Parte 4: Dinamica di un solido tramite le ECD

(1)

Corso di Fisica Matematica per Ingegneria Meccanica

Prof. G. Fiore

Parte 4: Dinamica di un solido tramite le ECD

con complementi di geometria delle masse ed algebra tensoriale

(2)

1 ECD di un solido con un punto (o un asse) fisso

Consideriamo prima le Equazioni Cardinali della Dinamica (ECD) per il solido con punto fisso O nella forma del teorema del moto del baricentro e del teorema del momento angolare:

R^(v)+ R^(a)= R^(e)= ma_G, (1)

M^(v)_O + M^(a)_O = M^(e)_O = ˙L_O. (2) R^(e), M^(e)_O sono la risultante ed il momento risultante delle forze esterne agenti sul solido.

Abbiamo distinto tra queste le attive e le vincolari, e indicato con R^(a), R^(v) le loro rispettive risultanti, con M^(a)_O , M^(v)_O i rispettivi momenti rispetto a O. Per il principio di azione e reazione, il solido eserciter´a sul vincolo un sistema di forze, dette cimenti dinamici, avente risultante −R^(v) = R^(a)+ R^(m) e momento risultante −M^(v)_O = M^(a)_O + M^(m)_O , ove R^(m):=

−ma_G e M^(m)_O := − ˙L_O sono la risultante ed il momento risultante delle forze d’inerzia, quelle cio´e che il solido esercita sul vincolo a causa del suo moto.

1.1 Momento angolare ed energia cinetica come funzione di ω

Per applicare la (2) dobbiamo esprimere L_O in termini dell’atto di moto del solido. Con- sideriamo il solido come costituito da tante particelle di posizione P_j, rigidamente legate le une alle altre (gli stessi risultati si otterrebbero anche trattandolo come un continuo, e sostituendo le somme con gli integrali). Supponiamo dapprima che O sia fisso. Siccome ad ogni istante t in un moto rigido v_j = v_O+ ω × (P_j− O), e v_O = 0 poich´e O ´e fisso, troviamo

L_O:=X

j

m_j(P_j− O) × v_j

=X

j

m_j(P_j − O) × [ω × (P_j− O)]

=X

j

m_j{(P_j − O)²ω − [(P_j − O) · ω](P_j− O)}. (3)

Calcoliamo ora l’energia cinetica del solido. Usando la propriet`a ciclica del prodotto misto, T := 1

2 X

j

m_jv²_j = 1 2

X

j

m_jv_j · [ω × (P_j − O)] = 1

2ω ·X

j

m_j(P_j− O) × v_j

= 1

2ω · L_O. (4)

1.2 Il tensore d’inerzia come esempio di tensore doppio euclideo

I tensori generalizzano i vettori nel senso che, pur essendo oggetti indipendenti dalla base, sono individuati rispetto ad ogni base da componenti con k = 2, 3, ... indici, a seconda del loro rango k: un tensore di rango 2 (o doppio) ha componenti del tipo Yîj, uno di rango 2 (o triplo) ha componenti del tipo Yîjk, etc., mentre un vettore si puó considerare di rango 1 perché ha componenti del tipo Yⁱ. Per le definizioni astratte generali di tensore e spazio tensoriale

(3)

si parte generalmente da quella di prodotto tensoriale, come accenneremo nella sezione 1.3.

Preferiamo partire piuttosto da una definizione meno astratta ma sostanzialmente equivalente per un particolare tipo di tensori, i tensori doppi euclidei su E_n, identificandoli con gli endomorfismi di uno spazio euclideo E_n. Il calcolo di L_O ci d´a un esempio concreto e fisicamente significativo di questo tipo di tensori.

Definizione 1 Si chiama endomorfismo di uno spazio vettoriale E_n, o anche tensore (affine) su En di tipo (1,1), un’applicazione lineare di En in s´e. In formule:

Y : ω ∈ E_n → Y (ω) ∈ E_n, Y (a₁ω₁+ a₂ω₂) = a₁Y (ω₁) + a₂Y (ω₂). (5) Se E_n ´e euclideo questo tensore si dice anche pi´u semplicemente doppio (euclideo).

La formula (3) definisce evidentemente un endomorfismo dello spazio euclideo E₃, o equivalentemente un tensore doppio euclideo su E₃, che prende il nome di tensore d’inerzia del solido rispetto al polo O. Ad ogni vettore (velocit´a angolare) ω esso associa il vettore Y (ω) = L_O pari al corrispondente momento angolare del solido con punto fisso O.

Data la sua linearit´a, un endomorfismo Y `e completamente determinato dalle n immagini Y (e_i) dei vettori di una base {e_i} ≡ {e₁, ..., e_n} di E_n:

ω =

n

X

i=1

e_iωⁱ = (e₁...e_n)



 ω¹

.: ωⁿ



 ⇒ Y (ω) =

n

X

i=1

Y (e_i)ωⁱ = Y (e₁)...Y (e_n)



 ω¹

.: ωⁿ



. (6) Le ultime due uguaglianze sono applicazioni particolari (per n = 1 = p) della regola

(AB)^h_j = A^h₁B_j¹+ A^h₂B_j²+ ... + A^h_mB_j^m =

m

X

i=1

A^h_iB_jⁱ (7)

che d`a l’elemento (h, j) del prodotto riga per colonna AB di matrici A, B rispettivamente n × m ed m × p come somma dei prodotti ordinati degli elementi della h-esima riga di A e della j-esima colonna di B. Chiamiamo Y la matrice i cui elementi intervengono come coefficienti nella decomposizione dei vettori Y (e_i) nella suddetta base: Y (e_i) = e_jP

jY^j_i. Riassumendo, la matrice Y determina gli Y (e_i), e quindi Y stesso:

Y (ω) =

n

X

i=1 n

X

j=1

e_jY^j_iωⁱ = (e₁...e_n) Y



 ω¹

:.

