4.5 Analisi di vulnerabilità sismica
4.5.1 Analisi dinamica lineare
4.5.2.1 Effetti del secondo ordine
Gli effetti del secondo ordine sono dovuti all’eccessiva deformabilità della struttura e comportano un’amplificazione, in termini di sollecitazioni e spostamenti, degli effetti dell’azione sismica. La norma definisce quindi come parametro di controllo di questi effetti il fattore θ, definito coefficiente di sensibilità agli effetti del secondo ordine, calcolato mediante la formula riportata di seguito, definita al paragrafo 7.3.1 delle NTC 2018:
ER
P d V h
=
(22)
I parametri presenti nella formula sono definiti allo stesso paragrafo.
In particolare, dER rappresenta lo spostamento orizzontale relativo tra l’orizzontamento considerato e quello immediatamente sottostante, entrambe valutati allo S.L.V. mediante la seguente formula:
Ei Eei
d =d
(23)
dove μδ è il fattore di duttilità in spostamento, coincidente con il fattore di comportamento (q) in quanto il periodo proprio principale (T1) dei vari Corpi risulta sempre superiore a TC.
La verifica deve essere condotta per ciascuna delle tre stilate e per ciascuna delle due direzioni principali X e Y di applicazione delle forze sismiche.
I risultati sono riportati nelle tabelle seguenti.
Stilata h [m] P [kN] VX [kN] dERX [m] θX VY [kN] dERY [m] θY
1° 4,500 10728,233 1633,714 0,01260 0,018 1827,367 0,01748 0,023
2° 3,500 6527,863 1267,387 0,01580 0,023 1343,558 0,01004 0,014
3° 3,700 2917,406 844,882 0,02260 0,021 706,842 0,00764 0,009
137
Stilata h [m] P [kN] VX [kN] dERX [m] θX VY [kN] dERY [m] θY
1° 4,500 1158,920 85,025 0,03200 0,097 260,556 0,00280 0,003
2° 3,500 718,254 49,112 0,02254 0,094 210,178 0,00610 0,006
3° 3,700 319,572 45,982 0,04566 0,086 127,306 0,00870 0,006
Tabella 24 – Verifica degli effetti del secondo ordine del Corpo 2
Stilata h [m] P [kN] VX [kN] dERX [m] θX VY [kN] dERY [m] θY
1° 4,500 2733,363 373,629 0,01900 0,031 618,078 0,01170 0,011
2° 3,500 1779,857 297,556 0,01680 0,029 501,342 0,01070 0,011
3° 3,700 746,707 173,537 0,01460 0,017 274,278 0,00740 0,005
Tabella 25 – Verifica degli effetti del secondo ordine del Corpo 3
Stilata h [m] P [kN] VX [kN] dERX [m] θX VY [kN] dERY [m] θY
1° 4,500 6605,015 766,184 0,03860 0,074 514,335 0,03230 0,092
2° 3,500 4320,754 575,444 0,01740 0,037 401,469 0,02742 0,084
3° 3,700 2040,381 302,693 0,01020 0,019 266,685 0,03908 0,081
Tabella 26 – Verifica degli effetti del secondo ordine del Corpo 4
Stilata h [m] P [kN] VX [kN] dERX [m] θX VY [kN] dERY [m] θY
1° 4,500 10122,174 1396,259 0,02700 0,043 1233,698 0,01958 0,036
2° 3,500 6646,194 1093,576 0,01696 0,029 1013,281 0,01532 0,029
3° 3,700 3063,740 629,978 0,01104 0,015 648,895 0,01230 0,016
Tabella 27 – Verifica degli effetti del secondo ordine del Corpo 5
Il valore del fattore θ assume sempre sia un valore inferiore sia a 0,20, a dimostrazione che sia effettivamente possibile svolgere un’analisi dinamica lineare, sia un valore inferiore a 0,10, in modo da poter trascurare gli effetti del secondo ordine sulla costruzione.
138
4.5.2.2 Fondazioni
Le fondazioni sono tutte costituite da plinti in calcestruzzo armato collegati da cordoli.
Nell’analisi di vulnerabilità sismica sono state eseguite sia verifiche di tipo geotecnico, in modo da valutare la resistenza del terreno sottostante, sia verifiche di tipo strutturale, in modo da valutare la resistenza dalla fondazione vera e propria.
