5.2 Corpo rigido
6.1.3 Energia potenziale gravitazionale
La forza gravitazionale `e una forza centrale e quindi `e conservativa; la sua energia potenziale `e propor- zionale all’inverso della distanza r fra le due masse m1 ed m2interagenti; vale
Ug=−G
m1m2 r .
ove si `e scelto, come d’uso, di porre uguale a zero l’energia potenziale quando la distanza fra le masse `e infinita; con questa scelta l’energia potenziale `e uguale al lavoro fatto per avvicinare le due masse in questione dall’infinito alla distanza r.
L’energia totale del sistema `e costante, quindi se le due masse sono in movimento con velocit`a v1 e v2,
vale E = 1 2m1v 2 1+ 1 2m2v 2 2− G m1m2 r = costante .
La precedente equazione `e particolarmente interessante nel caso si sia scelto un sistema di riferimento solidale a una delle due masse; per esempio si consideri il moto di un corpo di massa m rispetto alla Terra. In questo caso la velocit`a della Terra `e nulla e vale
E = 1
2mv
2− GmTm
Se, in particolare, il moto del corpo ha una traiettoria circolare e uniforme attorno alla Terra, vale la (6.7), e quindi E = −GmTm 2r =− 1 2mv 2=−E c . (6.8)
La velocit`a necessaria a sfuggire all’attrazione gravitazionale di un corpo celeste `e detta velocit`a di fuga vf; la velocit`a di fuga da un corpo di massa m e raggio r `e
vf = √ 2Gm r . (6.9) PROBLEMI RISOLTI Problema 1
Si supponga che un corpo venga lanciato dalla superficie terrestre con una velocit`a iniziale v =√RTg;
À verificare che la velocit`a `e inferiore alla velocit`a di fuga; Á determinare l’altezza massima raggiunta.
Soluzione
À Ricordando che l’accelerazione di gravit`a sulla superficie terrestre `e data dalla (6.6), si trova
v = √ rT GmT r2 T = √ GmT rT < vf ,
quindi il corpo non sfugge all’attrazione terrestre.
Á Sulla superficie terrestre l’energia totale, cio`e la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale, vale E =1 2mv 2− GmTm rT =−GmTm 2rT .
Nel punto di altezza massima il corpo si ferma e quindi la sua energia cinetica `e nulla; l’energia totale quindi coincide con l’energia potenziale:
E =−G mTm
(rT+ h)
,
ove h `e la massima altezza raggiunta. Per la conservazione dell’energia queste due equazioni devono coincidere; si trova quindi
h = rT .
∗Problema 2
Un buco nero ha massa m = 2· 1030kg; determinare la distanza d dal suo centro alla quale la sua velocit`a di fuga `e uguale alla velocit`a della luce.
Soluzione Utilizzando l’equazione (6.9) si trova
c = √ 2Gm d −→ d = 2Gm c2 = 3 km .
Una tale distanza `e detta orizzonte degli eventi del buco nero.
Problema 3
Il satellite Teti di Saturno ha massa m = 6.18· 1020kg e percorre un’orbita perfettamente circolare di
Soluzione
Basta usare l’equazione (6.8), osservando che v = 2πr
T : E =−1 2mv 2=−2π2mr2 T2 = 4.00· 10 22J .
6.1.4
Esercizi
Leggi di Kepler
Es. 1 — Dimostrare che il momento angolare L di un satellite di massa m che percorra un’orbita di area S in un tempo T `e dato dalla relazione
L = 2mS T .
Es. 2 — Utilizzando i valori per la distanza media dal Sole e per l’eccentricit`a presenti in appendice, determinare la distanza L dell’afelio e la distanza ℓ del perielio di Mercurio dal Sole.
Es. 3 — Il satellite S1 orbita intorno al suo pianeta lungo una traiettoria circolare di raggio r1,
il satellite S2 ha un’orbita circolare di raggio r2 = 2r1; determinare la relazione fra i due periodi di
rivoluzione dei satelliti.
Legge di gravitazione universale
Es. 1 — Due masse m1 ed m2 si trovano a distanza r una dall’altra e si attraggono con una forza
di modulo F ,determinare come cambia F se si dimezzano sia m1, sia m2, sia r.
Es. 2 — Una scialuppa di massa m = 250 kg si trova a una distanza d = 4.5 m da una grande nave di massa M = 19000 t; determinare
a) il modulo della forza di attrazione gravitazionale fra le due masse, e l’accelerazione della scialuppa; b) la distanza d1 a cui devono trovarsi scialuppa e nave perch´e l’accelerazione della scialuppa abbia
modulo a1= 0.5 m/s2.
Es. 3 — Due navi di masse m1= 104t em2= 2· 104t si trovano alla distanza d = 30.0 m
a) Determinare il modulo della forza gravitazione con cui si attraggono; b) Determinare i moduli delle loro accelerazioni.
