CAPITOLO 5 - Trasferimento di prodotto tra apparecchiature diverse
5.1. TRASFERIMENTO DI PRODOTTO: INVERSIONE DEL MODELLO JY-PLS
5.2.2. Importanza dello spazio nullo
5.2.2.2. Spazio nullo mono e bidimensionale: approccio 2
Secondo le considerazioni fatte nel precedente paragrafo e dai risultati ottenuti, sono sufficienti 2 variabili latenti affinché l‟inversione del modello JY-PLS risulti soddisfacente. Dal momento però, che la terza variabile latente spiega quasi il 25% della varianza spiegata della matrice XCIJMdPCL 2, è stato esaminato anche questo caso, che si mostra particolarmente interessante poiché lo spazio nullo diventa bidimensionale.
Questo caso è simile all‟inversione effettuata al paragrafo 5.1.1 in cui si sono utilizzate 4 variabili latenti: la varianza spiegata per la matrice è pari al 100% di quella totale, per cui, se si utilizza l‟approccio relativo allo scenario 2, non vi è soluzione per il problema di ottimizzazione, se non rilassando il vincolo su
new
x
SPE , riducendo così il calcolo ad un‟inversione diretta.
Senza la presenza di altri vincoli se non quelli fisici (§5.1.1), la soluzione stimata con questo approccio (qui non riportata) presenta scores e variabili di processo con valori intermedi a quelli presenti nel dataset. Se la stessa inversione viene effettuata utilizzando lo scenario 3, in assenza di vincoli su
new
x
SPE e su T2, gli scores stimati sono molto vicini a quelli reali, ma le condizioni di processo stimate non sono fisicamente accettabili. Solo imponendo a priori vincoli stretti sul tipo di polimero, sul rapporto non solvente/solvente e su una tra la portata all‟ingresso e la concentrazione di polimero, si raggiunge una soluzione molto prossima a quella reale. Questo è dovuto al fatto che lo spazio nullo in cui si ricerca la soluzione, è più grande e sono necessari più vincoli per raggiungere i valori fisicamente accettabili per tutte le variabili.
Come detto sopra, l‟utilizzo di 3 variabili latenti, offre la possibilità di studiare la presenza di uno spazio nullo bidimensionale, infatti la differenza fra il numero di variabili latenti e la variabile risposta è 2.
Invece di utilizzare la stessa procedura impiegata al paragrafo 5.2.2.1 (approccio 1) per determinare i punti appartenenti allo spazio nullo, si è ricercata un‟alternativa più generale che non prevedesse di selezionare e imporre a priori gli scores d‟interesse. Dal punto di vista geometrico, in questo caso lo spazio nullo rappresenta un piano che si estende nello spazio tridimensionale creato dalle 3 VL del modello. Il problema di trovare un punto appartenente allo spazio nullo che soddisfi al contempo i vincoli che vengono imposti sugli elementi del vettore xnew è stato affrontato implementando un nuovo problema di ottimizzazione, nel quale la condizione di appartenenza del punto allo spazio nullo è assicurata minimizzando la distanza (d) tra il punto e lo spazio nullo medesimo, che nella forma generale, indicando lo spazio nullo come generico iperpiano H può esser scritta come in (5.11):
a b t a , new d (5.11) in cui: a è il vettore dei coefficienti dell‟equazione cartesiana dell‟iperpiano H;
b è il termine noto dell‟equazione cartesiana dell‟iperpiano H;
tnew è il vettore degli scores del punto d‟interesse, la cui distanza da H viene minimizzata.
Per determinare a e b è necessario risolvere il sistema che impone il passaggio del piano descritto tramite i suoi vettori giacitura rappresentati dalla matrice G2 attraverso un punto di interesse, in questo caso rappresentato da tdes (2.74).
Per limitare la distanza della soluzione dal piano individuato dalle variabili latenti e per assicurare che giaccia nel range degli scores dei campioni del dataset con cui è stato costruito il modello, si aggiungono vincoli di tipo soft rispettivamente su SPExnew e su T2, nella stessa forma e con gli stessi pesi utilizzati nel caso dello scenario 3 (§2.2.2.3) ottenendo il seguente problema di inversione:
n ew n ew 2 1 2 2 3 new , min x x a b t a SPE g s t g A a a a
(5.12) In cui: * new new x W t (5.13) T new new ˆ t P x (5.14) T new new ˆ t Q y (5.15) 95 %lim T SPE gSPE xnew xnew xnewxnew 2 x,
x (ˆ )(ˆ ) new (5.16) i i , new c x (5.17) i i , new d x (5.18) x x xnew,i i i ub lb e lbiy ydes,i ubiy (5.19)
Si rimanda alla descrizione dello Scenario 3 nel Capitolo 2 (§2.1.1.6) per il significato dei simboli utilizzati nelle equazioni (5.13)-(5.19).
