In questa sezione sar`a esposto come la costruzione della sezione precedente si possa invertire, come si possa cio`e associare ad un grafo colorato (V, S, Φ, Ψ) una variet`a tropicale.
Per costruirla ci serve un segmento per ogni elemento di S ed un punto per ogni elemento di V . Prendiamo come segmento per la nostra costruzione l’intervallo (0, 1) ⊆ R. Definiamo quindi come insieme M = S × (0, 1) ⊔ V .
A questo punto abbiamo bisogno di un ordine lineare sui vertici tale che ogni vertice di valenza uno sia minore di ogni vertice di valenza maggiore. Questo perch`e, dato un grafo, sappiamo grazie alla funzione Φ quali sono i suoi vertici. Nella nostra costruzione lo spigolo `e una copia dell’intervallo (0, 1) e quindi pur conoscendo i vertici resta ambiguit`a di quale assegnare al- l’estremo ‘0’ e quale all’estremo ‘1’. Dovendo fare infinite scelte arbitrarie `e necessario l’utilizzo dell’assioma di scelta o di un fatto equivalente. In questo caso risulta pi`u chiaro utilizzare il fatto che ogni insieme pu`o essere bene ordinato, in particolare ordinato linearmente. Dato un tale ordine, assegne- remo all’estremo ‘0’ il vertice minore, e all’estremo ‘1’ il vertice maggiore. I vertici di valenza uno sono minori degli altri, quindi a loro verr`a assegnato sempre l’estremo ‘0’.
Costruiamo le carte. Ne definiremo una per ogni vertice e una per ogni spigolo, ricoprendo in tal modo tutto lo spazio.
Fissiamo un v ∈ V tale che val(v) 6= 1 (ossia val(v) ≥ 3). Definiamo gli insiemi S0
v = {s ∈ Sv|v = min Φ(s)}, Sv1 = {s ∈ Sv|v =
max Φ(s)}. Poich`e l’immagine secondo Φ di qualsiasi s ∈ S contiene uno o due elementi, abbiamo che S0
v∪ Sv1 = Sv e Sv0∩ Sv1 = Svd. Quindi |Sv0| + |Sv1| =
|Sv| + |Svd| = val(v). Sia quindi h : {1, . . . , val(v)} → Sv0⊔ Sv1 una bigezione.
Definiamo quello che sar`a un aperto sulla variet`a Uv = Sv0× (0,13) ⊔ Sv1×
(2
3, 1) ⊔ {v}.
seguente: ϕv(x) = h−1(s) z }| { [1, . . . , 1, e−Ψ(s)t, 1, . . . , 1] se x = (s, t), t ∈ (0,1 3), Ψ(s) 6= ∞ h−1(s) z }| { [1, . . . , 1, e−Ψ(s)(1−t), 1, . . . , 1] se x = (s, t), t ∈ (2 3, 1), Ψ(s) 6= ∞ h−1(s) z }| { [1, . . . , 1, t, 1, . . . , 1] se x = (s, t), t ∈ (23, 1), Ψ(s) = ∞ [1, . . . , 1] se x = v
Fissiamo ora un v ∈ V tale che val(v) = 1. Per definizione di valenza Sv
ha un unico elemento e sia esso s. Definiamo allora Uv = {s} × (0,13) ⊔ {v}
e ϕv : Uv → Σ3 come: 1
ϕv(x) =
[t, 1, 1] se x = (s, t) [0, 1, 1] se x = v Fissiamo infine ora un s ∈ S.
Definiamo l’insieme Us = {s} × (0, 1) e la mappa ϕs : Us → Σ3 con
ϕs : (s, t) 7→ [e−Ψ(s)t, 1, 1] se Ψ(s) 6= ∞, oppure ϕs : (s, t) 7→ [t, 1, 1] se
Ψ(s) = ∞.
Teorema 4.4 (variet`a tropicale associata ad un grafo colorato). Sia dato un grafo colorato (V, S, Φ, Ψ). Allora, con le definizioni date sopra, esiste un’unica topologia su M per la quale tutte le ϕi risultano omeomorfismi
con l’immagine. Definito A = {(Ui, ϕi)}i∈S⊔V esso `e un atlante su M che
la rende variet`a tropicale di dimensione uno. Inoltre, gli insiemi della forma {s} × (0, 1) risultano essere gli spigoli di M e sono tali che L({s} × (0, 1)) = Ψ(s).
Dimostrazione. Dimostriamo che l’atlante `e fatto di carte compatibili. Prima di tutto osserviamo che tutte le carte sono funzioni bigettive. Direttamente dalla definizione abbiamo che se i e j stanno entrambi in V o entrambi in S e i 6= j, allora Ui ∩ Uj = ∅. Nei restanti casi abbiamo che Uv ∩ Us 6= ∅
se e solo se v ∈ Φ(s). Prendiamo quindi v ∈ V e s ∈ S tali che v ∈ Φ(s). Distinguiamo i vari casi:
Caso val(v) = 1.
Per definizione di grafo deve essere Ψ(s) = ∞. Abbiamo che Uv ∩ Us =
{s} × (0,1
3) e su questo insieme
ϕv = ϕs: (s, t) 7→ [t, 1, 1] ∈ Σ3 1
sono definite allo stesso modo, ossia il cambio di carte `e l’identit`a di Σ3 in
s´e.
Caso val(v) = n ≥ 3, Ψ(s) = ∞.
