SIMULAZIONE DJOSER

Dopo aver illustrato i presupposti teorici sui cui si basa DJOSER [3], passiamo a confrontare le sue prestazioni rispetto ad un software basato sull’implementazione ad elementi finiti. E’ stato utilizzato il programma MARC ed il pre-post-processore MENTAT. Le simulazioni FEM sono state effettuate utilizzando una griglia molto più fitta del necessario (circa 6400 nodi) al fine di ridurre al minimo l’errore nel calcolo dei flussi e della temperatura rispetto alla realtà. In pratica è risultata una suddivisione in elementi cubici di dimensioni laterali di 0.1 mm, ovvero la metà di quelli bidimensionali impostati per lo DJOSER.

Le strutture prese in esame sono strutture virtuali fatte analizzare da DJOSER e da MARC. Esse sono delle strutture piramidali multistrato.

STRATO _(W/m°C)k _(mm) Lx _(mm) Ly _(micron)Lz

Silicio 135 6.2 4.4 500 Argento 419 9 7 200

Allumina 24 14 10 500

I campioni virtuali utilizzati per le simulazioni sono i seguenti. Il campione Q0, composto da quattro strati, costituisce la struttura base assialsimmetrica; ha le superfici

in contatto con l’ambiente adiabatiche e la potenza dissipata è localizzata in cima allo strato di silicio. La scelta di alternare materiali a bassa e alta conduttività termica è stata fatta per testare l’effetto sul flusso termico delle differenti conducibilità. Il primo strato è di silicio; la generazione di calore (potenza totale di 17.4 W) è localizzata sulla faccia superiore ed è organizzata in isole quadrate, ognuna avente la sua densità di potenza uniforme. L’intera superficie di silicio è suddivisa in griglie di 31x22 celle quadrate di 0.2mm per lato.

Gli atri strati sono costituiti da un film sottile e conduttivo di argento, uno strato isolante di allumina e uno strato più esteso di rame che allarga il flusso termico. Su tutte le facce superiori e laterali sono state considerate adiabatiche tranne la base supposta in contatto con un pozzo termico ideale la cui temperatura è settata costante a 0 °C.

Le varianti Q1 e Q3 differiscono da Q0 per un solo dettaglio strutturale (doppio spessore di allumina per Q1 ed una totale asimmetria degli strati per Q3). Questi campioni sono stati utilizzati per un confronto diretto con Q0, in modo da osservare gli effetti sulla distribuzione di temperatura dello strato superiore dovuta a variazioni delle

FIG 2.1.1 Mappe termiche e mappe di flusso sulle interfacce delle superfici costituenti Q0 .

comportamento termico della struttura Q0 è stato inoltre calcolato imponendo uno scambio termico convettivo su tutte le pareti verso l’ambiente circostante, ad eccezione della base in contatto con un termostato, utilizzando vari valori del coefficiente di scambio termico, dal caso di aria ferma fino a valori molto elevati. La fig. 2.1.2 mostra le mappe di temperatura fornite dal programma DJOSER nei tre casi presenti, nella cui rappresentazione è stata utilizzata la stessa scala di colori per rendere evidente il confronto.

E’ possibile notare subito l’influenza nella distribuzione della temperatura della variazione di spessore degli strati (fra Q0 e Q1) e della asimmetria (fra Q0 e Q3). Le distribuzioni di temperatura delle tre strutture differiscono notevolmente, nonostante esse siano state simulate a parità di potenza fornita. Tali differenze sono perfettamente consistenti con le diverse configurazioni geometriche e gli strati sotto il chip di silicio, i quali si comportano da vie di fuga per il calore generato sulla superficie superiore.