Innanzitutto si è voluto utilizzare questa nuova procedura nel caso in cui si considerano solo 2 variabili latenti per il modello. Lo spazio nullo si riduce a monodimensionale, e la funzione obiettivo minimizza la distanza tra un punto e la retta, con entrambi i vincoli sulle statistiche della soluzione.
Si vincolano le variabili che in fase sperimentale possono assumere solo determinati valori, ovvero il tipo di polimero e il rapporto non solvente/solvente; viene rimosso invece il vincolo
soft sul T2 che forzerebbe la soluzione verso il centro del piano latente. I risultati ottenuti (Tabella 5.10), imponendo gli stessi valori di W/A e Typepol di quelli imposti nella procedura descritta al §5.2.2.1, mostrano come solo per le condizioni in prossimità dei cluster dei campioni dell‟apparecchiatura CIJM-d2, si ottengano valori simili a quelli già ottenuti, negli altri casi i valori delle variabili sono nettamente diversi. Questo accade perché nel primo approccio il valore degli scores di interesse nello spazio nullo è imposto a priori, e viene ricercata una soluzione che rispetti i vincoli imposti più prossima possibile al piano del modello nel punto selezionato dello spazio nullo. Nel secondo caso invece, la soluzione è trovata in modo da minimizzare la sua distanza dal piano del modello e la distanza delle sue proiezioni dallo spazio nullo, muovendosi lungo questo per soddisfare i vincoli imposti sulle variabili di processo. In particolare, in questo caso specifico, i vincoli imposti sulle condizioni di processo, considerano la variabile W/A che non è molto importante sulle prime due variabili latenti. Di conseguenza, esistono diverse soluzioni lungo lo spazio nullo che rispettano questo vincolo. Solo imponendo un ulteriore vincolo sulla portata d‟ingresso o sulla concentrazione di polimero, variabili molto influenti sulle prime due variabili latenti, si ritrovano gli stessi risultati di Tabella 5.9, perché si costringono le proiezioni della soluzione a giacere in un punto preciso dello spazio nullo.
Questo conferma l‟equivalenza dei due metodi applicati in uno spazio monodimensionale.
Tabella 5.10. Inversione del modello JY-PLS per determinare le condizioni di processo di un campione dell’apparecchiatura CIJM-d2 lungo uno spazio nullo monodimensionale: verifica delle condizioni di processo stimate.
Cpol [mg/ml]
FR [ml/min]
W/A
[-] Typepol SPExnew
xreal 1.47 3 1 PCL80
xnew1 1.32 8.09 5.20 PCL80 4.9·10-4
xnew2 1.75 9.02 2.90 PCL80 1.9·10-3
xnew3 5.02 101.83 2.90 PCL14 8.7·10-6
xnew5 5.04 101.87 2.80 PCL14 1.9·10-6
Lo studio è stato quindi esteso al caso di uno spazio nullo bidimensionale, in cui nuovamente si impongono a priori i valori delle variabili Typepol e W/A e si omette il vincolo su T2, per le stesse motivazioni presentate precedentemente. In questo caso in cui si considerano 3 variabili latenti, è necessario eliminare anche il vincolo su
new
x
SPE , per evitare problemi nell‟ottimizzazione. I risultati (non riportati), differiscono da quelli ottenuti precedentemente, poiché la soluzione ora si può muovere lungo un piano e non solo lungo una retta, dimostrando l‟esistenza di ulteriori condizioni che teoricamente permettono di ottenere lo stesso prodotto desiderato. Per ottenere le stesse condizioni iniziali precedentemente stimate, è necessario imporre 3 delle 4 variabili da calcolare, per ognuno dei 6 campioni sullo spazio
nullo, in modo da ridurre i gradi di libertà del problema. Si è quindi deciso di imporre a priori i valori di concentrazione di polimero (Cpol), rapporto non solvente/solvente (W/A) e tipo di polimero (Typepol), in modo da ottenere una stima della portata (FR). In questo modo si ottengono risultati molto prossimi a quelli ottenuti al paragrafo 5.2.2.1.
In generale, quando si ricercano nuove condizioni appartenenti allo spazio nullo, soprattutto nel caso si abbia a disposizione un ristretto numero di dati storici, è utile mantenere il vincolo su T2 per evitare che la soluzione si assesti su valori estremi o addirittura al di fuori del range dei dati storici.
La metodologia proposta però risulta molto interessante soprattutto in applicazioni in cui vi siano, come in questo caso, dei vincoli specifici su alcune variabili: l‟utilizzo dello spazio nullo dà il vantaggio di poter determinare diverse condizioni di processo che assicurano l‟ottenimento della stessa qualità di prodotto, ma tra le quali si possono ricercare quelle ottimali secondo le esigenze specifiche dettate dalla sperimentazione.