Abbiamo che Uv ∩ Us= {s} × (23, 1) e su questo insieme
ϕs: (s, t) 7→ [t, 1, 1] ∈ Σ3 ϕv : (s, t) 7→ [1, . . . , 1, t, 1, . . . , 1] ∈ Σn+1
A meno di permutazione il cambio di carte `e della forma [t, 1, 1] 7→ [t, 1, . . . , 1], che `e un restrizione del morfismo [x0, x1, x2] 7→ [x0, x1, x2, . . . , x2] mentre
l’inversa `e restrizione del morfismo proiezione [x0, x1, . . . , xn] 7→ [x0, x1, x2].
Caso val(v) = n ≥ 3, Ψ(s) 6= ∞.
Se Uv∩ {s} × (0,13) 6= ∅ allora le due mappe sono:
ϕs: (s, t) 7→ [1, . . . , 1, e−Ψ(s)t, 1, . . . , 1] ∈ Σn
ϕv : (s, t) 7→ [e−Ψ(s)t, 1, 1] ∈ Σ3
Quindi, poich´e la mappa t 7→ e−Ψ(s)t`e bigettiva, il cambio di carta `e lo stesso
del caso precendente. Se Uv∩ {s} × (23, 1) 6= ∅ allora le due mappe sono:
ϕs: (s, t) 7→ [1, . . . , 1, e−Ψ(s)(1−t), 1, . . . , 1] ∈ Σn
ϕv : (s, t) 7→ [e−Ψ(s)t, 1, . . . , 1] ∈ Σ3
La correlazione tra le coordinate minori di uno `e del tipo e−Ψ(s)t 7→ e−Ψ(s)(1−t) = e−Ψ(s)(e−Ψ(s)t)−1
e, sempre poich´e l’esponenziale `e bigettivo, possiamo cambiare variabile ot- tenendo che il cambio di carta `e della forma t 7→ e−Ψ(s)t−1. Quindi, modulo permutazione, il cambio di carta `e restrizione del morfismo:
[x0, x1, x2] 7→ [e−Ψ(s)x0−1x1x2, x1, . . . , xn]
mentre l’inversa `e restrizione del morfismo
[x0, . . . , xn] 7→ [e−Ψ(s)x−10 x1x2, x1, x2]
E con questo abbiamo esaurito tutti i casi possibili.
Ogni insieme della forma ϕi(Ui) `e un aperto dentro l’opportuno Σn. Dal
fatto che i cambi di carta siano morfismi invertibili (e quindi in particolare omeomorfismi) otteniamo che esiste un unica topologia su M tale che tutte le ϕi siano omeomorfismi. Diamo ad M tale topologia.
Per dimostrare che `e di Hausdorff, prendiamo due punti x, y ∈ M. Se x, y ∈ V , allora Ux e Uy sono intorni disgiunti che li separano. Se x ∈
{sx} × (0, 1), y ∈ {sy} × (0, 1), se sx 6= sy i punti sono separati da Usx e Usy, se invece sx = sy = s possono essere separati grazie al fatto che {s} × (0, 1)
`e dominio della ϕs omeomorfismo con uno spazio di Hausdorff.. Infine se
x = (s, t) ∈ {s} × (0, 1), v ∈ V , posto ε < 1
2min{t, 1 − t}, sono aperti
disgiunti i due insiemi {s} × (t − ε, t + ε) e Uv∩ (S × ((0, ε) ∪ (1 − ε, 1)))
Otteniamo come conseguenza che tutte le richieste della definizione sono soddisfatte, quindi M con le carte che abbiamo definito risulta essere una variet`a tropicale di dimensione uno.
Per come sono state definite le carte, i vertici sono la controimmagine se- condo le carte dei punti centrali ed esterni, ossia l’insieme V ⊆ M, che quindi senza ambiguit`a possiamo usare lo stesso simbolo per indicare l’insieme dei vertici di M. Gli spigoli sono quindi le componenti connesse di S × (0, 1). Per ogni s ∈ S, l’insieme Us = {s} × (0, 1) `e connesso poich´e omeomorfo
tramite ϕsad un connesso. Inoltre `e aperto (in quanto dominio di una carta)
e il suo complementare in S × (0, 1) `e pure aperto in quanto unione di aperti. Quindi gli spigoli sono gli insiemi della forma {s} × (0, 1) al variare di s ∈ S. Calcoliamo ora la lunghezza degli spigoli. Notiamo che per ogni s ∈ S lo spigolo Us`e un aperto connesso contenuto in un carta quindi le distanze non
cambiano se applichiamo ϕs. Abbiamo quindi che
L(Us) = sup x,y∈Us d(x, y) = sup x,y∈Us d(ϕs(x), ϕs(y)) = sup x,y∈ϕs(Us) d(x, y) Fissiamo quindi un s ∈ S tale che Ψ(s) = ∞:
L(s) = sup x,y∈(0,1) d([x, 1, 1], [y, 1, 1]) = sup x,y∈(0,1) | logx y| = +∞ Se invece prendiamo un s ∈ S tale che Ψ(s) 6= ∞:
L(s) = supx,y∈(0,1)d([e−Ψ(s)x, 1, 1], [e−Ψ(s)y, 1, 1]) =
= supx,y∈(0,1)| log e−Ψ(s)(x−y)| = sup
x,y∈(0,1)|Ψ(s)(x − y)| = Ψ(s)
E con questo anche l’ultima asserzione del teorema `e dimostrata.
Poich´e `e chiaro che le costruzioni esposte in queste due ultime sezioni sono una l’inversa dell’altra, mettendo assieme le due dimostrazioni otteniamo l’equivalenza tra le variet`a tropicali di dimensione uno (con le ipotesi tecniche del teorema 4.3) e i grafi colorati.
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