ⁻¹p = c cos(µt+ϕ): nel piano˙ (p, q) il punto (p(t), q(t)) percorre una circonferenza di raggio c di moto uniforme, quindi rispetto alla terna solidale ω spazza con velocit´a uniforme un cono con asse e⁰₃. Si potrebbe sostituire queste relazioni in (68) e risolverle. Diamo invece una descrizione qualitativa della soluzione. Da

cost = L_O = A(pe⁰₁ + qe⁰₂) + Cre⁰₃ = Aω + (C − A)r₀e⁰₃ segue che L_O, ω, e⁰₃ sono sempre complanari e

ω = L_O

A + µe⁰₃ ≡ ω₁+ ω₂; (73)

ω₁, ω₂ sono rispettivamente costanti nel riferimento fisso e in quello solidale. Consideriamo ora la velocit´a del generico punto P del solido S:

v_P = ω × (P − O) = ω₁× (P − O) + ω₂× (P − O). (74)

Figure 7:

Se P ∈ ~z⁰ (asse giroscopico), allora (P − O) = z_P⁰ e⁰₃ ed il secondo termine `e nullo, cio`e la velocit´a `e pari a quella v<sub>P</sub> = ω<sub>1</sub>× (P − O) che avremmo se ancorassimo ~z<sup>0</sup> su un solido S<sup>0</sup> che ruota con velocit´a angolare costante ω<sub>1</sub> attorno all’asse fisso r k ω<sub>1</sub> k L<sub>O</sub> passante per O. ~z<sup>0</sup> `e fisso rispetto a S⁰, e S visto da S⁰ ruota attorno ad esso con velocit´a angolare ω₂. Il secondo termine in (74), che `e nonnullo se P /∈ ~z<sup>0</sup>, rappresenta la velocit´a di P rispetto S<sup>0</sup> in questa moto rotatorio. Quindi il moto di S rispetto alla terna fissa `e loro composizione:

il giroscopio ruota con velocit´a angolare ω₂ costante attorno al suo asse giroscopico e⁰₃, il quale a sua volta descrive un cono attorno all’asse L_O con velocit´a ω1 costante (moto di precessione regolare). La relazione (73) implica che L_O, ω, e⁰₃ sono complanari e che perci´o gli ultimi due, visti dallo spazio fisso, ruotano attorno alla direzione (fissa) di L_O con la stessa velocit´a angolare (di precessione) ω1, descrivendo due coni coassiali.

Si pu´o dare una descrizione qualitativa e visiva dei moti di Poinsot con la cosiddetta costruzione di Poinsot. La conservazione dell’energia cinetica fa s´ı che ad ogni istante ω soddisfi l’equazione (48) dell’ellissoide EO; siccome EO `e solidale al solido, descrivere il suo moto equivale a descrivere il moto del solido stesso. Detto ∇<sub>ω</sub> = e<sub>1∂p</sub><sup>∂</sup>+e<sub>2∂q</sub><sup>∂</sup>+e<sub>3∂r</sub><sup>∂</sup> il gradiente nello spazio delle ω, si verifica facilmente che L<sub>O</sub> = ∇<sub>ω</sub>T . D’altro canto in ogni punto ω soluzione dell’equazione (48) risulta ∇ωT ⊥ EO. Quindi EO `e tangente al piano π ⊥ L_O passante per ω, v. fig. 7-sinistra; ma π `e fisso perch´e non solo il suo orientamento, ma anche la sua distanza δ = ω · vers(L<sub>O</sub>) = 2T /L<sub>O</sub> dal punto fisso O `e una costante del moto. Il punto di contatto Pc tra π, EO appartiene a At, poich´e OPc k ω k At e O ∈ At; quindi Pc

ha istantaneamente velocit´a zero, il che implica che E_O rotola su π senza strisciare. Quindi il moto del solido `e quello determinato dal moto di puro rotolamento di E<sub>O</sub> (con O fisso) su π. La traiettoria di Pc su π si riduce ad un punto se ω(0) `e parallelo ad un asse principale d’inerzia (v. fig. 7 centro); pi´u in generale `e una circonferenza - ed il moto del solido `e di precessione regolare - se E_O`e rotondo, mentre `e una curva trascendente (che in generale non si chiude), se A, B, C sono tutti differenti, cio`e se EO `e triassico.

1.9.2 Effetto giroscopico

Se EO`e rotondo attorno a un asse r il solido si dice a struttura giroscopica attorno a r. Pi´u in generale si chiama giroscopio un qualsiasi solido con ellissoide centrale d’inerzia E_G rotondo

attorno ad un asse r (asse giroscopico), v. Fig. 7-destra. Per la legge di trasformazione del tensore d’inerzia sotto traslazione di una terna baricentrale si trova che E_O `e anch’esso rotondo attorno a r (e quindi il solido ha struttura giroscopica) ∀O ∈ r. Sceglieremo la terna solidale in modo che ~z⁰ coincida con r.

Sia A = B (struttura giroscopica attorno a e⁰₃). Supponiamo che a t = 0 il giroscopio ruoti attono al suo asse con velocit´a angolare r₀e⁰₃, e applichiamogli a partire da questo istante delle forze esterne con momento risultante M^(e)_O tale che

M_O^{0 3} = 0, (75)

per esempio esercitando una forza direttamente sul suo asse. (Esempi: trottola con forza peso, volano ruotante attorno a un asse ruotante a sua volta attorno ad un punto, v. libro).

