Effetto del numero di variabili latenti

Il campione selezionato come riferimento per l‟inversione per l‟apparecchiatura CIJM-d1 è stato scelto in modo che la dimensione delle nanoparticelle ottenute appartenesse ad un intorno della media del relativo set di dati ( CIJM-d1

PCL

y ) e che presentasse un errore quadratico di predizione (SPEy) tra i più bassi. In questo modo si assicura che il campione scelto giaccia in prossimità del piano del modello individuato dalle variabili latenti, e si limitano le incertezze nell‟inversione dovute alla differenza tra il valore reale e quello predetto dal modello.

In Tabella 5.1 sono riportati i valori delle variabili operative e delle dimensioni delle particelle ottenute per il campione in esame:

Tabella 5.1. Valori del set di variabili del campione di PCL ottenuto con l’apparecchiatura CIJM-d1 scelto per testare la procedura di inversione. Dimensione particella [nm] Concentrazione di polimero [mg/mL] Portata [mL/min] Rapporto acqua/solvente [-] Tipo di polimero [-] 265.8 2.65 40 6.08 PCL₁₄

È stata quindi valutata la sensitività dei risultati dell‟inversione al numero di variabili latenti scelte nella costruzione del modello JY-PLS. Una volta estratto dal set di dati tale campione, è stato pertanto ricostruito il modello JY-PLS tra le apparecchiature della configurazione CIJM-d1 e CIJM-d2. In base a questo modello, le cui caratteristiche sono simili a quelle del modello presentato nel Capitolo 4 (§4.1.2.2), è stata effettuata l‟inversione, assumendo come valore desiderato per il diametro delle nanoparticelle (ydes) quello del campione di riferimento estratto dal dataset. In questo caso l‟inversione del modello è stata effettuata risolvendo il problema di ottimizzazione relativo allo scenario 2, presentato al Capitolo 2 (§2.2.2.2), in cui i valori ydes sono determinati e sono imposti vincoli di uguaglianza o disuguaglianza per xnew. In questo caso gli unici vincoli imposti sulle variabili manipolabili sono di tipo fisico/sperimentale: i limiti inferiori infatti sono di tipo fisico (le variabili non devono assumere valori negativi), mentre quelli superiori sono imposti in base ai valori accessibili sperimentalmente:

 0 ≤ Cpol ≤15 [mg/mL];  0 ≤ FR ≤ 120 [mL/min];  0 ≤ W/A≤ 8 [-];

 0 ≤ Typepol ≤ 1 [-].

In base alla varianza spiegata per X (§4.1.2.2), si è scelto di valutare i risultati dell‟inversione costruendo il modello JY-PLS con un numero di variabili latenti da 2 a 4. I risultati sono riportati in Tabella 5.2, in termini di variabili operative calcolate e reali (rispettivamente xnew,

xreal) e delle dimensioni delle particelle desiderate (ydes) e calcolate (ynew).

In ognuno dei casi presentati, si considera sempre un numero di variabili latenti di X superiore a quello strettamente necessario per y: infatti essendo la variabile risposta univariata, necessiterebbe di una sola variabile latente. Questa differenza fra i due spazi latenti, porta alla generazione di uno spazio nullo (§2.2.2.4). Nel caso in esame, il campione scelto presenta delle caratteristiche prossime alla media del dataset completo, quindi all‟interno del range dei dati usati per costruire il modello. Di conseguenza non è indispensabile sfruttare la presenza dello spazio nullo (come indicato al §2.2.2.4) per trovare una soluzione che rispetti le condizioni di processo dei dati storici.

Tabella 5.2. Inversione del modello JY-PLS per determinare le condizioni di processo di un campione dell’apparecchiatura CIJM-d1, al variare del numero di variabili latenti: confronto tra i parametri reali e quelli stimati.

LV C_pol FR W/A Type_pol y

x_real y_real Valori reali ^{2.65 40 6.08 0 265.8} x_new y_new Valori calcolati 4LV 2.55 69.23 3.05 0.59 265.8 3LV 2.55 69.24 3.04 0.59 265.8 2LV 2.55 69.24 3.04 0.59 265.8

Da Tabella 5.2 si osserva come con 2 o 3 variabili latenti in questo caso non vi siano rilevanti modifiche nei risultati: i valori sono abbastanza prossimi a quelli reali, lo scostamento maggiore è dato dal valore della variabile W/A (questa variabile è spiegata soprattutto dalla quarta componente) e dalla variabile che identifica il tipo di polimero (Typepol). Quest‟ultima variabile è di tipo binario, assume valore 1 per il polimero PCL80 e valore 0 per il polimero PCL14. Essa però assume un valore intermedio perché come detto, il campione scelto presenta delle caratteristiche prossime alla media, perciò il modello tende a restituire valori intermedi anche delle variabili stimate.

Inoltre si nota che il valore di ydes coincide perfettamente con quello di ynew in tutti e tre i casi in esame. Infatti nonostante le differenze tra xnew e xreal le proiezioni di entrambi i set si trovano all‟interno dello spazio nullo.