Tutte queste verifiche sono le stesse previste nell’analisi di vulnerabilità statica della costruzione e sono state eseguite allo stesso modo, pertanto si rimanda al paragrafo 4.4.1.2 per la loro spiegazione.
I risultati delle verifiche di vulnerabilità sismica di tipo geotecnico e strutturale delle fondazioni sono riportati nel fascicolo dei calcoli allegato alla presente Tesi.
Per quanto riguarda le verifiche strutturali, le verifiche a punzonamento sono completamente soddisfatte, mentre la verifica di resistenza a trazione è sempre soddisfatta tranne che per il Corpo 1, per il quale il rapporto tra capacità e domanda dell’elemento più debole nei confronti di tale meccanismo è pari al 67% ed aumenta fino al 90% raggiungendo un livello di conoscenza LC3. Per quanto riguarda le verifiche geotecniche, tutti e cinque i Corpi hanno una capacità minore rispetto a quella necessaria. Nella tabella seguente si indica pertanto, per ciascun Corpo, il minimo rapporto tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole, la percentuale di elementi che risultano verificati e non verificati.
Corpo (C/D) MIN [%] Elementi verificati [%] Elementi non verificati [%]
1 9% 6% 94%
2 6% 0% 100%
3 1% 14% 86%
4 1% 0% 100%
5 1% 21% 79%
Tabella 28 – Risultati delle verifiche di vulnerabilità sismica di tipo geotecnico delle fondazioni
Nella tabella, per quanto riguarda i Corpi 3, 4 e 5, è riportato un rapporto (C/D) MIN pari all’1%. Tale rapporto esiguo è dovuto al fatto che, dovendo ridurre le dimensioni del piano di posa della fondazione per tener conto delle forti sollecitazioni eccentriche di taglio e flessione, queste dimensioni risultano negative e pertanto, dovendo effettuare la verifica, sono state imposte pari a 1 centimetro, comportando quindi valori della tensione trasmessa al terreno (σed) molto elevati, come visibile dal fascicolo dei calcoli allegato.
Si precisa inoltre che, anche aumentando il livello di conoscenza della struttura da LC1 a LC3, i risultati di queste verifiche geotecniche rimangono inalterati, in quanto non aumenta la resistenza del terreno e quindi la capacità nei confronti degli stati limite geotecnici.
In conclusione quindi si rilevano grossi problemi di natura geotecnica riguardo le fondazioni, dovuti al fatto che i plinti, essendo stati progettati solamente per resistere a sollecitazioni di sforzo normale centrato, hanno esigue dimensioni del piano di posa a contatto col terreno e pertanto risultano incapaci ad accogliere le forti sollecitazioni eccentriche di flessione e taglio trasmesse dai relativi pilastri in fase sismica.
Si evidenzia inoltre, osservando le esigue percentuali di elementi che risultano verificati, che per tutti e cinque i Corpi questa criticità è molto diffusa, in quanto quasi tutti i plinti risultano inadeguati.
139
4.5.2.3 Travi
Le travi facenti parte della scuola sono tutte in calcestruzzo armato e hanno sezione rettangolare. Come già specificato in precedenza, nel modello per azioni sismiche sono state per la maggior parte incastrate ai relativi pilastri, mentre le travi in spessore sono state incernierate.
L’andamento delle sollecitazioni nelle travi incastrate è dato dalla somma di quelle dovute ai carichi verticali e di quelle dovute all’azione sismica, con momento flettente negativo alle estremità, momento flettente positivo in campata e taglio decrescente linearmente dalle estremità verso la mezzeria. Per le travi in spessore incernierate, invece, lo stato di sollecitazione è dovuto ai soli carichi verticali ed è relativo a una trave semplicemente appoggiata, con momenti flettenti solamente di segno positivo e taglio decrescente linearmente dalle estremità verso la mezzeria. Le verifiche di vulnerabilità sismica per le travi consistono ancora in verifiche a flessione e verifiche a taglio, le quali si eseguono allo stesso modo di quelle previste per l’analisi di vulnerabilità statica della struttura, pertanto si rimanda al paragrafo 4.4.1.3 per la loro spiegazione. L’unica differenza sta nel fatto che, per quanto riguarda la determinazione della domanda relativa allo sforzo di taglio a cui è sottoposta ciascuna trave (VED), questa non può superare lo sforzo di taglio che si viene a creare nella trave stessa nel momento in cui si forma il meccanismo di collasso duttile ad esso alternativo, ovvero la formazione delle cerniere plastiche alle estremità.