Quando r₀ = 0, l’asse si riorienta in modo da assecondare la forza, p. es. la trottola cade. Per grandi r₀ si osserva invece

1. Tenacia dell’asse di rapida rotazione: Il giroscopio si oppone ad un riorientamento del suo asse in misura tanto maggiore quanto maggiore `e r<sub>0</sub>. (Se l’applicazione delle forze esterne `e di breve durata, come per esempio a causa di vibrazioni del vincolo, il riorientamento `e impercettibile)

2. Tendenza al parallelismo con M^(e)_O : l’asse giroscopico si riorienta (molto lentamente) tendendo al parallelismo con il momento della sollecitazione esterna, L_O k e⁰₃, senza necessariamente raggiungerlo. Se per esempio applico una forza F all’asse, il riorienta-mento avviene ⊥ a F . La trottola pesante per esempio compie un moto di precessione.

Come si spiega? Per la (75), di nuovo (67)₃ implica

r(t) = r0, L_O = A(pe⁰₁+ qe⁰₂) + Cr0e⁰₃. (76) Se p(0) = 0, q(0) = 0, risulta L_O(0) = Cr₀e⁰₃. Ragioniamo ora prima in modo euristico. Per continuit´a sar´a

L_O(t) ' Cr₀e⁰₃ ⇒ M^(e)_O = ˙L_O ' Cr₀de⁰₃

dt . (77)

almeno per piccoli t; inoltre ci aspettiamo che al crescere di r0 si allunghino i tempi t per cui (77) rimanga valida. Conseguentemente

d

dte⁰₃ ' ε

CM^(e)_O , ε := 1

r₀. (78)

La derivata del versore dell’asse ´e quindi inversamente proporzionale a Cr₀, che spiega la tenacia del giroscopio, ed ha la direzione di M^(e)_O , che spiega la tendenza al parallelismo.

Mostriamo ora che se le forze attive sono conservative con energia potenziale U (˜q) limitata inferiormente (indico con ˜q la terna degli angoli di Eulero, o un altro terna di coordinate lagrangiane), cio`e U (˜q) ≥ U_m, la (77) vale in un senso ben preciso per t arbitrariamente grandi. La conservazione dell’energia totale d´a T + U = T₀+ U₀, da cui segue, in virt´u della (76) e di p(0) = 0, q(0) = 0,

U₀ − U = T − T₀ = A(p²+ q²) ≥ 0, U₀ := U [˜q(0)].

Ma U₀−U (˜q) ≤ ∆ := U₀−U_m per ogni ˜q, perci´o per ogni t > 0

kL_O−Cr₀e⁰₃k² = kA(pe⁰₁+ qe⁰₂)k² = A²(p²+q²) ≤ A∆ (79) (se U `e limitata anche superiormente, cio`e U (q) ≤ U_M, la disequazione vale anche con

∆ := U_M−U_m, che `e indipendente da ˜q(0)). Ne segue

L_O− Cr₀e⁰₃ Cr₀

≤ ε

√A∆

C , (80)

cio`e la differenza relativa tra L_O e Cr₀e⁰₃ ´e maggiorata da ε

√ A∆

C  1 (se r₀ `e grande), e la parte dominante di L<sub>O</sub> `e Cr₀e⁰₃. Applichiamo ora questi risultati al

Giroscopio pesante (trottola)

Consideriamo un giroscopio pesante con un punto O del suo asse vincolato senza attrito a rimanere fisso e cui sia stata impressa una forte rotazione iniziale attorno al suo asse (trottola pesante, v. fig. 7 destra). La forza peso F = mg, che si pu´o considerare applicata in G, non lo fa cadere anche se l’asse `e inclinato, ma fa ruotare quest’ultimo attorno alla verticale. La (78) e le formule di Poisson implicano

M^(a)_O = (G − O) × F = z_G⁰ me⁰₃× g ' Cr₀de⁰₃

dt = −e⁰₃× ωCr₀

⇒ e⁰₃× [z_G⁰ mg + ωCr₀] ' 0 ⇒ z⁰_Gmg + ωCr₀ ' λe⁰₃

con un certo fattore di proporzionalit´a λ. Affinch´e la parte dominante del primo membro sia uguale al secondo membro deve essere λ ' Cr₀²; risolvendo rispetto ad ω troviamo

ω ' ω₂+ ω₁+ O(ε²), (81)

ove abbiamo posto

ω₁ := r₀e⁰₃ ω₂ := −z_G⁰ mg/Cr₀. (82) ω₂ `e costante nello spazio fisso, ω<sub>1</sub> nello spazio solidale. Quindi il moto della trottola `e approssimativamente di precessione regolare, cio´e di composizione di una rotazione propria del solido attorno all’asse giroscopico (quello di figura) con velocit´a ω₁ e di una precessione dell’asse giroscopico attorno all’asse verticale con velocit´a ω₂. Inoltre si noti che ω₂ `e inver-samente proporzionale a ω₁. Ecco perch´e, quando ω₁ diminuisce (a causa degli attriti), ω₂ aumenta, finch´e cade.