Lo scostamento tra i valori reali e calcolati della variabile Typepol è comprensibile dall‟esame del diagramma degli scores sulle prime 2 LV, riportato per il caso di inversione del modello costruito con 3 variabili latenti (Figura 5.2a): le proiezioni della soluzione dell‟inversione tnew

giacciono in mezzo ai due cluster che identificano appunto il tipo di polimero (§4.1.2.2). Nelle future prove di inversione potrebbe quindi essere opportuno imporre un vincolo di uguaglianza su questa variabile.

-0.2 0.0 0.2 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 CIJM-d1 CIJM-d2 t_new t_real S cor es su LV 2 Scores su LV1 (a) -0.2 0.0 0.2 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 CIJM-d1 CIJM-d2 t_new t_real S cor es su LV 2 Scores su LV1 (b)

Figura 5.2. Inversione del modello JY-PLS con 3 VL per determinare le condizioni di processo di un campione dell’apparecchiatura CIJM-d1: scores per l’apparecchiatura CIJM-d1 e CIJM-d2 e scores reali e determinati con l’inversione, del campione estratto, (a) senza e (b) dopo aver fissato il tipo di polimero.

Con l‟utilizzo di 4 LV invece, pari al numero delle variabili reali, la varianza spiegata per la matrice X è circa il 100%, per cui si ricade nel caso di una regressione multivariata ordinaria. Per questo è necessario rimuovere dalla formulazione del problema di inversione (scenario 2) la statistica

new

x

SPE (§2.2.2.2). Come si nota i risultati sono ancora una volta simili alle prove effettuate su modelli costruiti con un numero di variabili latenti minore, dal momento che, se i vincoli imposti su x_new non sono in realtà attivi nell‟ottimizzazione (perché come in questo caso la funzione obiettivo presenta un minimo all‟interno del dominio), il problema si riduce ad un‟inversione diretta (§2.2.2.1).

Queste stesse tre prove sono state eseguite imponendo un vincolo sul tipo di polimero, il PCL₁₄, per verificare sia se i valori delle variabili operative predetti si avvicinano maggiormente ai valori reali, sia se imponendo questo tipo di vincolo, vi siano modifiche nei risultati al variare delle variabili latenti utilizzate. I risultati sono riportati analogamente al caso precedente in Tabella 5.3.

Si osserva che con l‟utilizzo di 3 o 4 variabili latenti il valore della portata è maggiormente prossimo a quello del campione reale, rispetto al caso precedente, mentre la stima della concentrazione di polimero risulta essere meno precisa, ma ancora accettabile. Il valore del rapporto W/A rimane invece lontano da quello reale anche con 4 variabili latenti, probabilmente perché questa variabile non influenza particolarmente la dimensione delle particelle, come dimostrato dagli studi precedenti. Anche i valori degli scores sono più vicini a quelli reali rispetto al caso in cui non è imposto il tipo di polimero (Figura 5.2b). Con 2 sole variabili latenti invece, i risultati dell‟inversione peggiorano in modo significativo sia rispetto al caso precedente, sia rispetto all‟utilizzo di più variabili latenti: queste 2 variabili infatti non sono sufficienti a catturare una buona percentuale di varianza spiegata per le 3 variabili principali (Cpol, FR e Typepol), la cui variabilità è catturata in buona parte anche dalla terza variabile latente (§ 4.1.2.2).

Tabella 5.3. Inversione del modello JY-PLS per determinare le condizioni di processo di un campione dell’apparecchiatura CIJM-d1, al variare del numero di variabili latenti: confronto tra i parametri reali e quelli stimati nel caso in cui è stato fissato il tipo di polimero.

C_pol FR W/A Type_pol y

x_real y_real Valori reali ^{2.65 40 6.08 0 265.8} x_new y_new Valori calcolati 4LV 2.39 43.61 3.12 0 292.6 3LV 2.39 43.79 2.88 0 292.6 2LV 7.12 76.88 2.99 0 298.1

Diversamente dal caso precedente, in queste prove si nota che non vi è coincidenza fra i valori di ydes e ynew, e questo dimostra che non è possibile trovare una soluzione dall‟inversione del modello, che giaccia lungo spazio nullo (in cui è garantito il valore desiderato della variabile risposta) e contemporaneamente rispetti il vincolo imposto. La soluzione trovata è pertanto un compromesso tra questi due vincoli.

Inoltre, nel primo caso non si è osservata alcuna variazione dei risultati al variare del numero di variabili latenti poiché come anticipato, il risultato calcolato senza imporre alcun vincolo sugli elementi di xnew, equivale a quello di un‟inversione diretta, in cui la soluzione è unica. Al contrario, nel caso in cui si vincolino alcune variabili, la soluzione dell‟ottimizzazione dipende dal numero di variabili latenti. Infatti, affinché la soluzione risulti accettabile, è necessario che le variabili latenti considerate catturino in modo adeguato la varianza delle

variabili vincolate. Nel caso in esame, sono necessarie almeno 3 variabili latenti per catturare sufficientemente la varianza della variabile Typepol su cui è imposto il vincolo.

Dall‟osservazione sul diagramma degli scores di Figura 5.2b, in cui vengono riportati gli

scores dei campioni in esame sia dell‟apparecchiatura CIJM-d1 (○) che CIJM-d2 ( ) e gli scores reali (●) e predetti () del campione scelto per queste prove, si ha la verifica grafica di quanto i risultati si avvicinino a quelli reali nel caso in cui si imponga il tipo di polimero.