ωⁿ



. (8)

(4)

Gli n² elementi di matrice Y^j_i sono dette componenti di Y nella base {e_i}. Al contrario di Y , esse dipendono dalla scelta della base, come accade per la n-pla delle componenti di un vettore. Vediamo come. Se operiamo un cambiamento di base {e_j} → {e⁰_j}, con

e⁰_j =

n

X

h=1

e_hA^h_j ⇔ (e⁰₁...e⁰_n) = (e₁...e_n)A (9)

le componenti di ω, Y devono cambiare secondo le leggi

ω^0j =

n

X

k=1

A^−1j_kω^k ⇔



 ω⁰¹

.: ω⁰ⁿ



= A⁻¹



 ω¹

:.

ωⁿ



 (10)

Y^0j_i =

n

X

h,k=1

A^−1j_kY^k_hA^h_i =

n

X

h,k=1

(A⁻¹Y A)^j_i ⇔ Y⁰ = A⁻¹Y A (11)

(il prodotto di matrici si intende riga per colonna) affinch´e il risultato della decomposizione nelle due basi sia lo stesso:

n

X

j=1

ω^0je⁰_j =

n

X

h=1

ω^he_h = ω,

n

X

i,j=1

Y^0j_ie⁰_jω⁰ⁱ =

n

X

h,k=1

Y^k_he_kω^h = Y (ω).

Viceversa, una n-pla, (risp. una matrice) che dipende dalla base secondo (10) [risp. ](11) determina tramite questa formula un vettore (risp. un endomorfismo) di E_n. La (11) è quindi un criterio di tensorialitá per la matrice Y . Un altro criterio di tensorialitá si ricava dalla (8) stessa: se per ogni ω ∈ E_n le w^j :=

n

P

i=1

Y^j_i ωⁱ sono le componenti di un vettore [e quindi trasformano secondo la (10)], allora Y è la matrice delle componenti di un endomorfismo (cioé di un tensore doppio euclideo, se E_n è euclideo).

Se En é euclideo ed entrambe le basi {e_j}, {e⁰_j} sono ortonormali il calcolo di A⁻¹ si semplifica, poiché la matrice A é ortogonale, cioé A⁻¹ = A^T (la trasposta di A)¹.

Si dota in modo naturale l’insieme L(E_n) degli endomorfismi di E_n di struttura di spazio vettoriale definendo una combinazione lineare di endomorfismi attraverso la combinazione lineare dei loro risultati, o equivalentemente delle loro componenti:

h a₁Y

1+ a₂Y

2

i

(ω) := a₁Y

1(ω) + a₂Y

2(ω) ⇔ h

a₁Y

1+ a₂Y

2

ii

j := a₁Y₁ⁱ_j+ a₂Y₂ⁱ_j. (12) Nel caso del tensore d’inerzia il significato fisico di una combinazione vettoriale `e il seguente.

La moltiplicazione di Y per lo scalare a corrisponde ad un cambiamento delle masse m_j (o della densit´a di massa µ(P )) di uno stesso fattore a, come si ottiene per es. considerando due solidi omogenei di stessa geometria, ma materiali diversi; quanto alla somma, se il solido S si ottiene per unione di due parti disgiunte S₁, S₂ sar´a Y = Y

1+ Y

2.

1Applicando l’identit´a x =P

i(x · e_i)e_i a x = e⁰_j si trova e⁰_j =P

i(e⁰_j· e_i)e_i, da cui per confronto con (9), Aⁱ_j = e⁰_j· e_i. La matrice A⁻¹ interviene nella trasformazione inversa {e⁰_j} → {e_j}, in cui i ruoli delle due basi sono scambiati, e quindi A⁻¹ⁱ_j = e_j· e⁰_i = e⁰_i· e_j = A^j_i = A^{T i}_j (nella seconda uguaglianza si ´e usata la simmetria del prodotto scalare), cio´e A⁻¹ = A^T.

(5)

Una qualsiasi applicazione X : (u, ω) ∈ E_n× E_n → X(u, ω) ∈ R bilineare (cio`e lineare sia in u, sia in ω) si dice anche un tensore (affine) di tipo (0,2). `E immediato verificare che

`e determinata dalla matrice X di elementi X_ji := X(e_j, e_i), tramite la formula X(u, ω) =

n

P

i,j=1

X_jiu^jωⁱ. Se E_n ´e euclideo, dato un endomorfismo Y posso associare a (u, ω) ∈ E_n× E_n il prodotto scalare u ·Y (ω) ∈ R; l’applicazione²

X : (u, ω) ∈ En× En→ u ·Y (ω) =

n

X

i,j=1

Y^j_i ujωⁱ ∈ R (13)

é bilineare, cioé è un tensore di tipo (0,2), e la corrispondenza Y → X é biunivoca. Quindi posso vedere un tensore doppio euclideo anche come un’applicazione bilineare X : E_n × En → R. Viceversa, considerando le leggi di trasformazione delle componenti uⁱ, ωⁱ di due vettori u, ω, si dimostra il seguente altro criterio di tensorialitá: se Y é una matrice tale che Pn

i,j=1u_iYⁱ_jω^j é uno scalare (cioé un numero reale indipendente dalla scelta della base) per ogni coppia (u, ω) allora Yⁱ_j sono le componenti di un tensore doppio. (Si noti che se Y é il tensore d’inerzia su E₃ di un solido con O fisso, e scelgo u = ω/2 lo scalare che ottengo è proprio la sua energia cinetica T .). Come accenneremo piú avanti, un terzo modo equivalente di vedere un tensore doppio euclideo è come un’applicazione lineare Z : R → En× E_n.

Il prodotto scalare u ·Y (ω), visto come una funzione di ω, ´e un esempio di contrazione di un tensore doppio euclideo ed un vettore u, il cui risultato ´e a sua volta un vettore v di componenti vj =P

iuiYⁱ_j, che si indica generalmente con v = u · Y , tale che v · ω = u · Y (ω).

