Effetto del numero di campioni considerati

Si procede quindi ad analizzare la sensitività della soluzione ottenuta dall‟inversione del modello al numero di campioni del set di dati con cui si costruisce il modello stesso. Tali campioni sono estratti in numero crescente secondo due procedure: una di selezione random (dal 10 % al 80 % dei campioni totali) e una che estrae i campioni secondo un criterio di d-ottimalità, secondo il quale si seleziona dalla matrice totale un certo numero di campioni (dal 10% al 90 % dei campioni totali) in modo che il contenuto informativo dei dati selezionati (rappresentato dal determinante della matrice di varianza-covarianza) sia massimizzato (de Aguiar et al., 1995).

5.1.2.1. Estrazione di campioni in modo random

Per quanto riguarda il primo caso (estrazione random di una percentuale crescente di campioni), il campione su cui si effettua l‟inversione è lo stesso delle precedenti prove (Tabella 5.1), ma il modello utilizzato è ricalcolato di volta in volta in base alla matrice ottenuta dalla selezione dei campioni. Le prove vengono effettuate tenendo conto di 3 variabili latenti e della stessa strategia di inversione utilizzata precedentemente (scenario 2, §2.2.2.2) imponendo gli stessi vincoli fisici riportati al §5.1.1. Ogni prova di inversione per una determinata percentuale di campioni trattenuti, è effettuata più volte (circa una decina), per evitare che i risultati risultino troppo dipendenti dal tipo di campioni scelti di volta in volta, e i valori riportati sono relativi alla media dei valori ottenuti da queste prove. Vengono in seguito riportati in Figura 5.3, i risultati ottenuti al variare del numero di campioni selezionati, in termini di errore relativo tra i vettori xnew e xreal, rispetto ad ogni variabile di processo.

È interessante osservare in Figura 5.3 come vari l‟errore relativo rispetto ad ogni variabile della soluzione (xnew,i) al variare del numero di campioni della matrice utilizzata per costruire il modello. In questo caso il tipo di polimero è stato imposto a priori, quindi l‟errore è nullo per questa variabile. Si nota che considerando dal 90% al 70% dei campioni, gli errori sulla variabile portata e sul rapporto W/A sono all‟incirca costanti, mentre aumentano per la concentrazione di polimero. Da questa percentuale in poi vi è un andamento oscillante, indice

di una maggiore sensibilità del modello al tipo di campioni presenti, ed in generale la percentuale degli errori aumenta per tutte le variabili.

Infine si sono calcolati i valori dell‟errore quadratico in predizione per le varie prove, che si assesta a valori molto prossimi a zero (nell‟ordine di 10-8

), come diretta conseguenza dell‟utilizzo del problema di minimizzazione relativo allo scenario 2, in cui

new

x

SPE compare nella funzione obiettivo.

20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Er ro re r e la ti v o

Percentuale di campioni selezionati

C_pol

FR W/A

Type_pol

Figura 5.3. Analisi al variare del numero di campioni considerati: errore relativo per ogni variabile di processo a percentuali diverse di campioni eliminati in modo random.

5.1.2.2. Estrazione di campioni con procedura d-ottimale

In questo caso i campioni considerati vengono estratti secondo una procedura d-ottimale. In questo modo la matrice che risulta dalla selezione, della percentuale fissata di campioni, contiene i campioni che massimizzano il determinante della matrice di varianza-covarianza. Il campione selezionato per la convalida è lo stesso dei casi precedenti (Tabella 5.1) e sono stati imposti i vincoli sul vettore soluzione di tipo fisico-sperimentale riportati al §5.1.1. La procedura di inversione del modello utilizzata è quella relativa allo scenario 2 (§2.2.2.2) ed è stato imposto come nelle prove precedenti, il vincolo sul tipo di polimero. In questo caso le percentuali di campioni selezionati per la costruzione del modello si estendono dal 10% al 90% e i risultati sono riportati in Figura 5.4.

L‟errore relativo alla variabile Typepol è nullo, in quanto come precisato, questa variabile è imposta a priori, ma anche l‟errore rispetto a W/A si dimostra particolarmente basso (Figura 5.4). Gli errori per le altre variabili invece, si assestano su valori elevati e diminuiscono all‟aumentare del numero di campioni considerati per la costruzione del modello.

È da sottolineare comunque, che con questa procedura non vengono selezionati campioni che si trovano nell‟intorno del campione di cui si stimano le condizioni iniziali, se non selezionando almeno il 90% dei campioni: questo riduce in parte la capacità di stimare una soluzione vicina ai valori reali, dal momento che lo spazio dei dati selezionati è meno risolto in prossimità del campione di interesse.

10%20%30%40%50%60%70%80%90% 0 1 2 3 4 5 Er ro re r e la ti v o

Percentuale di campioni selezionati

C_pol

FR W/A

Type_pol

Figura 5.4. Analisi al variare del numero di campioni considerati: errore relativo per ogni variabile di processo a percentuali diverse di campioni selezionati con procedura d-ottimale.

Da queste prove si può concludere che è importante la scelta del set di dati su cui costruire il modello, e che se si avessero a disposizione il 20-30% di campioni in meno, i risultati non cambierebbero in modo rilevante, dimostrando che il modello sotto questo punto di vista è abbastanza robusto. Oltre tale soglia, le differenze tra le soluzioni trovate diventano più significative poiché viene persa parte dell‟informazione che viene portata dall‟insieme di tutti i campioni delle due apparecchiature.

5.2. Trasferimento di prodotto dall’apparecchiatura d1 a

CIJM-d2

Si vogliono utilizzare le procedure per l‟inversione di modello proposte nel Capitolo 2 (§2.2.2), per ottenere un set di variabili operative per l‟apparecchiatura CIJM-d2, al fine di ottenere nanoparticelle di dimensione desiderata.

Figura 5.5. Rappresentazione grafica dell’inversione del modello JY-PLS costruito sui dati dell’apparecchiatura CIJM-d2 e CIJM-d1 al fine di determinare le condizioni operative per l’apparecchiatura CIJM-d2, per ottenere un campione prodotto con CIJM-d1.

In un primo caso (Figura 5.5) questa coincide con un campione già ottenuto in CIJM-d1 (ydes

= 335.1 nm), mentre in un secondo caso l‟obiettivo è quello di ottenere nanoparticelle con diametro inferiore ad un certo valore (ydes ≤ 200 nm), di particolare interesse per l‟applicazione pratica delle nanoparticelle.

In entrambi i casi l‟inversione è effettuata considerando il modello JY-PLS costruito sui dati di queste due apparecchiature.