Forza d’attrito radente

In generale la superficie d’appoggio di un punto materiale `e scabra e muovendosi su di essa il punto materiale sente la forza di attrito radente. Questa si dice di forza di attrito statico, Fsse il punto materiale

`e fermo e forza di attrito dinamico Fd se il punto materiale `e in moto. Sono entrambi proporzionali alla

reazione vincolare perpendicolare del piano, le direzioni e i versi sono tali da opporsi alle forze agenti e i loro moduli sono dati rispettivamente da

Fs≤ FsM= µsN , Fd= µdN . (2.5)

Le due costanti µs e µd sono dette rispettivamente coefficiente di attrito statico e coefficiente di attrito

dinamico; essendo coefficienti di proporzionalit`a fra grandezze omogenee, i coefficienti di attrito sono numeri puri. Dipendono dalla natura delle due superfici a contatto, tuttavia per qualunque coppia di tali superfici vale la disuguaglianza

µs≥ µd

che descrive il ben noto fatto sperimentale per cui `e necessaria una forza maggiore per mettere in moto un corpo che per mantenerlo in moto con velocit`a costante.

βs N FM s RM (a) L’angolo βs. βs

(b) Il cono di attrito statico.

Figura 2.2: La reazione vincolare nel caso di una superficie scabra.

La prima delle due (2.5) dice che FM

s = µsN `e il valore massimo dell’attrito statico, `e cio`e la forza da

superare se si vuole mettere in movimento un corpo; per forze agenti al di sotto di tale valore massimo il vincolo `e in grado di opporre una forza uguale e contraria alla forza agente e il corpo sta fermo. Come illustrato in figura 2.2, una superficie scabra in generale pu`o esplicare una forza di reazione inclinata di un angolo βsrispetto alla perpendicolare, data dalla somma dei vettori N e Fs; valgono le relazioni

R = N + Fs , µs=

FM

s

N = tg βs .

quando la forza di attrito statico `e massima tale somma fornisce la massima reazione statica che il vincolo pu`o opporre alla forza agente; dalla figura si pu`o vedere quindi che la reazione vincolare `e interna ad un cono con il vertice verso il punto di contatto detto cono di attrito statico.

La seconda delle (2.5) dice invece che quando un punto materiale `e in moto la forza di attrito che si oppone al moto `e costante ed, in particolare, `e indipendente dal tipo di moto.

PROBLEMI RISOLTI Problema 1

Si consideri un punto materiale P di massa m = 248 g appoggiato su di una superficie orizzontale scabra; sapendo che i coefficienti di attrito fra P e la superficie valgono µs= 0.78 e µd= 0.42, determinare:

À il modulo della minima forza orizzontale che `e necessario applicare per mettere P in movimento; Á il modulo RM _{della massima reazione vincolare statica esplicabile dal vincolo;}

 il modulo dell’accelerazione di P se la forza agente ha modulo F = 1.50 N.

Soluzione

À La minima forza Fmche necessario applicare per mettere P in movimento `e uguale alla massima forza

di attrito statico che il vincolo pu`o fornire, quindi, usando la prima delle (2.5) e osservando che per un piano orizzontale vale N = mg, si ottiene

Fm= FsM = µsN = µsmg = 1.90 N .

Á La massima reazione vincolare `e la somma della componente perpendicolare N e della massima forza di attrito statico FM

s ; queste forze sono perpendicolari, quindi

RM ₌ √ N2_{+ F}M s 2_{= N}√_{1 + µ}2 s= N cos βs = 3.09 N . N P F P Fs R Â In questo caso, facendo riferimento alla figura, agiscono sul punto

materiale P le due forze vincolari N e Fd, la forza peso P e la forza

agente F ; N e P sono uguali ed opposte e quindi la loro somma `e il vettore nullo quindi la forza risultante `e la somma dei due vettori orizzontali ma di verso opposto Fd ed F ; applicando la legge di Newton

(2.1) si ottiene F− Fd= ma −→ a = F− Fd m = F− µdmg m = 1.93 m/s 2_.

∗_{Problema 2}

Un punto materiale di massa m = 2.66 kg `e appoggiato sulla superficie di un piano inclinato scabro di altezza h = 1.27 m e lunghezza ℓ = 2.54 m; sapendo che il coefficiente di attrito statico fra le due superfici a contatto vale µs = 0.75, determinare se il punto materiale scende lungo il piano inclinato e, nel caso,

determinarne l’accelerazione. Soluzione α βs α N P F Fs RM h b ℓ Con riferimento alla figura, la forza agente sul punto mate-

riale a causa dell’inclinazione del piano `e la componente F della forza peso P parallela al piano, mentre la forza mas- sima di attrito statico FM

s `e proporzionale alla componente N della forza peso perpendicolare al piano; per i rispettivi

moduli valgono infatti le equazioni

F = h ℓmg , F M s = µsN = µs b ℓmg

quindi l’attrito statico riesce ad equilibrare la forza agente, e quindi a tenere fermo il punto materiale, se vale FM

s > F , cio`e se h ℓ > µs b ℓ ;

si noti che la condizione di equilibrio `e indipendente dalla massa del punto materiale. Sostituendo i valori numerici si ottiene:

h

ℓ = 0.45 , µs b

ℓ = 0.67 .

Il punto materiale quindi non scende lungo il piano inclinato. Si osservi l’angolo di apertura del cono di attrito statico, l’angolo βsformato dalla reazione vincolare massima RM e la perpendicolare al piano,

`e maggiore dell’angolo di inclinazione del piano inclinato e quindi il vincolo riesce ad opporre alla forza peso una forza, tratteggiata in figura, interna al cono.

Problema 3

Un corpo di massa m = 8.74 kg poggia su di un piano orizzontale scabro; su di esso viene applicata una forza di trazione T avente modulo T = 60.6 N avente una direzione che forma un angolo α = 45◦ con l’orizzontale; sapendo che il coefficiente di attrito dinamico fra le due superfici `e µd= 0.62, determinare

il moto del corpo.

Soluzione α T Tx Ty Fd P Sul corpo agiscono tre forze: il peso, la reazione vincolare del piano di ap-

poggio e la forza di trazione; per determinare il moto del corpo `e necessario determinare la risultante F di queste tre forze ed applicare la relazione di Newton (2.1). Conviene considerare le forze per componenti; indicate, come d’uso, con x la componente orizzontale e con y la componente verticale, si ha

Fx= Tx− Fd= max

Fy = N + Ty− P = 0 .

Nella seconda delle precedenti equazioni N , per chiarezza non rappresentato in figura, `e il modulo della componente verticale della reazione vincolare; ricordando la seconda delle (2.5), si ottiene

ax= Tx− Fd m = Tx− µdN m = Tx− µd(P − Ty) m = Tx− µdTy m − µdg = 1.9 m/s 2 _.