Viceversa, considerando le leggi di trasformazione delle v_i, u_i si dimostra il seguente altro criterio di tensorialit´a: se Y ´e una matrice tale che v_j =P

iu_iYⁱ_j sono le componenti di un vettore v per ogni vettore u allora Yⁱ_j sono le componenti di un tensore doppio.

1.3 (non ` e in programma) Spazio vettoriale duale. Cenni di alge- bra tensoriale

Dato uno spazio vettoriale E_n si chiama covettore (o forma lineare) un applicazione lineare F di E_n in R. In formule:

F : ω ∈ En→ F (ω) ∈ R, F (a1ω₁+ a2ω₂) = a1F (ω₁) + a2F (ω₂). (14) Per la linearit´a, F `e completamente determinato dalla n-pla di immagini F_i := F (e_i) ∈ R dei vettori di una base {e_i} di E_n:

ω =

n

X

i=1

ωⁱe_i ⇒ F (ω) =

n

X

i=1

ωⁱF_i. (15)

Si dota in modo naturale l’insieme ˜E_ndei covettori di struttura di spazio vettoriale definendo una combinazione lineare di covettori attraverso la combinazione lineare dei loro risultati, o equivalentemente delle loro componenti:

a₁F₁+ a₂F₂(ω) := a₁F₁(ω) + a₂F₂(ω) ⇔ a₁F₁+ a₂F₂

i := a₁F_1i+ a₂F_2i. (16)

2Le uj sono le componenti covarianti di u nella base {e_j}. Se questa ´e ortonormale, uj = u^j, Xji= Y_i^j.

(6)

E˜_n si dice spazio vettoriale duale di E_n. Si verifica facilmente che il sistema di n covettori {e^j} ≡ {e¹, ..., eⁿ} definiti dalla condizione e^j(e_i) = I_i^j (I é la matrice unitaria; l’elemento di matrice I_i^j si denota piú spesso col simbolo di Kronecker δ_i^j) é una base di ˜E_n, detta duale della base {e_i}. Quindi anche ˜E_n ha dimensione n. A seguito del cambiamento di base (9) la base duale cambia secondo la legge

e^0j =

n

X

k=1

A^−1j_ke^k ⇔



 e⁰¹

:.

e⁰ⁿ



= A⁻¹



 e¹

.: eⁿ



, (17)

delle stessa forma della (10). Per la linearit´a di F , le F_i invece trasformano di nuovo come le e_i in (9). Poich´e (A⁻¹)⁻¹ = A, {e_i} e la base duale della duale si trasformano allo stesso modo; si possono quindi identificare gli spazi isomorfi fE˜_n e E_n ( fE˜_n≡ E_n) e queste basi.

Se E_n é euclideo, ogni x ∈ E_n determina un covettore F_x tramite la definizione F_x(ω) = x·ω. Viceversa, per il teorema di Riesz per ogni covettore F ∈ ˜E_nc’è un unico x ∈ E_ntale che F = F_x. Quindi la corrispondenza x ∈ E_n 7→ F ∈ ˜E_n è un isomorfismo di spazi vettoriali.

Se la base {e_i} di E_n ´e ortonormale, per i covettori della base duale vale evidentemente l’uguaglianza e^j = F_e_j. Se inoltre entrambe le basi {e_j}, {e⁰_j} sono ortonormali la (17) ha la stessa forma della (9), poich´e A⁻¹ = A^T. Si possono quindi identificare gli spazi isomorfi ˜E_n e En, ˜En ≡ En, e queste basi.

Definizione 2 Dati tre spazi vettoriali En, Em, Enm di dimensione risp. n, m, nm si chiama prodotto tensoriale dei primi due nel terzo un’applicazione

f⊗: (x, y) ∈ E_n× E_m → x ⊗ y ∈ E_nm (18) bilineare (cioè lineare sia in x, sia in y) e tale che se {e_i}ⁿ_i=1, {u_α}^m_α=1 sono basi di E_n, E_m allora {e_i⊗ u_α} è una base di E_nm [nel denotare f⊗(x, y) con x ⊗ y abbiamo adottato una notazione pressocché universale]. Allora si dice che E_nm é il prodotto tensoriale di E_n per E_m, che si si scrive E_n⊗ E_m, e si legge anche: E_n tensor E_m, e che gli elementi T ∈ E_nm= E_n⊗ E_m sono tensori.

La decomposizione del generico T ∈ E_n⊗ E_m in questa base `e

T =

n

X

i=1 m

X

α=1

T^iα(e_i⊗ u_α). (19)

Da x =Pn

i=1xⁱe_i, y =Pm

α=1y^αu_α segue per la bilinearit´a x⊗ y =

n

X

i=1 m

X

α=1

xⁱy^α(e_i⊗ u_α). (20)

Quindi f⊗ non é suriettiva: il codominio é costituito da tutte e sole le diadi (o elementi decomponibili) x⊗y, cioé quegli elementi (19) di En⊗Emaventi componenti della forma Tîα = xⁱy^α, con x ∈ E_n, y ∈ E_m; in altri termini, queste nm componenti Tîα sono parametrizzate

(7)

dalle (n + m) componenti xⁱ, y_α, anzich´e essere indipendenti. Dalla bilinearit´a segue per i cambiamenti di base {e_j} → {e⁰_j}, {u_β} → {u⁰_β}, {e_j⊗u_β} → {e⁰_j⊗u⁰_β} l’implicazione

e⁰_j =

n

X

h=1

A^h_j e_h, u⁰_β =

m

X

α=1

B_β^αu_α ⇒ e⁰_j⊗ u⁰_β =

n

X

h=1 m

X

α=1

A^h_jB_β^α(e_i⊗ u_α), (21)

e, dall’invarianza delle decomposizioni, che le T^jβ cambiano come i prodotti x^jy^β: T^0jβ =

n

X

i=1 m

X

α=1

A^−1j_iB^−1β_αTîα ⇔ T⁰ = A⁻¹T B^−1T (22) Viceversa, una matrice n × m T che dipende dalle basi secondo questa legge determina tramite la formula (19) un tensore T ∈ E_n⊗ E_m (cioè un elemento di E_n⊗ E_m, indipendente dalla base adottata). La (22) é quindi un criterio di tensorialitá per la matrice T (come detto, esso é automaticamente soddisfatto per una T della forma Tîα = xⁱy^α, ove xⁱ, y^α sono componenti di vettori: tale T determina la diade x ⊗ y).