Il campione Q1 mostra una distribuzione di temperatura che è molto simile a quella di Q0, ma aumentata di un fattore costante, a causa del maggiore spessore di allumina, che è il materiale termicamente più isolante dell’intera pila. Le distribuzioni per Q3 mostrano non soltanto un aumento nella distribuzione di temperatura rispetto a Q0, ma

FIG 2.1.2 Mappe termiche della superficie del silicio per i campioni Q0, Q1 E Q3 in condizioni adiabatiche

anche una deformazione, che è particolarmente evidente nell’angolo in basso a sinistra della mappa. La differente distribuzione del flusso termico negli strati interni, dovuta alla forte asimmetria della struttura è la causa di tale effetto. Il posizionamento dell’area dissipante sull’angolo della lastra impedisce infatti la diffusione laterale del flusso termico, la cui concentrazione in una zona ristretta comporta un innalzamento locale della temperatura superficiale.

In fig. 2.1.3 è riportato anche l’andamento della temperatura lungo le direttrici segnate 2.1.2. Da queste rappresentazioni appare evidente come la geometria e la simmetria della struttura siano influenti nella distribuzione del flusso termico.

Nella fig. 2.1.4 sono illustrati gli andamenti di temperatura della superficie del silicio in Q0 lungo le due consuete sezioni verticale ed orizzontale, calcolati nella condizione adiabatica (hv=0) e per altri casi in cui sono imposti vari valori del fattore di scambio termico convettivo di tutte le superfici a contatto con l’ambiente nel range 8 – 20000 W/ºC m2, ovvero da una condizione di aria ferma ad una irrealistica di fortissima

FIG 2.1.3 Andamenti delle temperature lungo le sezioni di fig. 1.7 per i campioni Q0, Q1 e Q3 in condizioni adiabatiche ad eccezione della base

Ta è stata fissata a –10 ºC mentre quella del termostato sottostante T0 è 0 ºC . In effetti nei grafici di fig. 2.1.3 sono stati rappresentati soltanto gli andamenti per hv = 1000, 5000, 10000 e 20000 W/ºC m2 in quanto le temperature ottenute per valori inferiori di hv si discostano dal caso adiabatico in modo trascurabile (meno di mezzo grado centigrado) e non sono quindi rappresentabili su quella scala. Questo almeno nei casi in cui le resistenze termiche di contatto fra gli strati e fra l’intera struttura ed il pozzo termico non presentino valori eccessivi.

FIG 2.1.3 Andamenti delle temperature lungo le sezioni di fig. 2.1.1 per il campione Q1 e per vari valori del coefficiente di scambio convettivo verso l’ambiente

2.2. DISCUSSIONE SULL’ACCURATEZZA

La valutazione dell’errore sulla superficie superiore della piramide deve tener conto di due fattori:

1. l’approssimazione per troncamento delle infinite serie armoniche che compaiono all’interno del sistema integrale (eqq. 16, 17, 19 par. 1.3 );

2. l’approssimazione dovuta alle formule di quadratura delle funzioni di flusso e temperatura, necessarie per la valutazione degli integrali.

Per quanto riguarda la prima causa di errore, l’eq. (19) del par. 1.3 rappresenta una doppia serie armonica infinita, definita da vettori bidimensionali illimitati di autovalori βn e µm. Tali serie sono lentamente convergenti e la funzione errore di troncamento ha generalmente un andamento decrescente ma anche irregolarmente oscillante. Nel presente caso tali serie sono state calcolate utilizzando un numero intero massimo Nnm per gli indici n e m. Questo valore deve essere impostato separatamente per ogni strato della struttura. Per evidenziare il tipico errore indotto da questo fattore, la percentuale d’errore di temperatura è calcolato per un ampio range di Nnm in una struttura semplificata composta solamente dallo strato di silicio del campione di prova Q0, con la stessa potenza applicata, con le medesime densità, e dove tutti gli altri strati della pila sono stati rimpiazzati da un coefficiente convettivo uniforme, di valore opportuno, sulla faccia inferiore dello strato di silicio (fig. 2.2.1.)

FIG 2.2.1 Struttura semplificata per verificare l’effetto del numero di autovalori sull’errore complessivo