Es. 4 — Una stella di massa M = 1.3 · 1030kg ha un pianeta di massa m
1 = 3.5· 1024kg che
percorre un’orbita circolare il cui periodo di rivoluzione `e T = 318 d; determinare a) il raggio dell’orbita;
b) la velocit`a del pianeta;
c) la forza gravitazionale totale subita da un corpo di massa m2= 3.5 kg che si trovi nel punto medio
fra il centro della stella e quello del pianeta.
Es. 5 — Determinare a quale quota sul livello del mare l’accelerazione di gravit`a ha modulo g/2. Determinare il periodo, espresso in ore, di rivoluzione di un satellite artificiale viene posto in orbita circolare attorno alla Luna con raggio r = 3.0· 103km.
Es. 6 — Usando la legge (6.4) si determini la massa del Sole e la si confronti con il valore riportato in appendice.
Es. 7 — Tra l’orbita di Marte e quella di Giove si trova una fascia di piccoli pianeti, detti asteroidi, il pi´u grande dei quali, Cerere si trova a distanza D = 4.14· 1011m dal Sole; si determini il periodo di
rivoluzione di Cerere.
Es. 8 — Indicando con D la distanza della Luna dalla Terra, determinare la distanza d dalla Terra del punto sul segmento che congiunge i centri della Terra e della Luna in cui un corpo si trova in equilibrio sotto la forza di attrazione gravitazionale dei due corpi celesti.
Es. 9 — Determinare il periodo T di rivoluzione di un satellite artificiale della Terra posto su un’orbita circolare distante h = 300 km dalla superficie terrestre.
Es. 10 — Quando il modulo lunare LEM dell’Apollo 11 scese sulla Luna nel 1969, trasportando gli astronauti Neil Armstrong e Edwin Aldrin, la parte centrale dell’astronave, sotto la sorveglianza dell’astronauta Michael Collins, rimase attorno alla Luna in orbita circolare di raggio r = 2100 km; determinare il periodo di rivoluzione ed esprimerlo in ore.
Es. 11 — Un pianeta della stella Alfa Centauri ha periodo di rivoluzione T = 803 d; sapendo che il raggio della sua orbita circolare `e r = 2.61· 1011m e che il raggio della stella `e R = 854· 103km,
determinare
a) l’accelerazione di gravit`a sulla superficie della stella; b) la massa di Alfa Centauri.
Energia potenziale gravitazionale
Es. 1 — Uno scienziato ha costruito un razzo che si muove alla velocit`a costante di modulo v = 8.5 km/s; determinare da quale quota al di sopra della superficie terrestre dovrebbe lanciarlo per riuscire a farlo sfuggire all’attrazione della Terra.
Es. 2 — Un corpo di massa m = 3.5 kg che si trova sulla superficie della Luna subisce una forza peso di modulo F = 5.69 N; determinare il raggio della Luna.
Es. 3 — Su un pianeta di massa m = 3.0 · 1023kg l’accelerazione di gravit`a ha modulo a
G =
7.3 m/s2; determinare
a) il raggio del pianeta;
b) la velocit`a di fuga a una quota h = 1.2 km dalla superficie.
Es. 4 — Sapendo che la velocit`a di fuga da un buco nero di raggio r = 1750 m `e uguale alla velocit`a della luce, determinare
a) l’accelerazione di gravit`a sulla superficie del buco nero;
b) a quale distanza dal centro del buco nero l’accelerazione di gravit`a vale g. Es. 5 — Un buco nero ha massa m = 2.75 · 1030kg, determinare
a) il raggio del buco nero perch´e la velocit`a di fuga sia il doppio della velocit`a della luce; b) la distanza al centro a cui la velocit`a di fuga `e uguale alla velocit`a della luce;
Es. 6 — Il satellite Io del pianeta Giove ha massa m = 8.93 · 1022kg e raggio r = 1822 km; sapendo
che il periodo di rivoluzione attorno a Giove `e T = 1.8 d, e supponendo che l’orbita percorsa sia una circonferenza, si determini
a) l’accelerazione di gravit`a sulla sua superficie; b) la sua velocit`a di fuga;
c) la sua distanza da Giove; d) la velocit`a orbitale;
e) l’energia totale del sistema Giove-Io.
Es. 7 — L’accelerazione di gravit`a sulla superficie di un asteroide sferico di diametro d = 530 km `e
aG= 0.285 m/s
2; determinare
a) la velocit`a di fuga dall’asteroide;
b) l’altezza massima raggiunta da un corpo che si stacchi dalla superficie dell’asteroide con una velocit`a
v = 200 m/s;
c) la velocit`a w di impatto di un corpo che viene lasciato cadere sulla superficie dell’asteroide da un’altezza h = 500 km.
Meccanica dei liquidi
Lo studio della meccanica di un liquido, costituito da un numero enorme di punti materiali, gli atomi del liquido, deve rinunciare ad utilizzare il modello della meccanica newtoniana in termini di velocit`a, accelerazioni e forze agenti per ciascuno di essi; si affida quindi ad una descrizione in termini di grandezze macroscopiche che risultino dal comportamento medio degli atomi del liquido in questione.