Anche se in un caso concreto ho E_n, E_m ma non ancora E_nm e f⊗ posso definire questi ultimi tramite le formule precedenti: Introdurrò nm oggetti indicandoli coi simboli e_i⊗ u_α e definirò lo spazio vettoriale E_n⊗ E_m come l’insieme delle loro combinazioni lineari; allora per costruzione {e_i⊗ u_α} è una base di E_n⊗ E_m. Definirò poi f⊗ richiedendo innanzitutto f_⊗(e_i, u_α) = e_i ⊗ u_α, ed estendendo poi la sua azione a tutto E_n × E_m in modo che sia bilineare, cioé in modo che valga (20).

Possiamo iterare il prodotto tensoriale: Dato un ulteriore spazio vettoriale E_p ed una sua qualsiasi base {v_A}^p_A=1, potr`o costruire gli spazi vettoriali (E_n⊗ E_m) ⊗ E_p e E_n⊗ (E_m⊗ E_p) aventi come basi rispettivamente {(e_i⊗ u_α) ⊗ v_A} e {e_i⊗ (u_α⊗ v_A)} ed i prodotti tensoriali corrispondenti. Richiederemo che il prodotto tensoriale sia associativo, cio`e che per qualsiasi (x, y, z) ∈ E_n× E_m× E_p risulti

(x⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z), (23)

che potremo indicare quindi semplicemente con x ⊗ y ⊗ z. La (23) implica in particolare (e_i ⊗ u_α) ⊗ v_A = e_i ⊗ (u_α⊗ v_A), da cui segue che questi due spazi vettoriali sono lo stesso, che potremo indicare semplicemente con E_n ⊗ E_m ⊗ E_p. Viceversa, se la (23) vale con (x, y, z) = (e_i, u_α, v_A) allora vale con (x, y, z) qualsiasi, per la bilinearit`a: Infatti

(x ⊗ y) ⊗ z =

" _n X

i=1 m

X

α=1

xⁱy^α(e_i⊗ u_α)

#

⊗

p

X

A=1

z^Av_A

!

=

n

X

i=1 m

X

α=1 p

X

A=1

xⁱy^αz^A(e_i ⊗ u_α) ⊗ v_A

=

n

X

i=1 m

X

α=1 p

X

A=1

xⁱy^αz^Ae_i⊗ (u_α⊗ v_A) =

n

X

i=1

xⁱe_i

!

⊗

" _m X

α=1 p

X

A=1

xⁱy^αu_α⊗ v_A

#

= x ⊗ (y ⊗ z).

Le leggi di trasformazione delle basi e delle corrispondenti componenti di un tensore si ottengono per iterazione e generalizzano le (21), (22). Viceversa, un set di componenti che soddisfa queste leggi generalizzate determinano un tensore, cioè un oggetto indipendente dalla particolare scelta delle basi, tramite la generalizzazione della (19); quindi le leggi generalizzate sono criteri di tensorialitá. Criteri di tensorialitá alternativi si formulano utilizzando contrazioni di questi tensori con potenze tensoriali di ˜E_n, ˜E_m, ˜E_p etc. Qui ci limitiamo a considerare esplicitamente potenze tensoriali di E_n, ˜E_n.

(8)

Proposizione-Definizione 1 Dato uno spazio vettoriale E_n, si dicono tensori (affini) su E_n r volte controvarianti ed s volte covarianti [pi´u brevemente, di tipo (r, s)] gli elementi T =

n

P

i1,..,ir=1 n

P

j1,..,js=1

Tⁱ¹^...i^r_j₁_...j_s(e_i₁ ⊗ ... ⊗ e_i_r ⊗ e^j¹ ⊗ ... ⊗ e^j^s) dello spazio tensoriale

E_n^(r,s):= E_n⊗ ... ⊗ E_n

| {z }

r volte

⊗ ˜E_n⊗ ... ⊗ ˜E_n

| {z }

s volte

. (24)

Dalla definizione di ˜Ensegue che un elemento di T ∈ En^(r,s)si pu`o vedere come un’applicazione T : E_n× ... × E_n

| {z }

s volte

→ E_n× ... × E_n

| {z }

r volte

(25)

lineare in tutti i suoi s argomenti. I tensori di rango (0,0) sono gli scalari. I tensori di tipo (1,0) e (0,1) sono risp. i vettori di E_n ed i corrispondenti covettori (elementi di ˜E_n).

Dalla definizione segue che sotto il cambiamento di base (9) ed il corrispondente (17) per la base duale le componenti di T trasformano secondo

T⁰ⁱ¹^...i^r_j₁_...j_s = A⁻¹ⁱ_h¹

1...A⁻¹ⁱ_h^r

rT^h¹^...h^r_k₁_...k_sA^k_j¹

1...A^k_j_s^s. (26)

Viceversa, se un set {Tⁱ¹^...i^rj1...js} di grandezze fisiche si trasforma sotto cambiamento di base secondo questa legge esso individua un tensore T affine di tipo (r, s) su E_n.

Verifichiamo l’affermazione (25) per r = s = 1 [(per gli altri (r, s) la verifica `e analoga].