Pertanto, oltre a determinare la domanda di taglio ricavata dall’analisi (VEDANALISI), è stata determinata anche la domanda di taglio massima (VEDMAX) imponendo una condizione di equilibrio della trave, incernierata agli estremi, soggetta ai carichi gravitazionali e a due coppie corrispondenti alla capacità flessionale di progetto nelle sezioni di plasticizzazione, ovvero:
RDSX RDDX EDMAX G Q TRAVE M M V V L + + = +
(24)
dove VG+Q è il taglio dovuto ai soli carichi gravitazionali, LTRAVE è la lunghezza della trave e MRDSX e MRDDX sono i momenti flettenti resistenti negativi alle estremità sinistra e destra.
La domanda di taglio effettiva corrispondente a ciascuna trave è pertanto:
(
)
min ;
ED EDANALISI EDMAX
V = V V
(25)
I risultati delle verifiche di vulnerabilità sismica a flessione e taglio delle travi sono riportati nel fascicolo dei calcoli allegato alla presente Tesi.
Per quanto riguarda la verifica a flessione, tutti e cinque i Corpi hanno una capacità minore rispetto a quella necessaria. Nella tabella seguente si indica pertanto, per ciascun Corpo, il minimo rapporto tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole, la percentuale di elementi che risultano verificati e non verificati.
Corpo (C/D) MIN [%] Elementi verificati [%] Elementi non verificati [%]
/ LC1 LC3 LC1 LC3 LC1 LC3 1 6% 8% 12% 24% 88% 76% 2 49% 66% 59% 62% 41% 38% 3 12% 16% 46% 58% 54% 42% 4 28% 38% 81% 90% 19% 10% 5 10% 13% 67% 79% 33% 21%
140
Per quanto riguarda la verifica a taglio, tutti e cinque i Corpi hanno una capacità minore rispetto a quella necessaria. Nella tabella seguente si indica pertanto, per ciascun Corpo, il minimo rapporto tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole, la percentuale di elementi che risultano verificati e non verificati.
Corpo (C/D) MIN [%] Elementi verificati [%] Elementi non verificati [%]
/ LC1 LC3 LC1 LC3 LC1 LC3 1 23% 31% 34% 65% 66% 35% 2 33% 46% 66% 76% 34% 24% 3 32% 53% 54% 76% 46% 24% 4 57% 78% 83% 96% 17% 4% 5 32% 44% 76% 89% 24% 11%
Tabella 30 – Risultati delle verifiche di vulnerabilità sismica a taglio delle travi
Da questi risultati si deduce che per i Corpi 1, 3, 4 e 5 il meccanismo più gravoso risulta essere quello a flessione, mentre per il Corpo 2 il meccanismo più gravoso risulta essere quello a taglio. Inoltre, osservando la percentuale di elementi verificati, solo nel Corpo 1 la criticità delle travi risulta essere diffusa, mentre per gli altri Corpi la maggior parte degli elementi risultano verificati. Si osserva quindi che il Corpo 1, costituito dal nucleo originario della scuola, è quello che ha una capacità minore e quindi sarà il primo ad andare in crisi in fase sismica.
La sua scarsa capacità è dovuta ancora alla presenza delle travi longitudinali, la cui capacità in termini di resistenza a momento negativo è molto scarsa.
Intervenendo su di esse in modo da incrementare la loro capacità a flessione, è possibile incrementare immediatamente il minimo rapporto tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole fino al 12% (17% raggiungendo un livello di conoscenza LC3), valore paragonabile con gli altri Corpi.
Travi sotto-finestra
Come specificato nel capitolo relativo alla modellazione strutturale, sono state inserite in alcuni modelli delle travi sotto-finestra, in modo da valutare il loro effetto sui pilastri a cui esse sono collegate. Pertanto anche queste travi, costituenti un vero e proprio elemento strutturale, devono essere verificate a flessione e taglio.
