Discretizzazione temporale e algoritmo di risoluzione

zione

Lo scambio termico all’interno degli EP `e strettamente legato a 2 tempi caratteristici. Il primo `e correlato alla dinamica dell’acqua ed `e proporzionale al tempo di residenza all’interno dei tubi, per cui tw ∝ H/uw, ed `e dell’ordine

dei minuti. Il secondo `e legato alla dinamica del palo ovvero indica quando sua capacit`a diventa trascurabile ai fini dello scambio termico per cui `e tb ∝

r2

b/αb ed `e dell’ordine dei giorni.

In questa tesi si vuole analizzare la dinamica del palo e dell’acqua per tempi inferiori al tempo caratteristico del palo tb. Per questa ragione, bisogna

assicurarsi che la discretizzazione temporale sia coerente con le scale prima descritte. Infatti il software deve essere in grado di valutare adeguatamente la dinamica dell’acqua, del palo e del terreno. Sono stati simulati 2 · 106s (circa 23 giorni) ovvero un ordine di grandezza superiore al valore di r2_b/αb.

Come metodo di time stepping `e stato scelto il BDF di tipo intermediate il quale utilizza una formula di differenziazione all’indietro. `E stato scelto un minimo time step pari ad 1 s in modo che la dinamica dell’acqua, carat- terizzata da tempi molto brevi, venga simulata correttamente e non `e stato imposto alcun limite al massimo time step. Ci`o `e il risultato dell’analisi di convergenza di cui al capitolo 3.3.

Figura 3.4: Vista della mesh in assonometria

Figura 3.5: Dettaglio della mesh del palo. In rosso `e evidenziata la posizione dei tubi

3.3

Analisi di convergenza

L’analisi di convergenza `e l’identificazione della mesh e del time step che permettono una corretta risoluzione numerica. A tal fine sono state effettuate 7 simulazioni variando le caratteristiche della mesh e le propriet`a del time stepping BDF:

ˆ dimensione di base degli elementi del palo, finer (dimensione massima e minima rispettivamente 1.76 m e 0.128 m) o extremely fine (dimensione massima e minima rispettivamente 0.64 m e 0.0064 m);

ˆ dimensione degli elementi assiali del palo e della porzione di terreno al di sotto di esso, rispettivamente dAB e dBC;

ˆ dimensione degli elementi di interfaccia palo-terreno, dint;

ˆ dimensione degli elementi della circonferenza su cui sono posti i centri dei tubi dint;

ˆ tipologia di BDF, free o intermidiate; ˆ minimo e massimo time step, tmin e tmax.

Tali prove sono riassunte nella tabella 3.2. Si sottolinea che tutte le prove sono state effettuate sempre con algoritmo di time stepping di tipo BDF. Tabella 3.2: Convergenza della mesh e del time stepping per le 7 prove effettuate

Prova Mesh dAB dBC dint dint,p BDF tmin tmax

(m) (m) (m) (m) (s) (s) 1 finer 1.4 1.3 0.175 0.094 free - - 2 ext fine 0.47 0.4 0.029 0.043 free - - 3 ext fine 0.47 0.4 0.029 0.043 interm 1 104 4 ext fine 0.93 1 0.035 0.052 interm 1 104

5 ext fine 0.93 1 0.035 0.052 interm - - 6 ext fine 0.93 1 0.035 0.052 interm 1 - 7 ext fine 0.93 1 0.035 0.052 interm 1 105

Le grandezze prese in esame nell’analisi di convergenza sono la tempe- ratura d’uscita dell’acqua Tw,out, la temperatura media dell’interfaccia palo-

terreno ¯Tbe la potenza termica per unit`a di lunghezza di palo su tale interfac-

cia ˙qb. Per effettuare una quantizzazione dell’errore massimo commesso nelle

varie prove, sono stati definiti gli scostamenti normalizzati di queste gran- dezze rispetto a quelle ottenute con la prova 3, ovvero quella con maggior livello di precisione e quindi dalla quale ci si aspettano risultati pi`u precisi. In (3.5) sono definiti tali scostamenti.

e∆Tw,i =     Tw,out,3− Tw,out,i Tw,out,3     (3.5a) e∆Tb,i =     Tb,3− Tb,i Tb,3     (3.5b) e∆ ˙qb,i =     ˙ qb,3− ˙qb,i ˙ qb,3     (3.5c)

In tabella 3.3 sono riportati i valori massimi dei parametri definiti in (3.5) per il solo caso con AR = 31.1, a = 2/3 e u = 0.2 m/s. Si specifica che una verifica analoga `e stata effettuata anche per tutte le altre simulazioni. Tabella 3.3: Valori massimi degli scostamenti normalizzati delle grandezze di interesse nel caso di AR = 31.1, a = 2/3 e u = 0.2 m/s

Prova max(e∆Tw,i) max(e∆Tb,i)

1 0.0945 0.0185 2 0.0664 0.0278 4 0.0066 0.0007 5 0.0710 0.0284 6 0.0078 0.0011 7 0.0078 0.0011

Il modello `e considerato a convergenza quando gli scostamenti definiti in (3.5) risultano inferiori a 10−2. In primo luogo si evidenzia che il valore massimo di scostamento della potenza termica `e elevato per tutte le prove effettuate. Questo `e legato al fatto che, per i primi istanti temporali, le simulazioni numeriche forniscono valori che presentano picchi numerici non

accettabili fisicamente. Infatti, la potenza termica sulla superficie del palo deve risultare nulla per i primi time step in quanto non deve risentire dell’ef- fetto della temperatura dell’acqua in ingresso nei tubi. Per questa ragione, tali valori di potenza ai tempi brevi non hanno rilevanza e dunque i relativi scostamenti non sono stati riportati nella tabella 3.3.

Per quanto riguarda la temperatura di uscita dell’acqua e quella del pa- lo, gli scostamenti definiti in (3.5) si riducono notevolmente selezionando un time step minimo di 1 s, a pari tipologia di mesh (taglia degli elementi, dAB,

dBC, dint e dint,p) e a pari metodo di time stepping (BDF intermidiate). Ci`o

`

e evidenziato dalle prove 5 e 6 in cui il termine max(e∆Tw) risulta rispetti-

vamente 7.1% e 0.7% mentre il max(e∆Tb) passa da 2.8% a 0.1%. Non si

evidenziano differenze notevoli nel caso in cui venga imposto anche un time step massimo come osservato per le prove 4, 5 e 6, per le quali si ottengono valori di scostamenti inferiori a 10−2. Infittendo unicamente la mesh, prove 1 e 2, non si ottengono particolari miglioramenti a meno di non modificare il metodo di time stepping ed il minimo time step. Per questa ragione, per ottenere la convergenza del modello, `e sufficiente una mesh meno dettagliata, prove 4, 6 e 7.

A partire da queste considerazioni, il modello scelto `e quello della prova 6 in quanto garantisce la convergenza numerica della mesh e del time stepping. Esso ha una mesh non particolarmente fitta e non presenta un massimo step temporale. Ci`o garantisce anche un minore tempo di calcolo rispetto alle prove con medesima mesh e diversi massimi step temporali.