Applicando al vettore ω = ω^he_h i secondi fattori tensoriali (che sono covettori) nella decomposizione T =Pn

i,j=1T^ij(e_i⊗ e^j) ∈ En⊗ ˜En trovo per la linearit´a dei e^j un altro vettore:

n

X

i,j,h=1

T^ijω^he_ie^j(e_h) =

n

X

i,j,h=1

T^ijω^he_iI_h^j =

n

X

i,j=1

T^ijω^je_i := T (ω);

l’applicazione T é evidentemente lineare, cioé un endomorfismo. Per la dualitá delle basi é anche B^−1T = A, e la (22b) diventa la (11b), come doveva. Spostando convenzionalmente l’indice greco delle T dall’alto in basso, per fare s`ı che la somma su un tale indice ripetuto avvenga con esso una volta in alto ed una in basso, e rinominandolo anch’esso con un indice latino, visto che assume anche esso valori in {1, ..., n}, daremo anche a (22a) la forma (11a).

Riassumendo, L(E_n) = E_n⊗ ˜E_n: gli endomorfismi di E_n sono tensori di tipo (1,1) su E_n. Un’applicazione bilineare X : E_n× E_n → R é invece un tensore di tipo (0,2), cioé un elemento di ˜E_n⊗ ˜E_n, mentre un’applicazione bilineare Z : R → En× E_né un tensore di tipo (2,0), cioé un elemento di E_n⊗ E_n. X, Z si dicono (anti)simmetrici se tali sono le matrici X, Z; si noti che l’(anti)simmetria é preservata dalle leggi di trasformazione X⁰ = A^TXA, Z⁰ = A⁻¹XA^−1T, quindi basta verificarla in una base perché sia garantita in ogni base. Per X l’(anti)simmetria è equivalente a

X(u, v) = X(v, u), resp. X(u, v) = −X(v, u). (27) Una metrica, cioè un prodotto scalare in E_n, è un esempio di tensore di tipo (0,2) simmetrico. Se E_n é euclideo, l’isomorfismo ˜E_n ' E_n permette di identificare non solo ˜E_n, E_n

(9)

(cio´e vettori e covettori), ma anche questi tre spazi, e quindi i tre tipi di tensori, che chiamiamo semplicemente tensori doppi euclidei. Se inoltre la base {e_i} e’ ortonormale trovo X_ij = Yⁱ_j = Z^ij per le componenti delle tre corrispondenti matrici X, Y, Z: le componenti 2 volte covarianti, miste, 2 volte controvarianti del tensore doppio coincidono, cos´ı come nella corrispondenza x ↔ F_x le componenti xⁱ, F_xi di x, F_x risp. nelle basi {e_i}, {eⁱ} coincidono.

Considerazioni analoghe valgono per i tensori euclidei tripli, quadrupli, etc.

Infine un tensore che dipende dalla posizione P ed eventualmente dal tempo t si chiama campo tensoriale. Tra gli esempi di campi tensoriali doppi che si incontrano nei corsi di stu- dio di ingegneria citiamo il tensore di deformazione, che descrive lo stato di deformazione di un corpo esteso nel punto P all’istante t, il tensore di Cauchy, che descrive il corrispondente stato di tensione in P a t, o anche il tensore (antisimmetrico, sullo spazio E₄ di Minkowski) elettromagnetico, che ha per componenti quelle dei campi elettrico e magnetico. Einstein ´e stato il primo a sottolineare l’importanza che tutte le leggi fondamentali della fisica siano scritte nella forma di equazioni in ciascuna delle quali tutti i termini sono tensori (o campi tensoriali) dello stesso tipo; gli esempi pi´u semplici sono le equazioni scalari (es. l’equazione di stato dei gas perfetti P V = nRT ) e quelle vettoriali (es. la F = ma o le ECD). Questo garantisce che la formulazione delle equazioni non dipenda dal sistema di riferimento (covar- ianza delle equazioni), anche se i termini vi dipendono.

1.4 Autovettori ed autovalori di un endomorfismo

Un vettore ω 6= 0 si dice autovettore con autovalore y di un endomorfismo Y : E_n7→ E_n se

Y (ω) = y ω; (28)

La determinazione di autovalori ed autovettori consiste nel risolvere l’equazione agli autovettori (28) nelle incognite y, ω. Questa si esprime in una qualsiasi base {e_i} di E_n nella forma

(y1_n− Y )



 ω¹

.: ωⁿ



=



 0

.: 0



, (29)

ove 1n ´e la matrice identica. La sua risoluzione equivale a trovare soluzioni non banali di questo sistema lineare omogeneo, che esistono se e solo se y soddisfa l’equazione agli autovalori

det(y1n− Y ) = yⁿ+ a1yⁿ⁻¹+ .... + an−1y + an = 0. (30) La (30) ´e un’equazione algebrica in y di grado n perch´e gli n elementi diagonali di y1_n−Y sono di grado 1 in y (gli altri sono di grado 0). I coefficienti a_h sono di grado h nelle Y_jⁱ ed indipendenti dalla base: infatti, riferendoci alle (9-11), rispetto ad un’altra base {e⁰_j} risulta

det(y1_n−Y⁰) = det[A⁻¹(y1_n−Y )A] = det A⁻¹ det(y1_n−Y ) det A = det(y1_n−Y ).

In particolare risulta −a1= Y₁¹+...+Y_nⁿ=: tr(Y ) (la traccia di Y ), an= (−1)ⁿdet Y . In generale le soluzioni y₁, ...y_ndi (30) sono complesse; quindi anche gli autovettori soluzioni di (29) con y = y_i saranno complessi. La molteplicit´a algebrica di un autovalore y_i ´e il numero di volte che esso si ripete nella sequenza y1, ...yn. Gli autovettori con uno stesso autovalore

(10)

y formano un sottospazio V_y ⊆ E_n, l’autospazio relativo a y; si dice molteplicit´a geometrica di y la dimensione di V_y.

