Fig. 56: Schema di un sistema di fluidi a due strati (Schijf & Schonfeld, 1953).
Nei primi anni ‘50 J.B Schijf e J.M. Schönfeld (1953) studiarono il fenomeno dell‘intrusione salina negli estuari olandesi e il mescolamento delle acque dolci e salate in corrispondenza delle chiuse costiere.
Partendo dal caso generale di un canale invaso da due fluidi omogenei a diversa densità (Fig. 56) che non si mescolano fra loro e considerando il caso unidimensionale in cui non ci sono flussi verticali, descrissero le equazioni di continuità (Eq.1 e Eq.2) e di moto (Eq.3 e Eq.4) dei due fluidi:
(Eq. 2)
(Eq. 4)
(Eq. 5)
dove:
(le differenze di densità sono assunte essere piccole rispetto alle densità stesse)
E dove gli sforzi tangenziali (shear) alle due interfacce sono definiti:
(Ci coefficiente di frizione all‘interfaccia fra i
due fluidi)
(Cb coefficiente di frizione al fondo)
Da qui si concentrarono sullo studio della forma che l‘interfaccia acqua dolce - acqua salata assume nel caso statico di un cuneo salino completamente sviluppato in cui il mescolamento delle acque è considerato nullo.
In queste condizioni, l‘interfaccia fra i due fluidi (Fig. 57) ha una forma che è descritta dall‘ equazione:
(Eq. 6)
Da cui integrando si ottiene l‘equazione della lunghezza del cuneo salino completamente sviluppato:
(Eq. 7)
Come si nota dall‘equazione 6, nel sistema stazionario esaminato, la lunghezza del cuneo salino è dipendente solo dalla profondità del canale (a), dalla densità dei due fluidi in contatto (ε) dalla velocità del flusso d‘acqua dolce
(V0) e dagli sforzi tangenziali all‘interfaccia espressi attraverso il coefficiente di
frizione (Ci).
La principale condizione al contorno imposta da questo modello, ovvero l‘assenza di marea, è ovviamente una condizione non verificabile in natura per un corpo aperto a mare come un estuario, ma le condizioni micro-tidali dell‘area dell‘Alto Adriatico permettono di accettare tale imposizione.
Anche la condizione di flussi verticali nulli può essere accettata visto che i dati misurati hanno mostrato un‘estensione verticale davvero ridotta della zona di transizione fra le masse d‘acqua, indice di un rimescolamento minimo.
Con queste premesse il modello analitico, esplicitato in un foglio di calcolo (Tab. 5) è stato utilizzato inizialmente al fine di valutarne la sensitività ai diversi parametri, utile a capire come il cuneo salino reagisce in funzione di variazioni delle grandezze in gioco.
Una prima analisi ha riguardato le lunghezze calcolate al variare del solo
coefficiente di frizione (Ci). Questo parametro è in effetti contemporaneamente
un punto cruciale del sistema e il suo punto più debole in quanto un simile coefficiente dipende contemporaneamente dalle caratteristiche del fluido, dal
flusso cui il fluido è sottoposto e la sua natura empirica ne rende impossibile la quantificazione attraverso l‘applicazione di principi puramente fisici.
Fissando la densità dei due liquidi alle condizioni standard di acqua dolce
(1000 Kg/m3) e acqua di mare (1035 Kg/m3) e considerando una portata
d‘acqua dolce dell‘ordine di 10 m3/sec su una sezione larga 40 m e profonda
2,5 m (la velocità del flusso di acqua dolce risulta essere di 0,1 m/sec), si nota come all‘aumentare del coefficiente di frizione aumenti l‘estensione del cuneo salino nell‘alveo. Questo aspetto può essere spiegato con un aumento del flusso di acqua salata entrante necessario al bilancio di massa precedentemente discusso.
