DISCUSSIONE SULL’ACCURATEZZA

La valutazione dell’errore sulla superficie superiore della piramide deve tener conto di due fattori:

1. l’approssimazione per troncamento delle infinite serie armoniche che compaiono all’interno del sistema integrale (eqq. 16, 17, 19 par. 1.3 );

2. l’approssimazione dovuta alle formule di quadratura delle funzioni di flusso e temperatura, necessarie per la valutazione degli integrali.

Per quanto riguarda la prima causa di errore, l’eq. (19) del par. 1.3 rappresenta una doppia serie armonica infinita, definita da vettori bidimensionali illimitati di autovalori βn e µm. Tali serie sono lentamente convergenti e la funzione errore di troncamento ha generalmente un andamento decrescente ma anche irregolarmente oscillante. Nel presente caso tali serie sono state calcolate utilizzando un numero intero massimo Nnm per gli indici n e m. Questo valore deve essere impostato separatamente per ogni strato della struttura. Per evidenziare il tipico errore indotto da questo fattore, la percentuale d’errore di temperatura è calcolato per un ampio range di Nnm in una struttura semplificata composta solamente dallo strato di silicio del campione di prova Q0, con la stessa potenza applicata, con le medesime densità, e dove tutti gli altri strati della pila sono stati rimpiazzati da un coefficiente convettivo uniforme, di valore opportuno, sulla faccia inferiore dello strato di silicio (fig. 2.2.1.)

FIG 2.2.1 Struttura semplificata per verificare l’effetto del numero di autovalori sull’errore complessivo

Questo modello è chiaramente differente rispetto a Q0, molto più veloce da analizzare, con una perdita di accuratezza sui risultati a causa della perdita di informazioni dovute alla dislocazione interna del flusso termico che si mantiene intorno al 6%. Tuttavia esso ci permette di valutare velocemente l’errore per un singolo strato in un singolo punto della superficie di silicio, con un numero molto elevato di autovalori.

La fig. 2.2.2 mostra i grafici dell’errore percentuale in funzione di Nnm in due singoli punti della superficie: il centro (curva A) ed il bordo (curva B) dell’isola di dissipazione ad area minore, proprio dove si raggiunge il massimo della temperatura.

Nel caso di una struttura multistrato l’errore totale compiuto nella valutazione della temperatura è dovuto alla somma degli errori di troncamento delle serie armoniche su ogni singolo strato. Per studiare gli effetti cumulativi dell’errore di troncamento è chiaramente più agevole studiare una struttura come quella mostrata in fig. 2.2.1 nella quale il numero di interfacce è ridotto. Ne ricaviamo così un grafico in funzione di Nnm, come riportato in fig. 2.2.3. Nella figura è inoltre mostrato il tempo in secondi necessario all’analisi termica.

Come si può notare l’altezza delle non è monotonamente decrescente all’aumentare di Nnm, come ci si potrebbe aspettare, ma sono presenti dei picchi più alti causati dalla natura oscillatoria e irregolare dell’errore di troncamento. Essi, probabilmente, corrispondono ai casi in cui gli errori nei vari strati hanno lo stesso segno, e quindi tendono algebricamente a cumularsi.

FIG 2.2.2 Andamenti dell’errore percentuale in funzione del numero di autovalori dello strato di silicio, al centro (A) ed al bordo (B) dell’isola di dissipazione più piccola.

La seconda causa di errore nella valutazione della distribuzione di temperatura nella densità delle griglie per la descrizione delle funzioni continue bidimensionali di flusso e temperatura per mezzo di funzioni costanti a tratti.

L’uso di una griglia di celle non uniforme, più densa dove si manifestano maggiori variazioni di temperatura, può essere effettivamente utile al fine di controllare tale errore, ma in tal maniera l’operazione di costruzione del modello diverrebbe più complessa e quindi una delle caratteristiche di semplicità del programma DJOSER andrebbe perduta. D’altra parte un aumento del numero di celle in corrispondenza delle interfacce comporterebbe un aumento del tempo di calcolo. L’effetto di questo secondo tipo di errore può essere osservato in fig. 2.2.4 dove è mostrato l’errore relativo percentuale medio (diagramma in alto) e massimo (diagramma in basso) calcolati su tutta la superficie del silicio. Il numero di celle per lato sulle facce inferiori dei due strati è stato variato nel range 5-43, mantenendo costante la densità delle celle sulla faccia superiore dello strato di silicio.

FIG 2.2.3 Errore medio (sopra) e massimo (sotto) in funzione del numero di celle Nnm

Tali grafici mostrano un comportamento decrescente abbastanza regolare all’aumentare del numero di celle, a parte un piccolo picco all’interno dell’intervallo 20-30, probabilmente dovuto ad un fenomeno di risonanza col valore del numero di autovalori utilizzato. I tempi di calcolo impiegato dal simulatore riportati nei grafici di figg. 2.2.3 e 2.2.4 sono stati valutati utilizzando un processore Pentium 4 (1.5 GHz). Il programma DJOSER è stato per ora utilizzato in forma interpretata in ambiente MATLAB, anziché compilata; per questa ragione il tempo di calcolo non è direttamente confrontabile con quello del programma FEM. L’implementazione in formato eseguibile compilato del simulatore dovrebbe garantire una consistente diminuzione dei tempi di calcolo. Inoltre buona parte del tempo macchina (circa il 90%) è impiegato per la costruzione della matrice di coefficienti del sistema di equazioni lineari, la quale non dipende dalle condizioni al contorno. La matrice di tale sistema potrebbe essere memorizzata e utilizzata per altre simulazioni con differenti condizioni al contorno risparmiando il

FIG 2.2.4 Errore medio (sopra) e massimo (sotto) in funzione del numero di celle Nnm

relativo tempo di calcolo. Prevedendo un aumento medio della velocità dovuta alla compilazione della routine, il tempo di lavoro del programma DJOSER dovrebbe rimanere entro il 10% di quello necessario agli analoghi strumenti di calcolo FEM. Dopo questa analisi dell’effetto degli autovalori sulla accuratezza dell’analisi termica di DJOSER, vediamo il confronto con il metodo FEM sui campioni Q0, Q1 e Q3. Le analisi sono state effettuate da DJOSER e da FEM sulle medesime linee ortogonali tracciate in fig. 2.1.2, con i risultati mostrati in fig. 2.2.5.

Vediamo che a fronte d’un risparmio nel tempo di computazione del 10% l’errore commesso rimane al di sotto dell’1%.

FIG 2.2.5 Percentuale di errore relativo di DJOSER rispetto a FEM lungo i due piani traversi ortogonali

CAPITOLO III