Un tensore doppio euclideo Y si dice simmetrico se v · Y (ω) = Y (v) · ω qualunque siano v, ω ∈ E_n; per la (8), occorre e basta che la matrice Y delle sue componenti in una base ortonormale sia simmetrica, Y^T = Y . Ricordiamo la

Proposizione 1 Dato un tensore doppio euclideo Y simmetrico:

1. Tutti i suoi autovalori y_i sono reali.

2. Autovettori relativi ad autovalori diversi sono ortogonali.

3. Esiste una base {e_i} ortonormale di E_n costituita da autovettori di Y ; la corrispondente matrice d’inerzia ´e diagonale: Y =



 y₁

...

y_n



.

4. Molteplicit´a algebrica e geometrica di ogni autovalore coincidono.

1.5 Calcolo della matrice d’inerzia di un solido con un punto fisso

Il momento d’inerzia di un sistema materiale (in particolare un solido) rispetto a una retta r ´e

I_r :=X

jm_jδ_j² I_r :=

Z

V

dV µ(P ) [δ(P )]², (31) ove δ_j, δ(P ) sono risp. le distanze da r di P_j e dell’elemento di volume dV con centro P rispettivamente se il sistema ´e discreto o continuo. Chiaramente I_r≥ 0, ed I_r= 0 se e solo se P_j∈ r ∀j. Fissando una terna ortonormale (O, e₁, e₂, e₃) risulta P_j− O = x_je₁+ y_je₂+ z_je₃ e

L_O =

n

X

j=1

m_j(x²_j + y²_j + z_j²) ω − (x_jω^x+ y_jω^y+ z_jω^z) (P_j − O) ,

da cui

L^x_O =

n

X

j=1

m_j[(x²_j + y_j²+ z_j²)ω^x− (x_jω^x+ y_jω^y + z_jω^z)x_j]

=

n

X

j=1

m_j[(y²_j + z_j²)ω^x− (y_jω^y+ z_jω^z)x_j]

= Ixω^x− Jxyω^y− Jxzω^z, ove abbiamo definito

I_x=P

jm_j(y²_j + z_j²) I_y =P

jm_j(x²_j + z²_j) I_z =P

jm_j(x²_j + y_j²) J_xy =P

jm_jx_jy_j J_xz =P

jm_jx_jz_j J_yz =P

jm_jy_jz_j. (32)

(11)

E facile riconoscere che I´ _x, I_y, I_z sono i momenti di inerzia del solido rispetto agli assi ~x, ~y, ~z (infatti, x²_j + y_j² ´e il quadrato δ_j² delle distanza di P_j dall’asse ~z, etc), mentre J_xy, J_xz, J_yz sono detti prodotti d’inerzia del solido rispetto agli stessi assi. Permutando gli assi si trover´a

L^y_O = −J_xyω^x+I_yω^y−J_yzω^z L^z_O = −J_xzω^x−J_yzω^y+I_zω^z. Queste tre relazioni si possono scrivere pi´u sinteticamente nella forma

L^a_O=

a

X

b=1

Y^abω_b, a = 1, 2, 3, (33)

ove abbiamo introdotto la matrice d’inerzia (evidentemente simmetrica)

Y (O) :=





I_x −J_xy −J_xz

−Jxy Iy −Jyz

−J_xz −J_yz I_z



; (34)

i momenti e prodotti d’inerzia, e quindi anche anche la matrice d’inerzia, sono funzioni delle masse e posizioni delle particelle, cio`e della distribuzione di materia, del solido. Quindi, Proposizione 2 In una qualsiasi terna ortonormale (O, e₁, e₂, e₃) risulta

L_O = Y (ω) =

3

X

a,b=1

e_aY^abω_b, T = 1 2

3

X

a,b=1

ω_aY^abω_b, (35)

o, in termini di vettori-riga o vettori-colonna delle componenti e prodotti riga per colonna,

L_O= (e₁e₂e₃)



 L¹_O L²_O L³_O



= (e₁e₂e₃) Y



 ω¹ ω² ω³



, T = 1

2(ω¹ω²ω³) Y



 ω¹ ω² ω³



. (36)

La (35) mostra che la matrice d’inerzia Y è la matrice delle componenti del tensore d’inerzia Y nella terna ortonormale (O, e₁, e₂, e₃). Essa gioca un ruolo analogo a quello della massa nella determinazione della quantitá di moto ed energia cinetica di un punto materiale. Ri- assumendo, il momento angolare L_O e l’energia cinetica T si esprimono come funzioni della velocitá angolare e del tensore d’inerzia.

Se è fisso non solo O, ma un intero asse r passante per O, il moto del solido è rotatorio attorno ad At = r; risulta ω = ωα con α versore di r, ωâ = ωαâ, da cui, sostituendo nella (35)₂, T = ¹₂ω²P3

a,b=1Y^abα_aα_b. In un capitolo precedente avevamo mostrato che l’energia cinetica di un solido che ruota attorno a r `e anche pari a T = I_rω²/2, da cui per confronto

I_r =

3

X

a,b=1

Y^ab(O)α_aα_b = I_xα₁²+I_yα₂²+I_zα₃²−2J_xyα₁α₂−2J_xzα₁α₃−2J_yzα₂α₃, (37)

che prende il nome di legge di variazione di I_r per r ∈stella di centro (proprio) O. Essa ci dice che I_r, per le infinite rette r, `e sempre combinazione dei sei momenti e prodotti d’inerzia rispetto alla terna prescelta. Ad essa si pu´o arrivare anche con un calcolo diretto dalla (31).

