2.2 Applicazioni delle leggi della dinamica
3.2.3 Forza d’attrito
Le forze di attrito non sono conservative poich´e il loro lavoro dipende dal percorso.
PROBLEMI RISOLTI Problema 1
Una palla di massa m = 625 g `e lanciata verso il basso con una velocit`a di modulo v0= 2.5 m/s; durante
la discesa subisce una forza di attrito costante di modulo Fa = 2.00 N; quando arriva a terra la sua
velocit`a ha modulo v1= 12.0 m/s;
À determinare da che altezza `e stata lanciata la palla;
Á nelle stesse condizioni, quale deve esse il modulo v della velocit`a di lancio perch´e arrivi a terra con la velocit`a di modulo v2= 14.0 m/s.
Soluzione
À In presenza di attrito l’energia non conserva, ma occorre tenere conto dell’energia perduta come lavoro della forza di attrito; quindi l’energia meccanica finale `e uguale all’energia meccanica iniziale meno il lavoro della forza di attrito; quindi
1 2mv 2 1= 1 2mv 2 0+ mgh− Fah −→ h = m(v21− v20) 2(mg− Fa) = 10 m . Á Utilizzando la stessa relazione si trova
v = √ v2 2− 2gh + 2 mFah = √ v2 2+ v02− v21= 7.6 m/s . Problema 2
Una persona guarda dalla finestra e vede cadere verticalmente un vaso da fiori di massa m = 1.9 kg; quando il vaso entra nella visuale all’estremit`a superiore della finestra ha ha un velocit`a di modulo
v1 = 2.4 m/s, quando arriva in basso ha una velocit`a di modulo v2 = 5.2 m/s; sapendo che la finestra `e
Soluzione
L’energia meccanica nel punto in cui il vaso esce dalla visuale della finestra `e uguale a quella che aveva quando vi `e entrato, meno l’energia persa per attrito; si ha quindi
1 2mv 2 1+ mgh1− Fah = 1 2mv 2 2+ mgh2 osservando h = h1− h2 si trova Fa = mg− m 2h(v 2 2− v 2 1) = 3.1 N .
3.2.4
Esercizi
Forza peso
Es. 1 — Un uomo lancia una palla in verticale verso l’alto da un’altezza di h1 = 1.5 m dal suolo
con una velocit`a di modulo v1= 12 m/s; determinare
a) il modulo della velocit`a della palla quando si trova ad h2= 5.0 m dal suolo;
b) il modulo della velocit`a della palla quando arriva al suolo; c) l’altezza massima raggiunta.
Es. 2 — Un tuffatore si spinge verticalmente verso l’alto da una piattaforma di altezza H = 10 m con una velocit`a di modulo v0= 3.8 m/s; determinare
a) il modulo della velocit`a quando raggiunge un’altezza h1= 50 cm sopra il livello di partenza;
b) a quale altezza la sua velocit`a ha modulo v2= 11 m/s;
c) il modulo v della velocit`a quando entra in acqua.
Es. 3 — Il vagone di una funicolare di massa m = 4.5 · 103kg sale per un dislivello di altezza h = 700 m percorrendo una distanza d = 2.5 km; sapendo che la velocit`a del vagone ha modulo costante
v = 21 m/min, determinare
a) la variazione di energia potenziale del vagone; b) la potenza erogata dal motore.
Es. 4 — Un’automobilina giocattolo deve affrontare un ‘giro della morte’ percorrendo una pista circolare verticale di raggio r = 50 cm;
a) determinare da che altezza occorre lasciarla, con velocit`a iniziale nulla, perch´e, trascurando ogni attrito, riesca a completare il giro;
b) determinare il modulo v0della velocit`a che `e necessario imprimere all’automobilina perch´e partendo
dall’altezza H = 2r riesca a completare il giro.
Forza elastica
Es. 1 — Una palladi massa m = 1.2 kg percorre un piano orizzontale alla quota h1 = 3.0 m, con
una velocit`a iniziale di modulo v1= 10 m/s; scende quindi lungo una discesa, raggiunge il fondo di una
buca alla quota h2= 0.0 m, poi risale su un piano a quota h3= 1.5 m; infine, muovendosi su tale piano,
va a comprimere una molla di costante elastica k = 320 N/m; sapendo che l’intero percorso `e privo di attrito,
a) la velocit`a della palla sul fondo della buca; b) la compressione della molla.
Es. 2 — Una molla di costante elastica k = 200 N/m `e disposta verticalmente, su di essa `e posata una sfera di massa m = 2.5 kg;
a) determinare di quanto viene compressa la molla;
b) la molla viene compressa di x = 50 cm e poi lasciata, determinare la quota massima raggiunta dalla sfera, rispetto al punto di equilibrio della molla.
Es. 3 — Una palla di massa m = 1.3 kg sta cadendo verticalmente su una molla disposta pure verticalmente; ad un certo istante si trova ad un’altezza h1 = 2.4 m dalla molla con una velocit`a di
modulo v1= 5.0 m/s; la palla cadendo sulla molla la comprime di x = 20 cm; determinare
a) la costante elastica della molla;
b) l’altezza massima h2 raggiunta, rispetto alla posizione di quiete della molla, raggiunta dalla palla
dopo che la molla si `e nuovamente estesa e la spinta verso l’alto.
