LO− Cr0e03 Cr0
≤ ε
√A∆
C , (80)
cio`e la differenza relativa tra LO e Cr0e03 ´e maggiorata da ε
√ A∆
C 1 (se r0 `e grande), e la parte dominante di LO `e Cr0e03. Applichiamo ora questi risultati al
Giroscopio pesante (trottola)
Consideriamo un giroscopio pesante con un punto O del suo asse vincolato senza attrito a rimanere fisso e cui sia stata impressa una forte rotazione iniziale attorno al suo asse (trottola pesante, v. fig. 7 destra). La forza peso F = mg, che si pu´o considerare applicata in G, non lo fa cadere anche se l’asse `e inclinato, ma fa ruotare quest’ultimo attorno alla verticale. La (78) e le formule di Poisson implicano
M(a)O = (G − O) × F = zG0 me03× g ' Cr0de03
dt = −e03× ωCr0
⇒ e03× [zG0 mg + ωCr0] ' 0 ⇒ z0Gmg + ωCr0 ' λe03
con un certo fattore di proporzionalit´a λ. Affinch´e la parte dominante del primo membro sia uguale al secondo membro deve essere λ ' Cr02; risolvendo rispetto ad ω troviamo
ω ' ω2+ ω1+ O(ε2), (81)
ove abbiamo posto
ω1 := r0e03 ω2 := −zG0 mg/Cr0. (82) ω2 `e costante nello spazio fisso, ω1 nello spazio solidale. Quindi il moto della trottola `e approssimativamente di precessione regolare, cio´e di composizione di una rotazione propria del solido attorno all’asse giroscopico (quello di figura) con velocit´a ω1 e di una precessione dell’asse giroscopico attorno all’asse verticale con velocit´a ω2. Inoltre si noti che ω2 `e inver-samente proporzionale a ω1. Ecco perch´e, quando ω1 diminuisce (a causa degli attriti), ω2 aumenta, finch´e cade.
2 Moti di un solido libero
Consideriamo le ECD per il solido, nella forma del teorema del moto del baricentro e del teorema del momento angolare con polo il baricentro G:
R(e)= maG (83)
M(e)G = ˙LG = A ˙pe01+ B ˙qe02+ C ˙re03+ ω × LG. (84)
La dipendenza delle forze esterne agenti sul solido dalle posizioni e dalle velocit´a dei punti di applicazione si pu´o esprimere in termini di 6 coordinate corrispondenti ai 6 gradi di libert´a del solido, e le loro derivate, per esempio G, ˙G, ϕ, ϑ, ψ, ˙ϕ, ˙ϑ, ˙ψ; quindi R(e)= R(e)(G, ˙G, ϕ, ϑ, ψ, ˙ϕ, ϑ, ˙˙ ψ; t), M(e)G = M(e)G (G, ˙G, ϕ, ϑ, ψ, ˙ϕ, ˙ϑ, ˙ψ; t). Una volta espresse, tramite le (68), le compo-nenti di ω in termini di queste variabili le ECD diventano un sistema di 6 equazioni del secondo ordine in 6 incognite esprimibili in forma normale, che ammettono una ed una sola soluzione una volta assegnate le condizioni iniziali.
Se R(e) = R(e)(G, ˙G; t), allora il problema del moto di G si disaccoppia dal moto di rotazione attorno a G, pi´u precisamente `e formalmente identico al problema del moto di un punto materiale in presenza di una forza esterna, e pu´o essere determinato indipendentemente dal moto di rotazione. In particolare il moto di G sar´a rettilineo uniforme se R(e)= 0, come accade per un solido (in particolare un satellite, o una navicella spaziale) cos´ı lontano da altri corpi massicci (terra, astri, etc) da poter trascurare la loro forza gravitazionale. Se pi´u in generale il campo gravitazionale esercitato da questi corpi massicci non `e trascurabile, ma si puo’ comunque considerare costante entro la regione occupata dal solido ad un certo istante (a questo scopo basta che le dimensioni del solido siano delle distanze di G dai baricentri di questi corpi), allora R(e)(G, ˙G; t) si puo’ calcolare concentrando la massa del solido in G ed applicando la legge di gravitazione universale; se in particolare il moto del solido viene considerato solo entro una regione in prossimit´a della terra di dimensioni del raggio terrestre, allora R(e) = mg =cost ed il moto di G entro questa regione sar´a uniformemente accelerato.
Determinato G(t), per sostituzione M(e)G diventa una funzione M(e)G (ϕ, ϑ, ψ, ˙ϕ, ˙ϑ, ˙ψ; t) soltanto. Siccome per il teorema di K¨onig LG = L0 = L0G, la (84) diventa M(a)G = ˙L0G, cio´e l’equazione del moto del solido in un riferimento T0 con origine in G ed assi ad orienta-mento fisso; ma in T0 G appare come un punto fisso, quindi l’equazione diventa quella di un solido con un punto fisso, e possiamo applicare i risultati trovati nella sezione 1.9.