(12)

1.6 La decomposizione della IIECD in una terna solidale

La (35)1 vale rispetto a qualunque terna di riferimento. Dobbiamo ora calcolarne la derivata rispetto a t, per sostituirla nella IIECD (2). Quale ci conviene scegliere? Uno solidale al solido, cosicch´e gli elementi della matrice di inerzia Y non dipendono da t. Allora, ricordando le formule di Poisson ˙e_a = ω× e_a, troviamo

L˙_O =

3

X

a,b=1

Y^ab(O) [ω × e_aω_b+ e_aω˙_b]

= ω × L_O+

3

X

a,b=1

Y^ab(O)e_aω˙_b. (38)

Il solido con un punto O fisso ha tre gradi di libert´a, cio´e bastano 3 coordinate angolari (es.

gli angoli di Eulero ϕ, ϑ, ψ) per individuare la disposizione del solido nello spazio. Anche le componenti ω_a(t) si possono esprimere in funzione degli angoli di Eulero e delle loro derivate prime rispetto al tempo (v. piú avanti). Quindi le ECD (1-2) sono 6 equazioni differenziali del secondo ordine nelle incognite ϕ(t), ϑ(t), ψ(t). Vi compaiono come incognite anche le 6 componenti di R^(v), M^(v)_O . Per pareggiare equazioni ed incognite bisogna aggiungere altre 3 equazioni. Nella sezione 1.9 lo faremo supponendo il vincolo liscio: allora come giá visto M^(v)_O = 0, la (2) diventa un sistema di 3 equazioni nelle sole 3 incognite ϕ(t), ϑ(t), ψ(t), e mostreremo che essa le determina, cioè determina il moto, una volta assegnate le condizioni iniziali. Dopodiché la IECD (1) determinerá R^(v). Ora invece consideriamo il seguente problema, ancora piú semplice.

1.7 Applicazione delle ECD ad un solido con un asse fisso A

Supponiamo ora che sia fisso non solo un punto del solido, ma un intero asse A (v. fig. 1 sinistra); il solido ha quindi 1 solo grado di libert´a, corrispondente alle rotazioni attorno ad A. Come sistema di riferimento solidale scegliamo per semplicit´a un sistema di riferimento con origine O su A e asse ~x ≡ A. Cos´ı, da ω k A segue ω ≡ (ω^x, 0, 0) ≡ ( ˙θ, 0, 0) (abbiamo indicato con θ l’angolo tra due piani per A, uno fisso e uno solidale al corpo), e quindi dalla relazione precedente

L_O= (I_xe₁− J_xye₂− J_xze₃) ˙θ, (39) L˙_O= (I_xe₁− J_xye₂− J_xze₃)¨θ + [J_xze₂− J_xye₃] ˙θ². (40) Scriviamo le tre componenti della IIECD (2):

M_O^(v)^x+ M_O^(a)^x = M_O^(e)^x = I_xθ¨

M_O^(v)^y+ M_O^(a)^y = M_O^(e)^y = −J_xyθ + J¨ _xzθ˙² (41) M_O^(v)^z+ M_O^(a)^z = M_O^(e)^z = −J_xzθ − J¨ _xyθ˙².

Questo sistema ha 4 incognite: θ(t) e le 3 componenti di M^(v)_O , dato che M^(a)_O `e una funzione nota dell’incognita θ(t) e della sua derivata.

(13)

Figure 1:

1.7.1 Caso del vincolo liscio

Se il vincolo di asse fisso (cerniera cilindrica) `e liscio, risulta M_O^(v)^x = 0, e quindi la (41a) diventa un’equazione del secondo ordine in forma normale nell’unica incognita θ(t),

I_xθ = M¨ _O^(a)^x(θ, ˙θ, t), (42) che ammette una ed una sola soluzione una volta assegnate le condizioni iniziali. Il moto di rotazione attorno all’asse è quindi determinato da questa equazione, che si puó ottenere anche dal teorema dell’energia cinetica, ed è simile alla m¨x = F^x: al posto della componente x della forza c’è la componente x del momento risultante delle forze agenti sul solido, al posto dell’accelerazione lineare lungo x c’è l’accelerazione angolare attorno a ~x, al posto della massa (inerziale) c’è il momento d’inerzia rispetto a ~x: tanto piú esso é grande, tanto piú il solido oppone resistenza alla variazione della velocitá angolare. Osserviamo che la condizione di equilibrio per il solido è che M_O^(a)^x = 0.

Pendolo composto

Scriviamo l’equazione nel caso particolare di un solido pesante ruotante attorno ad un asse orizzontale liscio (che scegliamo come asse ~x). L’unica forza attiva ´e evidentemente la forza peso, (G, mg). Indichiamo con θ l’angolo tra il piano π passante per ~x e verticale (e quindi fisso) ed il piano π⁰ passante per ~x e G (e quindi solidale al solido), v. Fig. 2-sinistra.

Detta d la distanza di G da ~x (la supporremo > 0), il braccio di (G, mg) rispetto a ~x risulta evidentemente h = d sin θ.

Quindi l’equazione (42) diventa

θ = −Ω¨ ²sin θ, ove Ω² := mg d/I_x. (43) Questa `e la stessa equazione differenziale che regola il moto di un pendolo semplice, la pulsazione Ω di quest’ultimo essendo definita da Ω² = g/l! In altri termini, il solido si muove come un pendolo semplice di lunghezza l = I_x/md! Per questo motivo suole chiamarsi

”pendolo composto”, ed l lunghezza equivalente del pendolo composto.

Se si vincola il solido pesante a ruotare non attorno a ~x ma attorno ad un asse r⁰ k

~x posto a distanza l nel piano G~x , Ω² non cambia (reversibilit´a del pendolo composto)!

Per dimostrarlo basta usare il teorema di Steiner-Huygens. Ci´o suggerisce un metodo per misurare g con grande precisione senza bisogno di misurare I_x, semplicemente da g = Ω²l.

(14)

Figure 2:

Si osservi innanzitutto che le frequenze Ω si possono misurare con grande precisione pur di disporre di un tempo sufficiente per contare tanti periodi. Si pu´o inoltre determinare con grande precisione l’asse r⁰ k ~x che d´a lo stesso periodo per approssimazioni successive, spostandolo con metodi micrometrici.