INPUT
PARAMETRI
UNITA' DESCRIZIONE
rhow 1000,0000 [Kg/m3] Densità dell'acqua dolce
rhos 1035,0000 [Kg/m3] Densità dell'acqua salata
Vo 0,1000 [m/sec] Velocità dell'acqua nel fiume
a 2,5000 [m] Profondità del fiume
g 9,8000 [m/sec2] accelerazione di gravità
C 40,0000 [1/sec] Coefficiente di trascinamento dell'interfaccia
OUTPUT
PARAMETRI
UNITA'
Distanza di risalita del cuneo salino dal mare
eps 0,0338
Rapporto di densità dei fluidi (deve essere molto piccolo)
L 6202,0682 [m]
Distanza di risalita dal mare del cuneo salino
Tab. 5: Il foglio di calcolo su cui è stato implementato il modello analitico basato sull‘equazione di Schif & Schonfeld (1953).
variazione di un ordine di grandezza comporta una variazione di due ordini di grandezza nell‘estensione del cuneo salino.
Da notare come dal punto di vista fisico il coefficiente di frizione non potrebbe mai variare senza una corrispondente variazione nelle caratteristiche dei fluidi (densità) e velocità in quanto gli sforzi tangenziali che esso riproduce sono legati a queste caratteristiche.
Fissato un teorico valore di Ci (50 sec-1) se sono le differenze di densità fra i
due strati a diminuire, si nota come anche l‘estensione del cuneo diminuisce linearmente (è il parametro ε a diminuire, Tab. 6).
ρ1 (acqua più dolce) [Kg/m3] ρ2 (acqua più salata) [Kg/m3] L cuneo salino [m]
1000 1035 21804
1000 1025 15267
1010 1025 8566
Tab. 6: Valori di L calcolati in funzione di variazioni nella densità dei due fluidi a parità di tutti gli altri fattori.
Nel caso di due fluidi a pari densità inoltre l‘equazione diventa impossibile e la spiegazione fisica risiede proprio nel fatto che in un sistema così composto non vi sarebbe stratificazione né tantomeno un interfaccia netta di separazione e dunque il modello analitico non sarebbe valido.
A parità degli altri parametri (ρ1=1000 kg/m3, ρ1=1035 kg/m3, Ci = 50 sec-1)
se a variare è la portata fluviale la lunghezza del cuneo varia secondo una relazione esponenziale (Fig. 58).
Da questa relazione si capisce come la portata fluviale e quindi la velocità del flusso di acqua dolce sia uno dei fattori che più controlla l‘intrusione salina nell‘alveo, nel caso in cui gli effetti di marea siano nulli (o ininfluenti).
Per concludere sono necessarie alcune considerazioni sul grado di sensitività del modello alla geometria del canale.
Tale elemento è inserito nell‘equazione direttamente tramite il parametro a0
Fig. 58: Relazione fra portata e lunghezza calcolata del cuneo salino tenendo fissi tutti gli altri parametri del modello.
Se consideriamo costante la velocità del flusso, notiamo come l‘intrusione salina cresca rapidamente al crescere della profondità del canale (Fig. 59). Questo aspetto potrebbe avere una particolare importanza per il caso del Lamone dove abbiamo visto che se possiamo considerare mediamente costante la larghezza del fiume, non possiamo dire lo stesso della profondità. A parità di portata, inoltre, la velocità su una sezione più ampia (e più profonda) diminuisce le velocità di flusso, fattore che, come abbiamo appena visto contribuisce ulteriormente all‘intrusione salina.
Una volta approfondita la conoscenza sul peso che ciascuno dei parametri ha all‘interno del fenomeno fisico, ci siamo concentrati sullo studio del parametro più difficilmente controllabile e misurabile e cioè il coefficiente di frizione all‘interfaccia Ci.
A tale scopo abbiamo utilizzato i dati di campagna per calcolare valori di Ci il
più possibile rappresentativi per il caso reale del Fiume Lamone ed abbiamo indagato la presenza di una loro relazione con i flussi di acqua dolce in ingresso dalla Chiavica del Carrarino.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 10000 20000 30000 40000 50000 V e loc it à de l f lus so (m /s e c)
Lunghezza del cuneo salino (m)
Fig. 59: Sensitività del modello alla geometria del canale. Si noti che l‘estensione del cuneo è espressa in chilometri.