2.4 Struttura tropicale
3.4.3 Distanza su variet`a
Definizione 3.2 (distanza su variet`a). Siano M variet`a tropicale connes- sa e p, q ∈ M \ E(M). Sia inoltre Γp,q = {γ : [a, b] → M cammino | γ(a) =
p, γ(b) = q}, definiamo
d(p, q) = inf
γ∈Γp,q L(γ)
Teorema 3.8. La funzione d `e ben definita ed `e una distanza su M \ E. Dimostrazione. Prima di tutto M `e spazio topologico di Hausdorff connesso e localmente connesso per cammini (in quanto lo `e Σn), quindi grazie al lemma
`e connesso per cammini (ci`o che vale per la connessione con cammini generici vale anche per cammini iniettivi grazie al lemma 3.7). Nelle rette standard ogni intorno connesso di un punto esterno rimane connesso anche togliendo quel punto e poich´e i punti esterni sono isolati anche M \ E `e connesso per archi iniettivi. Da ci`o segue che se p 6= q allora Γp,q 6= ∅ e quindi d `e ben
definita. Verifichiamo che `e una distanza.
La funzione L `e non negativa, quindi lo `e pure d. Se p 6= q, essendo M di Hausdorff possiamo trovare un intorno aperto V ∋ p che non contiene q. A meno di restringerlo possiamo supporre stia nel dominio di una carta ϕ : V → Σn per un qualche n. Sia ε > 0 tale che B(ϕ(p), ε) ⊆ ϕ(V ). Dato γ ∈ Γp,q,
ϕ(γ) interseca ∂B(ϕ(p), ε), altrimenti B(ϕ(p), ε) e V \ B(ϕ(p), ε) sarebbero due aperti in V che sconnettono ϕ(γ). Esiste quindi q′ ∈ V \B(ϕ(p), ε). Dalla
definizione di lunghezza di un cammino abbiamo che L(γ) ≥ d(ϕ(p), ϕ(q′)) ≥
ε, dove ε non dipende dalla scelta di γ. Si ha quindi d(p, q) = infγ∈Γp,qL(γ) ≥ ε > 0.
Prendiamo p, q, r punti in M e fissiamo ε > 0 un numero reale. Essendo la distanza definita come estremo inferiore, esistono cammini γ ∈ Γp,q e
δ ∈ Γq,r tali che L(γ) < d(p, q) + ε e L(δ) < d(q, r) + ε. Il lemma appena
dimostrato dice che esiste ζ ∈ Γp,r tale che supp(ζ) ⊆ supp(γ) ∪ supp(δ).
Quindi d(p, r) = infζ′∈Γp,rL(ζ′) ≤ L(ζ) ≤ L(γ) + L(δ) < d(p, q) + d(q, r) + 2ε e dall’arbitrariet`a di ε segue la disuguglianza triangolare.
Teorema 3.9. Sia M variet`a tropicale e sia ϕ : U → Σn una carta contenuta
nell’atlante di M. Allora indicata con dv la distanza su M come variet`a tro-
picale e dr la distanza su Σn\ E come retta standard, si ha che ϕ `e isometria
locale tra gli spazi metrici (U, dv) e (Σn\ E, dr).
Dimostrazione. Sia p ∈ U ed ε = dv(p, Uc). Poich`e p `e compatto e U aperto
vale ε > 0.
Vogliamo dimostrare che detta B = B(p, ε) ⊆ U si ha che ϕ|B : B → Σn
`e un’isometria. Per far questo prendiamo un generico q ∈ B. Per calcolare dv(p, q) ci possiamo restringere a calcolare l’estremo inferiore sui gli archi
iniettivi che connettono p e q e la cui lunghezza sia minore di dv(p,q)+ε
2 . Essi
sono interamente contenuti in B, infatti se esistesse un q′ ∈ Bc ∩ supp(γ)
Per calcolarne la lunghezza possiamo quindi usare la suddivisione banale ed ottenere che L(γ) = dr(ϕ(p), ϕ(q)). Per l’arbitrariet`a del cammino otteniamo
che dv(p, q) = dr(ϕ(p), ϕ(q)) che `e la nostra tesi.
Corollario 3.10. Sia Σn una retta standard. Consideriamo su di essa la
struttura tropicale indotta dall’atlante che ha come unica carta l’identit`a. Con le notazioni del teorema precendente, si ha che dr = dv
Dimostrazione. Ripetiamo la dimostrazione del teorema precedente, ma sen- za restringerci a nessuna palla di raggio ε. Essa continua a valere in quanto Uc `e vuoto.
Questo risultato ci mostra che non vi pu`o essere ambiguit`a tra le due nozioni di distanza, e d’ora in poi continueremo ad usare lo stesso simbolo per entrambe.
Teorema 3.11 (equivalenza tra isometrie e isomorfismi). Siano M e N variet`a tropicali e f : M → N una funzione tra esse. Allora f `e un’isomorfismo se e solo se `e un’isometria. In particolare, due variet`a sono isomorfe se e solo se sono isometriche.
Dimostrazione.
Possiamo supporre che f sia un omeomorfismo, in quanto sia le isometrie sia gli isomorfismi lo sono.