Le restanti reazioni vincolari

Torniamo alla discussione generale. A che servono le IECD (2) e le altre due equazioni di (41)? La IECD ci serve a determinare R^(v):

R^(v) = −R^(a)+ ma_G

Entrambi i termini a secondo membro sono ora noti, perché noto ormai il moto del solido (e quindi anche di G). Come detto, −ma_G è la risultante delle forze d’inerzia, il sistema di forze che il corpo esercita sul vincolo per effetto del moto. Detti G^∗ la proiezione ortogonale di G sull’asse e δ_G = kG − G^∗k, il moto di G è circolare su una circonferenza di centro G^∗ e raggio δ_G ortogonale all’asse. Quindi v_G= ˙θδ_Ge_t, a_G= δ_G(¨θe_t− ˙θ²e_G), ove e_G= (G−G^∗)/δ_G, e_t sono rispettivamente i versori normale esterno e tangente alla circonferenza.

La componente centrifuga m ˙θ²δ_Ge_G= m ˙θ²(G − G^∗) della risultante delle forze d’inerzia è proporzionale al quadrato della velocitá angolare, quindi molto grande se quest’ultima è grande; inoltre, mentre nella terna solidale ha direzione costante, nella terna fissa questa ruota con frequenza proporzionale a θ,˙ quindi anch’essa molto alta. Il vincolo di asse fisso quindi viene sollecitato con una risultante intensa e rapidamente variabile, col rischio che venga danneggiato. Si puó rendere la risultante −ma_G delle forze d’inerzia nulla senza fermare la rotazione? S´ı, evidentemente deve essere δ_G = 0, cioé G ∈ A, cioè si deve scegliere come A un asse baricentrale. Si effettua cos´ı il cosiddetto bilanciamento statico delle forze d’inerzia. Sostituendo invece la soluzione θ(t) nelle altre due equazioni di (41) troviamo ora le incognite M_O^(v)^y, M_O^(v)^z:

M_O^(v)^y = −M_O^(a)^y − J_xyθ + J¨ _xzθ˙², (44) M_O^(v)^z = −M_O^(a)^z− J_xzθ − J¨ _xyθ˙²; (45) infatti, i secondi membri sono ora completamente noti. J_xyθ − J¨ _xzθ˙² e J_xzθ + J¨ _xyθ˙² sono le componenti y, z del momento delle forze d’inerzia. Anche esse nella terna fissa sono os-

(15)

cillanti rapidamente e con ampiezza molto grande se ˙θ è grande. Il vincolo di asse fisso quindi viene sollecitato con un momento intenso e rapidamente variabile, col rischio che venga danneggiato. Si possono rendere nulle? S´ı, condizione necessaria e sufficiente é che sia J_xy = 0 = J_xz; come ricorderemo sotto, ció equivale a dire che ~x è asse principale d’inerzia. Adottando la scelta A ≡ ~x dell’asse di rotazione si effettua il cosiddetto bilanciamento dinamico delle forze d’inerzia, cioè il momento delle reazioni vincolari deve bilanciare solo quello delle forze attive, perché l’effetto del moto scompare:

M_O^(v)^y = −M_O^(a)^y M_O^(v)^z = −M_O^(a)^z. (46) Il bilanciamento sia statico sia dinamico (in cui il vincolo esercita la - e quindi per reazione

è soggetto alla - “minima” sollecitazione possibile), si ottiene ora evidentemente se e solo se A è asse baricentrale e principale, cioè centrale d’inerzia! É il motivo per cui per esempio la centrifuga di una lavatrice (v. Fig. 2-destra) è costruita in modo da essere vincolata a ruotare attorno al suo asse di simmetria, che è asse centrale di inerzia.

Nelle Figure 3 riportiamo tre semplicissimi esempi di solido con bilanciamento risp. solo dinamico, solo statico, statico e dinamico.

Figure 3:

1.8 Ulteriori elementi di geometria delle masse

Se J_xy= 0 = J_xz allora da (35) segue immediatamente che Y (e₁) = I_xe₁, cio´e i vettori k ~x sono autovettori di Y , con autovalore I_x! In generale

Definizione 3 Una retta r passante per O si dice un asse principale d’inerzia se i vettori ω k r sono autovettori del tensore d’inerzia Y con autovalore I_r,

Y (ω) = I_rω; (47)

I_r `e il relativo momento principale d’inerzia. Una terna ortogonale O~x~y~z di assi principali d’inerzia si dice una terna principale d’inerzia. Se O ≡ G anzich´e principale si dice centrale.

(16)

Figure 4:

Quindi, gli assi e momenti principali (o centrali) d’inerzia si possono trovare risolvendo l’equazione agli autovettori del tensore d’inerzia. Per la proposizione 1 si possono presentare solo i seguenti casi:

1. Se i tre momenti principali (autovalori) I_x, I_y, I_zsono distinti esistono solo tre assi principali d’inerzia (autovettori), tra loro ortogonali, ed un’unica terna principale d’inerzia.

2. Un momento principale (autovalore) ha molteplicit´a 2 e l’altro molteplicit´a 1, per cui esistono ∞¹ terne principali O~x~y~z; se per es. I_x= I_y6= I_z, queste terne si ottengono l’una dall’altra tramite una rotazione di un angolo arbitrario attorno a ~z.

3. Se I_x = I_y = I_z (i tre momenti principali - o autovalori - coincidono, cio´e I_x ha molteplicit´a 3), tutti gli assi per O sono principali, tutte le ∞³ terne ortogonali O~x~y~z sono principali, e Y = I_x1₃.

In ogni caso, in una terna O~x~y~z principale d’inerzia Y `e diagonale: Y =

Ix

Iy

Iz

! . Inoltre, per la (31) I_x, I_y, I_z ≥ 0; uno dei momenti principali `e nullo, per esempio I_z= 0, se e solo se tutte le particelle giacciono su ~z, ed allora risulta anche I_x= I_y.

Sostituendo nella (35)2, troviamo

T = 1

2(I_xω_x²+I_yω_y²+I_zω_z²). (48) che ci dá nella forma piú semplice, o canonica, l’energia cinetica T del solido come funzione delle ω_a. Viceversa, fissata T > 0 la (48) [o, se usiamo una terna generica, la (35)₂] è