Es. 4 — Un uomo di massa m = 80 kg butta da un ponte di altezza h1= 80 m, con velocit`a iniziale
nulla, attaccato a una corda elastica avente lunghezza a riposo ℓ = 40 m; sapendo che la costante elastica della corda `e k = 150 N/m, determinare
a) l’altezza h2 dal suolo a cui la corda elastica ferma la caduta dell’uomo;
b) il minimo valore della costante elastica per cui l’uomo non tocca terra;
c) l’altezza h3 dal suolo a cui si ferma l’uomo dopo che si sono smorzate le oscillazioni.
Es. 5 — Un sasso di massa m = 2.3 kg `e lasciato cadere da un tetto di altezza h = 6.5 m fissato a un cavo elastico di lunghezza a riposo ℓ0= 2.5 m e di costante elastica k = 20 N/m; determinare
a) l’allungamento x del cavo quando il sasso raggiunge il punto pi´u basso; b) il modulo della velocit`a iniziale necessaria perch´e il sasso tocchi terra.
Es. 6 — Una palla di massa m = 150 g viene lanciata orizzontalmente da una molla di costante elastica k = 14 N/m, che era stata compressa di x = 10 cm; la palla sale poi lungo un piano inclinato di un angolo α = 15◦; determinare la quota massima raggiunta e la distanza d percorsa sul piano inclinato.
Es. 7 — Una molla compressa di x = 12 cm lancia un corpo di massa m = 1.4 kg in discesa lungo un piano inclinato di un angolo α = 40◦; sapendo che il corpo percorre la distanza d = 3.0 m e che la sua velocit`a finale `e v = 7.0 m/s, determinare la costante elastica della molla.
Forza d’attrito
Es. 1 — Un’automobilina giocattolo di massa m = 0.25 kg scende lungo una guida inclinata in un primo tratto in cui non `e presente alcun attrito, poi orizzontale ove vi `e una forza d’attrito;
a) sapendo che la posizione di partenza si trova ad un’altezza h = 35 cm e che la velocit`a iniziale ha modulo v0 = 25 cm/s, determinare il modulo v della velocit`a con cui l’automobilina comincia il
tratto orizzontale;
b) sapendo che nel tratto orizzontale l’automobilina si ferma in t = 4.5 s dopo aver percorso la distanza
d = 2.2 m, determinare il modulo della forza di attrito e la potenza da essa sviluppata.
Es. 2 — Uno sciatore scende, partendo da fermo, lungo un pendio inclinato di un angolo α = 40◦
lungo ℓ = 100 m; sapendo che fra lo sciatore e il pendio vi `e un attrito dinamico di coefficiente µd = 0.15,
determinare la velocit`a dello sciatore al termine della discesa.
Es. 3 — Uno sciatore di massa m = 75 kg parte da una quota h = 75 m rispetto al punto di arrivo, e percorre un pendio lungo ℓ = 150 m partendo con una velocit`a iniziale di modulo v0= 1.5 m/s; sapendo
a) il modulo della velocit`a finale e il tempo impiegato a percorrere la discesa; b) il modulo della forza di attrito dinamico.
Es. 4 — Una slitta scende lungo un pendio innevato inclinato di un angolo α = 25◦ dall’altezza
h = 27 m con velocit`a iniziale di modulo v0= 2.5 m/s; giunta al termine della discesa la sua velocit`a ha
modulo v = 15 m/s ed il suo moto prosegue su un tratto orizzontale; sapendo che fra la slitta e la neve agisce una forza di attrito dinamico di coefficiente µd= 0.17, determinare
a) la lunghezza della discesa;
b) lo spazio percorso nel tratto orizzontale prima di fermarsi.
Es. 5 — Un paracadutista di massa m = 95 kg nel tratto precedente l’apertura del paracadute all’istante t1 scende con velocit`a di modulo v1 = 11 m/s e all’istante t2 scende con velocit`a di modulo v2= 27 m/s;
a) trascurando la forza d’attrito, determinare l’altezza h di caduta nell’intervallo di tempo fra i due istanti;
b) sapendo che la forza d’attrito `e costante e non trascurabile e che nell’intervallo di tempo dato, con le stesse velocit`a iniziale e finale, il paracadutista percorre s = 42 m, determinare il modulo della forza di attrito.
Es. 6 — Un sasso di massa m = 10 kg viene lasciato cadere da un’altezza h = 105 m; sapendo che quando arriva al suolo la sua velocit`a ha modulo v = 42 m/s, determinare
a) il modulo della forza di attrito che ha agito sul sasso;
b) il modulo v1 della velocit`a con cui colpisce il suolo se il sasso viene lanciato verso il basso con una
velocit`a iniziale di modulo v0= 8.0 m/s.
Es. 7 — La pallina di un flipper, di massa m = 50 g, viene lanciata verso l’alto su un piano inclinato con una velocit`a iniziale di modulo v0 = 2.8 m/s; la pallina si ferma, dopo avere percorso la
distanza d = 80 cm, a un’altezza h = 12 cm rispetto alla quota iniziale; determinare a) il modulo della forza di attrito che agisce sulla pallina;
b) l’altezza raggiunta e lo spazio che percorrerebbe la pallina in assenza di attrito.
Es. 8 — Un oggetto di massa m = 12 kg su un piano orizzontale scabro; dopo aver percorso la distanza d = 2.5 m va a comprimere di x = 12 cm una molla; sapendo che il modulo della velocit`a iniziale `e v = 10 m/s e che il coefficiente di attrito dinamico fra l’oggetto e il piano orizzontale `e µd = 0.65,