I risultati delle verifiche riguardo le travi sotto-finestra sono anch’essi riportati nel fascicolo dei calcoli allegato alla Tesi.
Si fa presente sin da subito che però, avendo modellato queste travi come bielle incernierate agli estremi, esse non sono sollecitate dall’azione sismica, ma solamente dal loro peso proprio strutturale, pertanto le verifiche di vulnerabilità sismica risultano tutte soddisfatte.
141
4.5.2.4 Pilastri
I pilastri facenti parte della scuola sono tutti in calcestruzzo armato e hanno sezione rettangolare. Come già specificato, sono stati tutti incastrati sia alle relative travi che in fondazione, per cui il loro stato di sollecitazione risulta quello tipico dei pilastri intelaiati, con momenti flettenti massimi alle estremità e decrescenti linearmente verso la mezzeria e taglio costante.
Le verifiche di vulnerabilità sismica per i pilastri consistono ancora in verifiche a presso-flessione deviata e verifiche a taglio, le quali si eseguono allo stesso modo di quelle previste per l’analisi di vulnerabilità statica della struttura, pertanto si rimanda al paragrafo 4.4.1.4 per la loro spiegazione. L’unica differenza sta nel fatto che, per quanto riguarda la determinazione della domanda relativa allo sforzo di taglio a cui è sottoposto ciascun pilastro (VED), questa non può superare lo sforzo di taglio che si viene a creare nel pilastro stesso nel momento in cui si forma il meccanismo di collasso duttile ad esso alternativo, ovvero la formazione delle cerniere plastiche alle estremità.
Pertanto, oltre a determinare la domanda di taglio ricavata direttamente dall’analisi (VEDANALISI), è stata determinata anche la domanda di taglio massima (VEDMAX) imponendo una condizione di equilibrio del pilastro, considerato incernierato agli estremi e soggetto a due coppie corrispondenti alla capacità flessionale di progetto nelle sezioni di plasticizzazione, ovvero:
RDINF RDSUP EDMAX PILASTRO M M V L + =
(26)
dove LPILASTRO è la lunghezza del pilastro e MRDINF e MRDSUP sono i momenti flettenti resistenti alle estremità inferiore e superiore.
La domanda di taglio effettiva corrispondente a ciascun pilastro è pertanto data ancora dalla (25). Ovviamente questa procedura deve essere applicata in entrambe le direzioni locali x e y del pilastro in quanto, come specificato in precedenza, la scuola è costituita da alcuni pilastri non simmetrici, aventi dimensioni e/o armature diverse nelle due direzioni, pertanto anche la loro capacità a taglio sarà diversa in direzione x (VRDX) rispetto alla direzione y (VRDY).
I risultati delle verifiche di vulnerabilità sismica a presso-flessione deviata e taglio dei pilastri sono riportati nel fascicolo dei calcoli allegato alla presente Tesi.
Per quanto riguarda la verifica a presso-flessione deviata, tutti e cinque i Corpi hanno una capacità minore rispetto a quella necessaria. Nella tabella seguente si indica pertanto, per ciascun Corpo, il minimo rapporto tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole, la percentuale di elementi che risultano verificati e non verificati.
Corpo (C/D) MIN [%] Elementi verificati [%] Elementi non verificati [%]
/ LC1 LC3 LC1 LC3 LC1 LC3 1 20% 26% 2% 4% 98% 96% 2 49% 62% 28% 67% 72% 33% 3 18% 24% 15% 32% 85% 68% 4 19% 25% 22% 43% 78% 57% 5 9% 11% 18% 36% 82% 64%
142
Per quanto riguarda la verifica a taglio, tutti e cinque i Corpi hanno una capacità minore rispetto a quella necessaria. Nella tabella seguente si indica pertanto, per ciascun Corpo, il minimo rapporto tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole, la percentuale di elementi che risultano verificati e non verificati.
Corpo (C/D) MIN [%] Elementi verificati [%] Elementi non verificati [%]
/ LC1 LC3 LC1 LC3 LC1 LC3 1 34% 55% 30% 61% 70% 39% 2 64% 100% 78% 100% 22% 0% 3 61% 99% 67% 98% 33% 3% 4 73% 98% 98% 99% 2% 1% 5 25% 39% 86% 97% 14% 3%
Tabella 32 – Risultati delle verifiche di vulnerabilità sismica a taglio dei pilastri
Da questi risultati si deduce che per tutti e cinque i Corpi il meccanismo più gravoso risulta essere quello a presso-flessione deviata.