Se, come prima, le forze esterne sono solo quelle gravitazionali esercitate da corpi grandi e massicci, e quindi si possono considerare costanti entro la regione occupata dal solido ad un certo istante, allora risulta M(a)G = 0, e le soluzioni della IIECD saranno i moti alla Poinsot. Tra queste ci sono in particolare le gi´a trovate rotazioni permanenti attorno agli assi principali di inerzia passanti per G, cio`e attorno agli assi centrali d’inerzia.
Quindi per esempio per un sasso lanciato in aria il moto del suo baricentro G `e uniforme-mente accelerato (traiettoria parabolica), mentre per un satellite in orbita attorno alla terra il moto di G ´e di tipo Kepleriano (orbita ellittica, etc). Il moto di rotazione del solido attorno a G `e pi´u complicato, a meno che il solido non venga lanciato in modo che all’istante iniziale ruoti attorno ad un asse centrale d’inerzia: allora continuer´a a ruotare uniformemente at-torno a questo asse, che non cambier´a di orientamento durante il moto. Nel caso che il solido abbia due momenti centrali di inerzia uguali (solido giroscopico), i restanti moti alla Poinsot saranno invece delle precessioni regolari. Questo spiega per es. il moto di precessione della terra che porta l’asse terrestre nord-sud a descrivere un cono in un cosiddetto anno platonico (quasi 26.000 anni).
Applicazioni dell’effetto giroscopico
Contribuisce a stabilizzare l’orientamento degli assi delle ruote di biciclette e motociclette, e quindi di queste ultime (rimanerci su in equilibrio `e facile in moto, non da fermi).
Figure 8: Sx: giroscopio (”rotor”) montato su sospensione cardanica. Dx: angoli di Eulero.
Stabilizza il volo dei frisbee (e dei dischi volanti! :-)), dei proiettili se questi sono sparati, come si fa di solito, da una canna rigata elicoidalmente che li mette in rapida rotazione attorno all’asse giroscopico: allora il loro orientamento non cambia durante il moto, quindi la resistenza dell’aria ha un effetto simmetrico per rotazione attorno all’asse giroscopico e quindi rallenta il moto in modo prevedibile.
Permette di avere un’indicatore di una direzione costante all’interno di una nave, un aereo, un missile, una sonda spaziale o un satellite artificiale, o altro oggetto in moto: in una nave, in modo che sia indipendente dal rollio e beccheggio, e possa essere utilizzato per puntare le antenne sempre verso lo stesso satellite, o i cannoni sempre verso lo stesso bersaglio; su un aereo (non dotato di sistemi pi´u moderni), per indicare la direzione verticale anche quando questa non si rilevabile a vista (a causa di nubi o buio) e la direzione della forza peso sia mascherata da quella delle forze apparenti; su un missile (non dotato di sistemi pi´u moderni) o una sonda spaziale, per avere una direzione di riferimento per mantenere la rotta programmata; sul satellite artificiale su cui `e montato il telescopio Hubble, per mantenerlo puntato con precisione nella direzione di osservazione; etc.
Bussola giroscopica: indica il nord geografico (anzich´e magnetico).
2.0.1 Appendice: angoli di Eulero
Servono a determinare l’orientamento di una terna OXY Z rispetto ad una Oxyz (e vicev-ersa). Per definirli sono in uso varie convenzioni. Noi ne usiamo una. Se i piani xy e XY sono distinti, si intersecano in una retta (passante per l’origine) detta linea dei nodi (N ). Se i piani coincidono, si definisce la linea dei nodi N come l’asse X. Gli angoli di Eulero sono i tre angoli seguenti, indicati da alcuni come α, β, γ, da altri come ϕ, θ, ψ:
α ≡ ϕ `e l’angolo tra l’asse x e la linea dei nodi. Detto angolo di precessione, `e definito in [0, 2π[ (oppure in [−π, π[);
β ≡ θ `e l’angolo tra gli assi z, Z. Detto angolo di nutazione, `e definito in [0, π];
γ ≡ ψ `e l’angolo tra la linea dei nodi N e l’asse X (convenzione X; nella convenzione Y l’angolo tra N e l’asse Y ). Detto angolo di rotazione propria, `e definito in [0, 2π[
oppure in [−π, π[.
Si porta OXY Z a coincidere con Oxyz ruotandola: 1) prima di −γ attorno all’asse Z, in modo che X, N coincidano; 2) poi di −β attorno al nuovo asse X ≡ N , in modo che Z, z coincidano; 3) infine di −α attorno al nuovo asse Z ≡ z. Le rotazioni opposte in ordine opposto la riportano nella posizione originaria.
La terna OXY Z solidale ai giroscopi si prende in genere principale con Z l’asse giroscop-ico.