‘Se.’ Sia p ∈ M punto generico. Date carte (U, ϕ) in p e (V, ψ) in f (p), poich`e esse sono isometrie locali a meno di restringere U e V possiamo supporre che siano isometrie. Poich´e f `e isometria, lo `e anche la composizione ψ ◦ f ◦ ϕ−1. Per il teorema 3.4 tale composizione `e un morfismo monomiale
invertibile. Segue che f `e isomorfimo.
‘Solo se.’ Sia p ∈ M punto generico. Poich´e f `e isomorfismo esistono carte (U, ϕ) in p e (V, ψ) in f (p), tali che la composizione ψ ◦ f ◦ ϕ−1 sia un
morfismo monomiale invertibile. Poich`e le carte sono isometrie locali, a meno di restringere U e V possiamo supporre che siano isometrie. Per il teorema 3.4 la composizione ψ ◦ f ◦ ϕ−1 `e un’isometria. Segue che anche f , ristretta
a tali intorni `e un’isometria. Per l’arbitrariet`a di p, f `e un’isometria locale ed essendo un’omeomorfismo `e un’isometria globale.
A conclusione di questa sezione, mostriamo che, similmente a quanto accade per curve lisce e regolari in spazi euclidei, `e possibile, data una cur- va, trovare una parametrizzazione di essa che ne rispecchi le caratteristiche metriche.
Teorema 3.12. Sia γ : [a, b] → M, con a < b curva iniettiva in M variet`a. Definiamo l’applicazione:
f : [a, b] → [0, L(γ)] f (x) = L(γ|[a,x])
Allora f `e un omeomorfismo.
Dimostrazione. Fissiamo un punto generico x ∈ [a, b]. Se (U, ϕ) `e una carta in γ(x), a meno di restringere possiamo supporre che U = B(γ(x), ε) e che ϕ sia un’isometria. Posto V = γ−1(U), esso `e un intorno aperto di x in [a, b] e
si ha che, per ogni y ∈ V , da d(x, y) < ε si deduce |f (x) − f (y)| < ε. Quindi f `e una funzione continua.
Per il teorema 3.6 f `e crescente, quindi iniettiva.
Inoltre f (a) = L(γ|{a}) = 0 e f (b) = L(γ|[a,b]) = L(γ), per cui essendo
continua segue dal teorema del valore intermedio che `e surgettiva.
Infine, poich´e `e bigezione tra un compatto e un Hausdorff, `e un omeo- morfismo.
Corollario 3.13 (parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco). Data una curva iniettiva γ : [a, b] → M con M variet`a, esiste un omeomor- fismo h : [0, L(γ)] → [a, b] tale che la curva ˜γ = γ ◦ h ha lo stesso supporto di γ e per essa vale L(˜γ|[0,x]) = x.
Variet`a e grafi
In questo capitolo daremo una classificazione delle 1-variet`a complete (e che soddisfino delle ipotesi molto blande). Dove non specificato altrimenti intenderemo complete rispetto alla distanza definita nel capitolo 3.
Esse risultano essere fondamentalmente dei grafi in cui ogni spigolo ha assegnata una ‘lunghezza’.
Pi precisamente esiste un modo naturale di associare ad una variet`a tropicale un grafo con lunghezze tale che:
• per ogni grafo esiste una variet`a che ha esso come immagine
• date due variet`a esse sono isomorfe se e solo se viene loro associato lo stesso ‘grafo colorato’ (cos`ı chiameremo un grafo a cui siano state assegnate lunghezze agli spigoli)
4.1
Lunghezza degli spigoli
Lo strumento (oltre alla topologia) che consente di distinguere una variet`a da un’altra `e racchiuso nella seguente definizione.
Definizione 4.1 (lunghezza degli spigoli). Sia M variet`a tropicale ed s uno spigolo di M. Definiamo lunghezza dello spigolo s l’estremo superiore delle lunghezze delle curve iniettive che hanno supporto contenuto in s.
L(s) = sup
supp(γ)⊆s
L(γ)
Proposizione 4.1. Sia M una variet`a tropicale ed s un suo spigolo. Allora s ha lunghezza finita se e solo se la sua chiusura in M non contiene punti esterni.
Dimostrazione. ‘Solo se’. Sia p ∈ s punto esterno, e (U, ϕ) carta in p tale che ϕ(p) = [0, 1, . . . , 1] ∈ Σn e tale che U sia connesso e contenuto in s ∪ {p}.
Sia p0 = [x, 1, . . . , 1] un punto di U \ {p}. Dato m ∈ N definiamo il cammino
γm : [0, 1] → M con γm(t) = ϕ−1([xe−mt, 1, . . . , 1]). Abbiamo che γmconnette
p0 con pm = ϕ−1([xe−m, 1 . . . , 1]). Da questo segue
L(γm) = d(ϕ(p0), ϕ(pm)) = | log
x
xe−m| = | log e
m| = m
Poich´e questa stima vale per ogni m ∈ N segue che L(s) ≥ supm∈NL(γm) =
+∞.
‘Se’. Se la chiusura di s (in M \ E) `e omeomorfa a [0, 1], allora tale omeomorfismo dice che s `e supporto di una curva iniettiva γ. Ogni curva in s ha supporto contenuto nel supporto di γ, da cui L(s) ≤ L(γ). Se invece s `e omeomorfo a S1 posso trovare due curve iniettive la cui unione dei supporti
contiene s. Segue che ogni curva in s ha lunghezza limitata superiormente dalla somma delle lunghezze di tali due curve, e quindi tale maggiorazione vale anche per L(s).