Inoltre, anche in questo caso, osservando la percentuale di elementi verificati, solo nel Corpo 1 la criticità dei pilastri risulta essere diffusa, mentre per gli altri Corpi la maggior parte degli elementi risultano verificati.
Si osserva quindi che il Corpo 5, costituito dall’ala laterale lato Sud della scuola, è quello che ha una capacità minore e quindi sarà il primo ad andare in crisi in fase sismica.
La sua scarsa capacità è dovuta alla presenza del vano scale, nel quale si concentrano le sollecitazioni dovute all’azione sismica, sollecitazioni che saranno poi trasmesse ai pilastri. Intervenendo quindi sul vano scale rendendolo non interferente o sgravandolo dalla funzione di controvento, è possibile incrementare immediatamente la capacità complessiva dei pilastri del Corpo 5, raggiungendo un valore paragonabile con gli altri Corpi.
Effetto delle travi sotto-finestra
Come specificato nel capitolo relativo alla modellazione strutturale, sono state inserite in alcuni modelli delle travi sotto-finestra, in modo da valutare il loro effetto sui pilastri ad esse collegati. È stato effettuato quindi un raffronto riguardo la capacità a presso-flessione deviata e taglio dei pilastri, dato che questa situazione rappresenta un elemento di criticità per la struttura.
Infatti, se nei confronti della verifica a presso-flessione deviata l’influenza delle travi sotto-finestra non è così marcata, nei confronti della verifica a taglio la presenza di queste travi può incrementare la domanda sui pilastri adiacenti. Lo sforzo non è più trasferito alle estremità del pilastro, bensì lungo la sua altezza, comportando un funzionamento diverso rispetto a quello dei pilastri intelaiati. Nel fascicolo dei calcoli allegato sono riportati i risultati, paragonando la situazione precedente senza considerare le travi sotto-finestra con la situazione attuale in cui esse sono state modellate. Ovviamente in tale confronto sono stati presi in considerazione solamente i pilastri a cui sono collegate le travi sotto-finestra, ovvero quelli della seconda e terza stilata situati sul lato Ovest di Piazza Risorgimento e sui lati Nord e Sud in corrispondenza dei vani scale laterali.
Per quanto riguarda le verifiche a presso-flessione deviata, si nota che il minimo rapporto tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole rimane costante o aumenta, a conferma del fatto che nei confronti di tale meccanismo la presenza delle travi sotto-finestra non è nociva.
143
Per quanto riguarda invece le verifiche a taglio, analizzando i vari Corpi, in tutti i casi i pilastri presentano una riduzione significativa del rapporto minimo tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole, fatto che conferma l’influenza negativa che queste travi hanno di essi. Tale riduzione risulta pari a:
• Dal 34% al 20% per il Corpo 1, dal 55% al 27% adottando un livello di conoscenza LC3; • Dal 83% al 81% per il Corpo 2, rimanendo inalterata al 100% adottando un livello di
conoscenza LC3;
• Dal 69% al 30% per il Corpo 3, dal 100% al 40% adottando un livello di conoscenza LC3; • Dal 31% al 21% per il Corpo 5, dal 47% al 28% adottando un livello di conoscenza LC3. Tale riduzione non comporta comunque un decremento della capacità complessiva dei Corpi, in quanto questi pilastri non sono i primi ad andare in crisi in fase sismica.
Effetto del piano soffice
Come specificato nel capitolo relativo alla modellazione strutturale, sono stati inseriti nel modello del Corpo 1 delle bielle per simulare l’effetto dei tamponamenti.
Questo allo scopo di analizzare la situazione riguardo i pilastri del portico su Piazza Risorgimento, che costituisce un piano soffice, altro elemento di criticità della struttura.
Una volta inseriti questi puntoni equivalenti, è stato effettuato un raffronto riguardo la situazione dei pilastri, limitandoci a quelli della prima stilata del portico sul lato Ovest di Piazza Risorgimento, in quanto per gli altri pilastri l’influenza di questo cambiamento è limitata.
Da questo confronto si evince che, per quanto riguarda le verifiche a presso-flessione deviata, il minimo rapporto tra capacità e domanda relativo all’elemento più debole aumenta dal 26% al 30% (dal 33% al 38% raggiungendo un livello di conoscenza LC3), mentre per le verifiche a taglio tale rapporto diminuisce dal 45% al 39% (dal 71% al 61% raggiungendo un livello di conoscenza LC3). Tale riduzione non comporta comunque un decremento della capacità complessiva del Corpo 1, in quanto i pilastri del portico non sono i primi ad andare in crisi in fase sismica.
Nelle tabelle seguenti è riportato sinteticamente questo raffronto tra la situazione precedente, in cui non sono stati modellati i tamponamenti e la situazione attuale, in cui essi sono stati modellati. Il generico pilastro è identificato nelle tabelle mediante la seguente simbologia: con P1F-I è indicato il pilastro (P), del filo 1 (1) e del picchetto F (F), della prima stilata (I).
SITUAZIONE PRECEDENTE SENZA TAMPONAMENTI (PRESSO-FLESSIONE DEVIATA) Pilastro NED [kN] MRDX [kN m] MRDY [kN m] MEDX [kN m] MEDY [kN m] D/C
P1F-I 567,735 149,986 149,986 252,499 206,779 3,803 P2F-I 550,264 147,591 147,591 186,141 237,975 3,464 P3F-I 501,090 140,664 140,664 147,852 232,079 3,197 P4F-I 507,975 141,650 141,650 148,103 231,974 3,165 P5F-I 550,549 147,630 147,630 187,061 227,672 3,341 P6F-I 566,958 149,881 149,881 252,641 206,862 3,810 Max (D/C) 3,810 Capacità [%] 26%
144
SITUAZIONE ATTUALE CON TAMPONAMENTI (PRESSO-FLESSIONE DEVIATA) Pilastro NED [kN] MRDX [kN m] MRDY [kN m] MEDX [kN m] MEDY [kN m] D/C
P1F-I 707,182 167,876 167,876 179,817 216,400 2,572 P2F-I 555,840 148,359 148,359 165,858 242,130 3,267 P3F-I 509,516 141,870 141,870 148,303 239,892 3,268 P4F-I 516,216 142,824 142,824 149,260 239,782 3,244 P5F-I 560,822 149,043 149,043 169,345 241,982 3,280 P6F-I 726,280 170,155 170,155 185,741 216,281 2,574 Max (D/C) 3,280 Capacità [%] 30%
SITUAZIONE PRECEDENTE SENZA TAMPONAMENTI (TAGLIO)
Pilastro VEDX [kN] VRDX [kN] D/CX VEDY [kN] VRDY [kN] D/CY
P1F-I 96,237 43,211 2,227 96,237 43,211 2,227 P2F-I 84,934 43,211 1,966 91,037 43,211 2,107 P3F-I 66,679 43,211 1,543 86,803 43,211 2,009 P4F-I 66,863 43,211 1,547 87,317 43,211 2,021 P5F-I 85,523 43,211 1,979 91,058 43,211 2,107 P6F-I 96,178 43,211 2,226 96,178 43,211 2,226 Max (D/C) 2,227 Capacità [%] 45%
SITUAZIONE ATTUALE CON TAMPONAMENTI (TAGLIO)
Pilastro VEDX [kN] VRDX [kN] D/CX VEDY [kN] VRDY [kN] D/CY
P1F-I 84,940 43,211 1,966 108,643 43,211 2,514 P2F-I 83,983 43,211 1,944 91,159 43,211 2,110 P3F-I 30,252 43,211 0,700 86,965 43,211 2,013 P4F-I 69,303 43,211 1,604 87,459 43,211 2,024 P5F-I 79,601 43,211 1,842 91,635 43,211 2,121 P6F-I 88,823 43,211 2,056 110,278 43,211 2,552 Max (D/C) 2,552 Capacità [%] 39%
Tabelle 33, 34, 35 e 36 – Confronto a presso-flessione deviata e taglio per i pilastri del portico
Max (D/C) 2,227
Capacità [%] 45%
Max (D/C) 2,056
145